Srednicki §97 大统一

系列文章：Srednicki QFT 共 97 篇

标准模型把强、弱和电磁相互作用放在同一个量子场论框架中，却仍使用三个独立的规范耦合。一代左Weyl场也分散在五个不同的表示里。大统一（grand unification）的想法是把这些表示和耦合放进一个更大的规范群，再借助自发对称性破缺得到低能标准模型。这样做是否有用，要看新增的联系能否经受实验检验。规范耦合的跑动、夸克与轻子的质量关系，以及质子衰变，正好提供三种不同的检验。

先研究最小的非超对称 $SU(5)$ 模型，再讨论上一节的超伙伴怎样改变统一预言。模型将夸克与轻子装入共同表示，因而同时约束规范耦合、质量和重子数破坏作用。后半节继续求反常、重标量交换与有效系数运行，并将四费米作用接到质子衰变和夸克、轻子质量比上。

把标准模型嵌入SU(5)

本节先取第87–89章的可重整标准模型：给定三个规范群因子、三代左Weyl场和一个Higgs双重态，拉格朗日量只含规范及洛伦兹不变、质量维数不超过四的项。将拉氏量中的系数列出，共有20个实参数：三个规范耦合、九个对角Yukawa参数、CKM矩阵的三个角和一个相位、强与弱两个真空角，以及Higgs势的两个参数。这个数目表达了模型仍有许多输入；若要进一步数独立的可观测参数，还要考虑反常相位变换。没有显式 $B+L$ 破坏项时，标准模型的Yukawa作用保持重子数和轻子数，而 $B+L$ 变换的测度相位可以移去弱真空角。由一代场表直接算得

\begin{aligned} \mathcal A_{SU(2)^2(B+L)} &=3\left(\frac13\right)T(\mathbf2)+T(\mathbf2)=1,\\ \mathcal A_{SU(3)^2B} &=2\left(\frac13\right)T(\mathbf3) -\frac13T(\bar{\mathbf3})-\frac13T(\bar{\mathbf3})=0, \qquad T(\mathbf n)=\frac12. \end{aligned} \tag{97.1}

因此这种旋转改变弱角而不改变强角。到本节加入破坏 $B,L$ 的相互作用时，同一旋转也会改变新耦合的相位；应对完整模型重新计数。下面先研究由更大群所强制的耦合联系。

一个最小的例子是Georgi–Glashow $SU(5)$ 模型。取一个实伴随标量 $\Phi=\Phi^aT^a$ ，并设其真空期望值为

\langle\Phi\rangle=VY,\qquad Y=\operatorname{diag}\left(-\frac13,-\frac13,-\frac13, \frac12,\frac12\right),\qquad V\gg v. \tag{97.2}

这里 $V$ 是大统一破缺标度， $v$ 仍是电弱标度。为什么这个方向留下所需群？与 $Y$ 对易的幺正矩阵不能混合两个不同本征值的子空间，只能是一个 $3\times3$ 块和一个 $2\times2$ 块；整个矩阵的行列式为1。因此稳定子是 $S(U(3)\times U(2))$ ，其李代数为 $su(3)\oplus su(2)\oplus u(1)$ 。局部规范相互作用可以按 $SU(3)\times SU(2)\times U(1)$ 的李代数描述；全局群结构还要进一步确定。

若要保留全局群的信息，具体嵌入可写成

(g_3,g_2,z)\longmapsto \operatorname{diag}(z^{-2}g_3,z^3g_2),\qquad |z|=1. \tag{97.3}

映到单位阵要求 $g_3=z^2I_3$ 、 $g_2=z^{-3}I_2$ 和 $z^6=1$ ，所以它的核为 $\mathbb Z_6$ 。稳定子因而是上述直积的 $\mathbb Z_6$ 商。这个区别在讨论磁荷等全局问题时才需要特别保留。

半迹归一 $\operatorname{Tr}T^aT^b=\delta^{ab}/2$ 还决定了超荷方向的尺度。因为

\operatorname{Tr}Y^2=3\left(\frac19\right)+2\left(\frac14\right)=\frac56, \qquad T^{24}=cY,\qquad c^2\frac56=\frac12,\qquad c=\sqrt{\frac35}, \tag{97.4}

不能把标准模型的 $Y$ 直接当成半迹归一的 $SU(5)$ 生成元。耦合关系中的 $\sqrt{3/5}$ 正来自这一步归一。

一代费米子怎样组成完整表示

基本空间分成颜色三维空间 $C$ 与弱二维空间 $W$ 。 $Y$ 在两个子空间上的本征值已经给出，因此

\begin{aligned} \mathbf5&\longrightarrow (\mathbf3,\mathbf1,-\tfrac13)\oplus(\mathbf1,\mathbf2,+\tfrac12),\\ \bar{\mathbf5}&\longrightarrow (\bar{\mathbf3},\mathbf1,+\tfrac13)\oplus(\mathbf1,\mathbf2,-\tfrac12). \end{aligned} \tag{97.5}

第二行是复共轭表示； $SU(2)$ 的共轭双重态可用epsilon张量换成通常双重态。于是 $\bar d$ 和 $\ell$ 已经恰好填满一个 $\bar{\mathbf5}$ 。

余下的场可从 $\mathbf5\otimes\mathbf5$ 寻找。先区分张量交换的对称、反对称子空间，再分别把 $C\oplus W$ 代入：

\begin{aligned} \operatorname{Sym}^2(C\oplus W) &=\operatorname{Sym}^2 C\oplus(C\otimes W)\oplus\operatorname{Sym}^2W,\\ \wedge^2(C\oplus W) &=\wedge^2 C\oplus(C\otimes W)\oplus\wedge^2W. \end{aligned} \tag{97.6}

交叉空间的两种基分别是 $c\otimes w+w\otimes c$ 和 $c\otimes w-w\otimes c$ ，各有六维。两个颜色指标的对称部分有六维，反对称部分可由 $\epsilon_{\alpha\beta\gamma}$ 变成反三重态。两个弱指标的对称部分有三维，反对称部分只有 $\epsilon_{ij}$ 这一个方向。各槽的超荷相加，得到

\begin{aligned} \mathbf{15}&\longrightarrow (\mathbf6,\mathbf1,-\tfrac23)\oplus(\mathbf3,\mathbf2,+\tfrac16) \oplus(\mathbf1,\mathbf3,+1),\\ \mathbf{10}&\longrightarrow (\bar{\mathbf3},\mathbf1,-\tfrac23)\oplus(\mathbf3,\mathbf2,+\tfrac16) \oplus(\mathbf1,\mathbf1,+1),\\ \mathbf5\otimes\mathbf5&=\mathbf{15}_{\rm S}\oplus\mathbf{10}_{\rm A}. \end{aligned} \tag{97.7}

维数分别是 $6+6+3=15$ 和 $3+6+1=10$ 。十表示的三个部分就是 $\bar u,q,\bar e$ 。因此一代全部15个左Weyl分量组成 $\bar{\mathbf5}\oplus\mathbf{10}$ ，还没有增加新的轻费米子。

把场装入群表示以后，还须检查手征规范反常。十表示的三次迹给出 $A(\mathbf{10})=1$ 、 $A(\bar{\mathbf5})=-1$ 。每代都分别相消，因此复制三代不会破坏这一相容性。

协变导数与分量场

用大写 $A,B=1,\ldots,5$ 表示大群指标，定义 $\psi^A\in\bar{\mathbf5}$ 和 $\chi_{AB}=-\chi_{BA}\in\mathbf{10}$ 。前者的生成元是 $-T^{aT}$ ，后者在两个基本槽上分别作用。将这两种表示代入协变导数，得到

\begin{aligned} (D_\mu\psi)^A &=\partial_\mu\psi^A+ig_5(A_\mu)_B{}^A\psi^B,\\ (D_\mu\chi)_{AB} &=\partial_\mu\chi_{AB} -ig_5\big[(A_\mu)_A{}^C\chi_{CB} +(A_\mu)_B{}^C\chi_{AC}\big], \qquad A_\mu=A_\mu^aT^a. \end{aligned} \tag{97.8}

这也可以直接从 $\psi\mapsto U^*\psi$ 和 $\chi\mapsto U\chi U^T$ 得到：无穷小变换的一阶项分别作用在一个或两个指标上。

全指标求和把反对称矩阵的每个独立分量数了两遍，所以动能必须写为

\mathcal L_{\rm kin} =i\psi_A^\dagger\bar\sigma^\mu(D_\mu\psi)^A +\frac i2\chi^{\dagger AB}\bar\sigma^\mu(D_\mu\chi)_{AB}. \tag{97.9}

代入协变导数时， $\chi$ 的两个槽给相同贡献。第二槽一项交换哑指标 $A,B$ ，再用 $\chi_{AC}=-\chi_{CA}$ 、 $\chi^{\dagger BA}=-\chi^{\dagger AB}$ ，两个负号相消，恰与第一槽相同。它们抵消原来的 $1/2$ ，得到

\begin{aligned} \mathcal L_{\rm int} &=g_5\chi^{\dagger AB}(A_\mu)_A{}^C\bar\sigma^\mu\chi_{CB} -g_5\psi_A^\dagger(A_\mu^T)^A{}_B\bar\sigma^\mu\psi^B\\ &=-g_5\left[ \psi_A^\dagger(A_\mu^T)^A{}_B\bar\sigma^\mu\psi^B +\chi^{\dagger BA}(A_\mu)_A{}^C\bar\sigma^\mu\chi_{CB}\right]. \end{aligned} \tag{97.10}

第二行只把 $\chi^\dagger$ 的两个内部指标反序，没有交换两个格拉斯曼场；矩阵次序和前面的负号由此固定。

选取以下分量相位，写成

\psi^A=(\bar d^r,\bar d^b,\bar d^g,e,-\nu),\qquad \chi_{AB}=\begin{pmatrix} 0&\bar u^g&-\bar u^b&u_r&d_r\\ -\bar u^g&0&\bar u^r&u_b&d_b\\ \bar u^b&-\bar u^r&0&u_g&d_g\\ -u_r&-u_b&-u_g&0&\bar e\\ -d_r&-d_b&-d_g&-\bar e&0 \end{pmatrix}. \tag{97.11}

$r,b,g$ 依次为三色。特别是 $\psi$ 的弱部分是 $(e,-\nu)$ ，不是 $(\nu,e)$ ；epsilon将反双重态转成双重态时正好产生这个次序。以后所有相互作用都沿用这些相位。

轻规范场与重X玻色子

规范矩阵也按同样的 $3+2$ 分块：

A_\mu=\begin{pmatrix} G_\mu-\frac c3B_\mu I_3&X_\mu/\sqrt2\\ X_\mu^\dagger/\sqrt2&W_\mu+\frac c2B_\mu I_2 \end{pmatrix},\qquad W_\mu=\begin{pmatrix}W_\mu^3/2&W_\mu^+/\sqrt2\\ W_\mu^-/\sqrt2&-W_\mu^3/2\end{pmatrix},\quad \operatorname{Tr}G_\mu=0. \tag{97.12}

$G,W,B$ 分别是八个胶子、三个弱规范场和超荷场。 $X$ 是 $3\times2$ 复矩阵，共十二个实自由度，恰为 $24-(8+3+1)$ 个破缺方向。沿第87节的Pauli基， $W^\pm=(W^1\mp iW^2)/\sqrt2$ ，它与上述矩阵中带电分量的槽位一致。

$X$ 前的 $1/\sqrt2$ 来自两个实规范场组成一个复场。若 $E_{AB}$ 只有第 $A,B$ 元为1，则一对半迹归一生成元可取

T_1=\frac{E_{\alpha,3+i}+E_{3+i,\alpha}}2,\qquad T_2=\frac{-iE_{\alpha,3+i}+iE_{3+i,\alpha}}2, \qquad X_\alpha{}^i=\frac{A^1-iA^2}{\sqrt2}. \tag{97.13}

其上方非对角元为 $(A^1-iA^2)/2=X/\sqrt2$ 。在未破缺群下，该块按颜色基本、弱反基本变换，超荷等于两个槽的本征值差 $-1/3-1/2=-5/6$ ；弱反双重态与双重态等价，所以这一块的表示可记作 $(\mathbf3,\mathbf2,-5/6)$ 。

质量可直接从伴随动能求出。保持第84节的实场归一 $\mathcal L_{\Phi,\rm kin}=-\operatorname{Tr}(D_\mu\Phi D^\mu\Phi)$ ，有 $D_\mu\langle\Phi\rangle=-ig_5[A_\mu,VY]$ 。设 $\Delta=5V/6$ ，由上述两矩阵求迹得

\begin{aligned} \operatorname{Tr}[T_a,VY][T_b,VY]&=-\frac{\Delta^2}{2}\delta_{ab}, &&a,b=1,2,\\ \mathcal L_{X,\rm mass} &=-\frac{g_5^2\Delta^2}{2}\big[A^1_\mu A^{1\mu}+A^2_\mu A^{2\mu}\big] =-g_5^2\Delta^2X_\mu^\dagger X^\mu,\\ M_X&=\frac56g_5V. \end{aligned} \tag{97.14}

后面的匹配直接用物理质量 $M_X$ ，势参数则始终对应上述规范归一的 $V$ ；

最后看轻场耦合。色块和弱块已按各自群的半迹归一，所以其系数都是 $g_5$ 。超荷块却是 $cB Y$ ，因而 $g_5c$ 才等于通常的 $g_1$ 。因此统一尺度处的树级匹配关系为

\sqrt{\frac53}\,g_1=g_2=g_3=g_5. \tag{97.15}

例如 $\psi$ 色分量的相互作用含 $+g_5cB\bar d^\dagger\bar\sigma\bar d/3$ ，正是 $Y_{\bar d}=1/3$ ； $\chi_{\alpha,3+i}$ 的两个对角槽相加，得到 $-1/3+1/2=1/6$ ，也是 $q$ 的超荷。这样，表示分解与实际拉氏量相互核对。

重规范场的流与质子衰变

取式（97.10）中一个 $X^\dagger$ 槽，可以逐项看出它连接哪些场。 $\psi$ 项给 $\bar d^\dagger(e,-\nu)$ 。 $\chi$ 项若剩下的求和槽是另一个弱槽，分别给 $-\bar e^\dagger d$ 和 $+\bar e^\dagger u$ ；若剩下的是颜色槽，则用 $\chi_{\alpha\beta}=\epsilon_{\alpha\beta\gamma}\bar u^\gamma$ ，给 $q^\dagger\bar u$ 。因此

\begin{aligned} J_\alpha^{1\mu} &=\bar d_\alpha^\dagger\bar\sigma^\mu e -\bar e^\dagger\bar\sigma^\mu d_\alpha +\epsilon_{\alpha\beta\gamma}u^{\dagger\beta}\bar\sigma^\mu\bar u^\gamma,\\ J_\alpha^{2\mu} &=-\bar d_\alpha^\dagger\bar\sigma^\mu\nu +\bar e^\dagger\bar\sigma^\mu u_\alpha +\epsilon_{\alpha\beta\gamma}d^{\dagger\beta}\bar\sigma^\mu\bar u^\gamma,\\ \mathcal L_X&=-\frac{g_5}{\sqrt2}X_{i\mu}^{\dagger\alpha}J_\alpha^{i\mu} +\mathrm{h.c.} \end{aligned} \tag{97.16}

将 $\ell=(\nu,e)$ 、 $q=(u,d)$ 重新装成弱双重态，就得到按未破缺群指标收缩的流

J_\alpha^{i\mu} =\epsilon^{ij}\bar d_\alpha^\dagger\bar\sigma^\mu\ell_j -\epsilon^{ij}\bar e^\dagger\bar\sigma^\mu q_{\alpha j} +\epsilon_{\alpha\beta\gamma}q^{\dagger\beta i}\bar\sigma^\mu\bar u^\gamma. \tag{97.17}

有三代时，每个双线性增加同一个代指标，再对代求和。

前两项的 $(B,L)$ 为 $(1/3,1)$ ，第三项为 $(-2/3,0)$ 。同一个 $X$ 同时耦合这两种流，因而不能给它指定一个同时使所有顶角守恒的重子数和轻子数。交换 $X$ 形成的交叉项具有 $\Delta B=\Delta L=\pm1$ ； $B-L$ 仍然守恒。质子于是可以变成正电子和介子。

先估计这个新作用会产生多快的质子衰变。低动量 $X$ 传播子给 $1/M_X^2$ ，两个顶角给 $g_5^2$ ，有效四费米系数的维数是 $-2$ 。若强子矩阵元只由 $m_p$ 定标，平方并乘两体相空间便给

\Gamma(p\to e^+\pi^0)\sim\frac{g_5^4m_p^5}{8\pi M_X^4}. \tag{97.18}

这里的系数只是粗估； $m_p^5$ 则由量纲固定。以历史上使用的寿命限制 $\tau>10^{33}$ 年为例，取 $g_5\sim0.6$ ，得到 $M_X$ 须高于几乘 $10^{15}$ GeV。按 $m_p=0.938$ GeV和一年 $365.25$ 日逐项换算，粗式给 $3.66\times10^{15}$ GeV。要把这种估计变成计算，必须求出有效算符、把它的系数运行到低能，再接上三夸克的强子矩阵元。系数运行和强子匹配将依次完成这些步骤。

Higgs表示与完整的Yukawa展开

电弱破缺还需要 $(\mathbf1,\mathbf2,-1/2)$ 标量。能容纳它的最小完整 $SU(5)$ 表示又是 $\bar{\mathbf5}$ ，所以加入

H^A=(\phi^r,\phi^b,\phi^g,\varphi^-,-\varphi^0),\qquad \varphi=\binom{\varphi^0}{\varphi^-},\qquad \phi\sim(\bar{\mathbf3},\mathbf1,+\tfrac13). \tag{97.19}

$H$ 在本节是普通标量场。除了熟悉的电弱Higgs，它还带来三个有色标量分量。

为了找出全部可重整Yukawa项，可以先用中心变换筛选。若 $z^5=1$ ， $H,\psi,\chi$ 分别带中心因子 $z^{-1},z^{-1},z^2$ 。一个标量与两个左Weyl场的六种组合中， $H\psi\psi$ 、 $H\chi\chi$ 、 $H^\dagger\psi\psi$ 、 $H^\dagger\psi\chi$ 的因子分别是 $z^{-3},z^3,z^{-1},z^2$ ，均不能成为单态；只剩 $H\psi\chi$ 和 $H^\dagger\chi\chi$ 。前者以两个上下指标配对，后者以五维体积张量收缩，各只有一个独立单态。右手共轭项再由h.c.给出，因此允许的Yukawa相互作用恰由两个不变量组成：

\mathcal L_Y =-yH^A\psi^B\chi_{AB} -\frac{y''}{8}\epsilon^{ABCDE}H_A^\dagger\chi_{BC}\chi_{DE} +\mathrm{h.c.} \tag{97.20}

第一项的上下指标直接配对；第二项的五个基本指标用体积张量缩并。两项各含一个标量和两个Weyl场，维数为 $1+3/2+3/2=4$ ，所以 $y,y''$ 无量纲。旋量指标仍用洛伦兹反对称张量收缩。

先展开第一项。弱槽的贡献为 $H^4\psi^5\chi_{45}+H^5\psi^4\chi_{54} =(\varphi^0 e-\varphi^-\nu)\bar e$ 。 $H$ 在弱槽、 $\psi$ 在颜色槽的贡献为 $(\varphi^0 d_\alpha-\varphi^-u_\alpha)\bar d^\alpha$ 。余下 $H$ 在颜色槽时，分别与两个颜色槽或一个弱槽相接。四种贡献于是合成

\begin{aligned} H^A\psi^B\chi_{AB} ={}&\epsilon^{ij}\varphi_i\ell_j\bar e +\epsilon^{ij}\varphi_iq_{\alpha j}\bar d^\alpha\\ &+\epsilon_{\alpha\beta\gamma}\phi^\alpha\bar d^\beta\bar u^\gamma +\epsilon^{ij}\phi^\alpha q_{\alpha i}\ell_j. \end{aligned} \tag{97.21}

第一行给带电轻子和下型夸克质量，第二行给新标量的耦合。

第二项的组合因子更容易在固定 $H_A^\dagger$ 后看清。定义 $P_A=\epsilon^{ABCDE}\chi_{BC}\chi_{DE}/8$ 。两个奇Weyl场组成的洛伦兹标量满足 $(ab)=(ba)$ ：交换场和交换旋量epsilon各给一个负号。于是对固定的四个内部指标，每种配对有两对各反序及交换两对所产生的 $2\times2\times2=8$ 个相等贡献。举例说，

P_1=\chi_{23}\chi_{45}-\chi_{24}\chi_{35}+\chi_{25}\chi_{34} =\bar u^r\bar e-u_b d_g+d_bu_g. \tag{97.22}

其余四个槽也须保留相对号。按 $\epsilon^{12345}=+1$ 逐一展开，得到

\begin{aligned} P_2&=\bar u^b\bar e+u_r d_g-d_r u_g,& P_3&=\bar u^g\bar e-u_r d_b+d_r u_b,\\ P_4&=-\big(d_r\bar u^r+d_b\bar u^b+d_g\bar u^g\big),& P_5&=u_r\bar u^r+u_b\bar u^b+u_g\bar u^g. \end{aligned} \tag{97.23}

例如 $P_4=-(\chi_{12}\chi_{35}-\chi_{13}\chi_{25}+\chi_{15}\chi_{23})$ ；前面的负号来自把4从第四槽移到第一槽的三次交换。 $P_5$ 则需四次交换，号为正。这些符号决定弱Higgs项与有色Higgs项的相对相位。

将五项与式（97.19）相乘，完整结果为

\begin{aligned} \mathcal L_Y={}&-y\epsilon^{ij}\varphi_i\ell_j\bar e -y\epsilon^{ij}\varphi_iq_{\alpha j}\bar d^\alpha +y''\varphi^{\dagger i}q_{\alpha i}\bar u^\alpha\\ &-y\epsilon_{\alpha\beta\gamma}\phi^\alpha\bar d^\beta\bar u^\gamma -y\epsilon^{ij}\phi^\alpha q_{\alpha i}\ell_j -y''\phi_\alpha^\dagger\bar u^\alpha\bar e\\ &+\frac{y''}{2}\epsilon^{\alpha\beta\gamma}\epsilon^{ij} \phi_\alpha^\dagger(q_{\beta i}q_{\gamma j})+\mathrm{h.c.} \end{aligned} \tag{97.24}

最后一行的 $1/2$ 是因为两个颜色、弱指标共同求和给 $\epsilon^{r\beta\gamma}\epsilon^{ij}q_{\beta i}q_{\gamma j} =2(u_b d_g-d_bu_g)$ 。这一耦合与其余有色项一起参与重标量交换。

固定场矩阵中的相位以后，上型项的正号便与两个有色项的相对号一起由大群不变量确定。若把 $y''$ 整体改号，三个项会同时变号。因而使用式（97.24）时，与第89节的负号定义比较应记 $Y_u=-y''$ ；这一相位约定不改变上型质量的奇异值。

夸克与轻子的质量联系

三代时应保持每个矩阵的行、列所指场不变。若大群第一项定义成 $-y_{IJ}H^A\psi_I^B\chi_{AB,J}$ ，则弱展开给 $\ell_I\bar e_J$ 及 $q_J\bar d_I$ 。按第88、89章分别以 $\ell_I\bar e_J$ 、 $q_I\bar d_J$ 排序，匹配关系是

Y_e=y,\qquad Y_d=y^T,\qquad Y_u=-y'',\qquad y''=y''{}^T. \tag{97.25}

最后的对称性来自第二个不变量交换两个 $\chi$ 时不变，故反对称代矩阵没有贡献。前两个矩阵之间的转置则来自下型项与轻子项中代指标的固定排序。

转置不改变奇异值。若 $y=UdV^\dagger$ ，那么 $y^T=V^*dU^T$ ，其中 $d$ 可取实非负对角。因此乘上共同的Higgs真空值后，在统一尺度得到

m_b(M_X)=m_\tau(M_X),\qquad m_s(M_X)=m_\mu(M_X),\qquad m_d(M_X)=m_e(M_X). \tag{97.26}

这些是共同方案中的树级边界关系。夸克与轻子的低能质量并不直接相等，因为从 $M_X$ 向下运行时，夸克还受到强作用的修正。质量比的运行将给出这一步的结果。

有色 $\phi$ 的作用也破坏 $B,L$ 守恒，相应的四费米项由标量源消元得到。第一代Yukawa耦合比规范耦合约小 $10^5$ 倍，所以同一寿命限制中 $y^4/M_\phi^4$ 与 $g_5^4/M_X^4$ 相比，只要求 $M_\phi$ 约大于 $10^{-5}M_X$ ，也就是 $10^{10}$ GeV量级。虽比重规范场的界弱，它仍远高于电弱尺度。

真空方向与双重态、三重态的质量分离

要使 $\varphi$ 保持轻而 $\phi$ 足够重，需要看标量势。再要求 $\Phi\mapsto-\Phi$ 的离散对称性，先研究如下势：

\begin{aligned} \mathcal V(\Phi,H)={}&-\frac{m_\Phi^2}{2}\operatorname{Tr}\Phi^2 +\frac{\lambda_1}{4}\operatorname{Tr}\Phi^4 +\frac{\lambda_2}{4}(\operatorname{Tr}\Phi^2)^2\\ &+m_H^2H^\dagger H+\frac{\kappa_1}{4}(H^\dagger H)^2 -\frac{\kappa_2}{2}H^\dagger\Phi_{\bar5}^{2}H, \qquad \Phi_{\bar5}=-\Phi^T. \end{aligned} \tag{97.27}

以反基本矩阵作用于 $H$ 保证缩并的表示相容；平方的本征值与基本矩阵相同。这还不是所给对称性允许的一般势： $\eta(H^\dagger H)\operatorname{Tr}\Phi^2$ 同样可重整、同样为偶。它只依赖两个场的长度，而最后一项依赖 $H$ 相对 $\Phi$ 的取向，所以两者独立。以下先研究 $\eta=0$ 的参数选择。

先置 $H=0$ ，取 $m_\Phi^2,\lambda_1,\lambda_2>0$ 。第84节的本征值极小化给出所有无迹厄米方向的比较：任意无迹厄米 $5\times5$ 矩阵满足

\frac{\operatorname{Tr}\Phi^4}{(\operatorname{Tr}\Phi^2)^2} \ge\frac7{30},\qquad \text{等号的两个本征值重数为3和2。} \tag{97.28}

证明的关键是先求约束驻点，再排除所有含三个不同本征值的极小点；余下两值谱的重数越接近，四次迹越小。这样选出 $Y$ 以后，径向求解才确定尺度。

具体说，令 $\rho^2=\operatorname{Tr}\Phi^2$ 。在最低方向上，势为 $-m_\Phi^2\rho^2/2+(7\lambda_1/30+\lambda_2)\rho^4/4$ 。取非零径向驻点，并用 $\rho^2=5V^2/6$ ，得到

\rho^2=\frac{30m_\Phi^2}{7\lambda_1+30\lambda_2},\qquad V^2=\frac{36m_\Phi^2}{7\lambda_1+30\lambda_2}. \tag{97.29}

两个离散分支是 $\Phi=\pm VUYU^\dagger$ ；每个分支都留下前面已求出的标准模型李代数。

在这一背景上， $\Phi^2$ 的弱本征值为 $V^2/4$ ，颜色本征值为 $V^2/9$ 。直接读出二次项，就有

\begin{aligned} m_\varphi^2&=m_H^2-\frac18\kappa_2V^2,\\ M_\phi^2&=m_H^2-\frac1{18}\kappa_2V^2,\\ M_\phi^2-m_\varphi^2&=\frac5{72}\kappa_2V^2. \end{aligned} \tag{97.30}

若恢复 $\eta$ 项，两质量都加上 $5\eta V^2/6$ ，质量差仍不变。

即使把六个参数都取正，也不足以保证两个场一起变大时势有下界。设 $\Phi=tX$ ， $H$ 沿 $X$ 的某个本征值 $x_j$ 方向，长度为 $h$ ，并记 $Q(X)=\lambda_1\operatorname{Tr}X^4+\lambda_2(\operatorname{Tr}X^2)^2$ 。四次部分可以配成

\begin{aligned} \mathcal V_4 &=\frac{Q(X)}4t^4+\frac{\kappa_1}4h^4 -\frac{\kappa_2x_j^2}{2}t^2h^2\\ &=\frac14\big(\sqrt{Q(X)}t^2-\sqrt{\kappa_1}h^2\big)^2 +\frac12\big(\sqrt{\kappa_1Q(X)}-\kappa_2x_j^2\big)t^2h^2. \end{aligned} \tag{97.31}

因此所有方向至少须满足 $\kappa_2x_j^2\le\sqrt{\kappa_1Q(X)}$ 。严格不等号给出四次势的正下界；等号方向还要查看二次项。以 $X=Y$ 、 $x_j=1/2$ 为例，若 $\kappa_2^2/16>\kappa_1(35\lambda_1/216+25\lambda_2/36)$ ，便能沿第一平方为零的射线把势降至负无穷，尽管各参数仍为正。所以下面的质量分离讨论还需选择联合势稳定的参数区间。

为了有电弱破缺，要求 $m_\varphi^2$ 为约 $-(100\,\mathrm{GeV})^2$ 的负数；质子寿命却要求 $M_\phi^2\gtrsim10^{20}\,\mathrm{GeV}^2$ 。由式（97.30），两个量都来自大数 $m_H^2$ 与 $\kappa_2V^2$ 的组合，轻的那个需要至少约 $10^{-16}$ 的相对抵消。这就是双重态—三重态分离中的精细调节（fine tuning）。若进一步按量级取 $\kappa_2\sim g_5^2$ ， $M_\phi$ 还会接近 $M_X$ ，抵消要求更强；这个量级选择是启发式估计，并非群对称性强制的等式。

在 $V\gg v$ 且伴随径向没有平坦方向时，电弱真空对大背景的相对反馈为 $v^2/V^2$ 阶，式（97.30）是这一展开的领头质量参数。为何两个破缺尺度相差如此悬殊，便是更广义的规范层级问题（gauge hierarchy problem）。本模型把问题具体落实到势参数上，却没有给出迫使这种抵消发生的动力学原因。

从重X交换得到低能算符

在外部不变量远小于 $M_X^2$ 时，可以沿第29节的方法把重场消去。领头近似只保留其质量和线性流耦合。令 $a=g_5/\sqrt2$ ，则

\begin{aligned} \mathcal L_{X,0} &=-M_X^2X_\mu^\dagger X^\mu-a(X_\mu^\dagger J^\mu+J_\mu^\dagger X^\mu)\\ &=-M_X^2\left(X_\mu+\frac a{M_X^2}J_\mu\right)^\dagger \left(X^\mu+\frac a{M_X^2}J^\mu\right) +\frac{g_5^2}{2M_X^2}J_\mu^\dagger J^\mu,\\ X_\mu&=-\frac{g_5}{\sqrt2M_X^2}J_\mu,\qquad \mathcal L_{X,\rm eff}=\frac{g_5^2}{2M_X^2}J_\mu^\dagger J^\mu. \end{aligned} \tag{97.32}

表示指标在每个乘积中也按式（97.17）配对。这个复场消元没有额外的 $1/2$ ，显示出来的 $1/2$ 完全来自两个顶角的 $1/\sqrt2$ 。系数中的 $g_5^2$ 来自两个规范顶角；定义流 $J$ 时只组合了场，因此 $J$ 中没有另一个耦合系数。

恢复动能再迭代运动方程，会产生 $g_5^2\partial^2/M_X^4$ 的高导数项；重粒子圈则给更高耦合阶的匹配修正。式（97.32）保留的是树级、最低逆质量阶，等价于一个重 $X$ 传播子的低动量展开。

从三类流中挑出重子数不同的交叉项，一代结果为

\begin{aligned} \mathcal L_{X,\rm eff}^{|\Delta B|=1} =\frac{g_5^2}{2M_X^2}\epsilon^{ij}\epsilon^{\alpha\beta\gamma} \big(\bar d_\alpha^\dagger\bar\sigma^\mu\ell_i -\bar e^\dagger\bar\sigma^\mu q_{\alpha i}\big) \bar u_\beta^\dagger\bar\sigma_\mu q_{\gamma j} +\mathrm{h.c.} \end{aligned} \tag{97.33}

为了把旋量收缩化为质量型双线性，使用本书的奇场Fierz恒等式

(a^\dagger\bar\sigma^\mu b)(c^\dagger\bar\sigma_\mu d) =-2(a^\dagger c^\dagger)(bd). \tag{97.34}

其号可以沿第35节的指标约定逐次追踪：两个 $\bar\sigma$ 先缩成 $-2\epsilon^{\dot a\dot c}\epsilon^{bd}$ ；把 $b$ 移过 $c^\dagger$ 给一个负号，再将剩余未点epsilon收缩换成定义的 $(bd)$ 又给一个负号。两个重排号相消，保留式中的 $-2$ 。

第一项于是变为 $-2(\bar d^\dagger\bar u^\dagger)(\ell q)$ 。第二项本已有负号，Fierz后为 $+2(\bar e^\dagger\bar u_\beta^\dagger)(q_{\alpha i}q_{\gamma j})$ ；再交换哑颜色指标 $\beta,\gamma$ ，epsilon翻号，使两项具有共同的负系数。定义

\begin{aligned} \mathcal O_1&=\epsilon^{ij}\epsilon^{\alpha\beta\gamma} (\ell_iq_{\gamma j})(\bar d_\alpha^\dagger\bar u_\beta^\dagger),\\ \mathcal O_2&=\epsilon^{ij}\epsilon^{\alpha\beta\gamma} (\bar e^\dagger\bar u_\gamma^\dagger)(q_{\alpha i}q_{\beta j}),\\ \mathcal L_{\not B}&=-C_1\mathcal O_1-C_2\mathcal O_2+\mathrm{h.c.},\qquad C_1(M_X)=C_2(M_X)=\frac{g_5^2}{M_X^2}. \end{aligned} \tag{97.35}

每个算符有四个费米场，维数为6； $[C_i]=-2$ 。这两个算符构成系数运行所用的算符基。它们的低能系数不再固定等于匹配时的共同值，规范圈对两种超荷收缩的作用不同。

同时还应消去伴随标量的重分量。由 $3+2$ 分块，伴随的对角部分给 $(\mathbf8,\mathbf1,0)\oplus(\mathbf1,\mathbf3,0)\oplus(\mathbf1,\mathbf1,0)$ ；十二个非对角方向已成为重规范场的纵向分量。剩下的这十二个标量不直接与本模型的费米子作Yukawa耦合：在 $SU(5)$ 中心 $z^5=1$ 下， $\Phi$ 中性， $\psi$ 带 $z^{-1}$ 、 $\chi$ 带 $z^2$ ，三个可能的费米双线性分别带 $z^{-2},z,z^4$ ，都不是单态。因此这些重伴随场会影响阈值匹配，却不产生同类的直接树级四费米交换。

去掉重场以后的规范耦合跑动

全 $SU(5)$ 理论中，式（97.15）只是同一规范连接的分量归一。低能有效理论却有三个独立的耦合，因为圈里已没有全部 $SU(5)$ 多重态。 $\overline{\mathrm{MS}}$ 本身不会自动删除重粒子；应先匹配到轻场理论，再用轻场的beta函数运行。在领头近似中，把重标量和重规范场的阈值放在共同的 $M_X$ ，忽略有限匹配及更高圈项。

第66节和第73节已分别算出阿贝尔、非阿贝尔的一圈贡献。换成左Weyl和复标量计数，可统一写为

\mu\frac{dg_a}{d\mu}=\frac{b_a}{16\pi^2}g_a^3+O(g^5),\qquad b_a=-\frac{11}{3}C_A +\frac23\sum_{\text{左Weyl}}T_a(R_f) +\frac13\sum_{\text{复标量}}T_a(R_s). \tag{97.36}

一个Weyl是Dirac贡献的一半，一个复标量是实标量贡献的两倍。每个 $T_a$ 还须乘上其他群因子的维数。

对一代，颜色迹为 $2T(\mathbf3)+T(\bar{\mathbf3})+T(\bar{\mathbf3})=2$ ；弱迹为 $3T(\mathbf2)+T(\mathbf2)=2$ 。阿贝尔生成元就是各分量的超荷，因此

\sum_f d_3d_2Y_f^2 =2\left(-\frac12\right)^2+1 +6\left(\frac16\right)^2 +3\left(-\frac23\right)^2+3\left(\frac13\right)^2 =\frac{10}{3}. \tag{97.37}

唯一的复Higgs双重态给弱迹 $1/2$ 、超荷平方和 $1/2$ ，再乘复标量系数 $1/3$ ，各给 $1/6$ 。将各类场的贡献相加，三群的系数为

\begin{aligned} b_3&=-11+\frac43n,& b_2&=-\frac{22}{3}+\frac43n+\frac16,& b_1&=\frac{20}{9}n+\frac16,\\ n=3:&\qquad (b_1,b_2,b_3)=\left(\frac{41}{6},-\frac{19}{6},-7\right). \end{aligned} \tag{97.38}

若另外用统一归一的 $g_{1G}=\sqrt{5/3}g_1$ ，求导后会得到 $b_{1G}=(3/5)b_1=41/10$ 。本节始终使用乘通常 $Y$ 的 $g_1$ ，所以应保留 $41/6$ 。

用两个测量值求统一尺度并预言弱角

令 $\alpha_a=g_a^2/(4\pi)$ ，一圈方程可以直接积分：

\frac{d\alpha_a}{d\ln\mu}=\frac{b_a}{2\pi}\alpha_a^2,\qquad \frac{d\alpha_a^{-1}}{d\ln\mu}=-\frac{b_a}{2\pi},\qquad \alpha_a^{-1}(\mu)=\alpha_a^{-1}(M_X) +\frac{b_a}{2\pi}\ln\frac{M_X}{\mu}. \tag{97.39}

负的 $b_3$ 使能量降低时 $\alpha_3^{-1}$ 减小，强耦合增大，符号与渐近自由一致。在 $M_X$ 施加树级匹配，再用 $g_2=e/s_W$ 、 $g_1=e/c_W$ ，有

\begin{aligned} \alpha_3^{-1}(\mu)&=a+\frac{b_3}{2\pi}L,\\ \frac{s_W^2(\mu)}{\alpha(\mu)}&=a+\frac{b_2}{2\pi}L,\\ \frac{c_W^2(\mu)}{\alpha(\mu)}&=\frac53a+\frac{b_1}{2\pi}L, \qquad a=\alpha_5^{-1}(M_X),\quad L=\ln\frac{M_X}{\mu}. \end{aligned} \tag{97.40}

$5/3$ 来自统一尺度处的超荷归一；低能 $\alpha_1$ 仍按通常的 $Y$ 定义。

令 $A=\alpha^{-1}(\mu)$ 、 $B=\alpha_3^{-1}(\mu)$ 。后两式相加消去弱角，剩下两个线性方程：

B=a+\frac{b_3}{2\pi}L,\qquad A=\frac83a+\frac{b_1+b_2}{2\pi}L. \tag{97.41}

用第二式减去第一式的 $8/3$ 倍，先得 $L$ ；再代回第一式得 $a$ 。记 $D=b_1+b_2-8b_3/3$ ，结果为

L=\frac{2\pi}{D}\left(A-\frac83B\right),\qquad a=\frac{-b_3A+(b_1+b_2)B}{D}. \tag{97.42}

标准模型与MSSM场谱都给 $D\ne0$ ，因而两个输入唯一确定 $a,L$ 。

最后把解放入 $s_W^2=\alpha[a+b_2L/(2\pi)]$ ，整理 $A$ 和 $B$ 的系数，得到

s_W^2(\mu) =\frac{b_2-b_3+(b_1-5b_2/3)B/A}{D}. \tag{97.43}

三个低能耦合只有两个高能输入 $a,L$ ，所以第三个组合成为预言。这是统一模型可以被检验的原因。

在 $\mu=M_Z$ 处，用以下历史测量值作数值示例：

\alpha_3=0.1187\pm0.0020,\qquad \alpha^{-1}=127.91\pm0.02,\qquad (s_W^2)_{\rm obs}=0.23120\pm0.00015. \tag{97.44}

只用前两个作边界，第三个用来比较。代入非超对称系数，式（97.42）、（97.43）化为

a=\frac{21A+11B}{67},\qquad L=\frac{2\pi(3A-8B)}{67},\qquad s_W^2=\frac{69+218B/A}{402}. \tag{97.45}

取中央值及 $M_Z=91.2$ GeV，得到 $a=41.4743$ 、 $L=29.6654$ ，所以 $M_X=6.97\times10^{14}$ GeV、 $s_W^2=0.20736$ 。前者偏低，难以压低质子衰变；后者也比上述历史观测弱角小约10%。两个检验指向相同的问题。

作为比较，一组历史两圈评价给出 $M_X\simeq4\times10^{14}$ GeV、 $s_W^2=0.210\pm0.001$ 。这种精度还依赖两圈beta函数、重质量分裂和有限阈值匹配，这两个数值作为高阶比较输入使用。以上显式求出的一圈结果已经表明最小模型的困难，后面的质子计算也统一采用这套一圈边界。

超伙伴怎样改变统一

把第96节的超伙伴加入以后，一圈系数可以重新由场内容计算。一个矢量超多重态含规范玻色子和一个伴随Weyl场，给 $-11C_A/3+2C_A/3=-3C_A$ ；一个手征超多重态含Weyl场和复标量，给 $(2/3+1/3)T(R)=T(R)$ 。每代的三个群迹仍是此前的 $2,2,10/3$ ，但Higgs现在有两个手征双重态。于是

\begin{aligned} b_3&=-9+2n,&b_2&=-6+2n+1,&b_1&=\frac{10}{3}n+1,\\ n=3:&\qquad (b_1,b_2,b_3)=(11,1,-3). \end{aligned} \tag{97.46}

这些系数假定所列多重态在考察的能区内都活跃；若超伙伴质量分散，便要分段使用相应的场清单。

把新系数放进同一组线性方程，得到

a=\frac{3A+12B}{20},\qquad L=\frac\pi{10}\left(A-\frac83B\right),\qquad s_W^2=\frac15+\frac7{15}\frac BA. \tag{97.47}

若将超对称谱的共同低阈值近似放在 $M_Z$ ，弱角变为约 $0.2307$ ，统一尺度升至约 $2\times10^{16}$ GeV。改变的是三个逆耦合的斜率，所需的交汇点因而移高，预言的弱角也更接近上述历史观测值。

另一个历史两圈比较值是弱角约 $0.234$ ，其不确定性还与超伙伴质量有关。要达到这种精度，阈值位置与有限匹配都应一起指定。本节的较高 $M_X$ 会显著压低已经计算的重 $X$ 维数六交换；若研究完整超对称大统一模型，还应另计其余重场产生的衰变算符。

质量比与更大的统一群

回到非超对称模型，式（97.26）的三个关系受到规范运行修正。下型Yukawa与轻子Yukawa之比的运行表明，强作用使低能下型质量相对增大。然而，同类场的三代具有相同规范荷，只保留规范玻色子的一圈贡献时，它们满足相同的乘法运行方程。因此在同一尺度、同一方案中，两代之比的共同因子抵消，仍预言

\frac{m_e}{m_\mu}=\frac{m_d}{m_s},\qquad \frac{m_\mu}{m_\tau}=\frac{m_s}{m_b}. \tag{97.48}

这些关系只用了所述规范修正的抵消，Yukawa本身引起的味依赖修正不在这个近似内。与前面列出的夸克质量及带电轻子质量比较，第一项的差别尤其明显。因而最小模型即使借助运行改善 $b$ 与 $\tau$ 的单个关系，也还不能给出完整的费米子质量谱。

一种改法是增加不同表示的Higgs，使一个低能质量矩阵可由不止一个大群不变量组成；另一种改法是加入由更高尺度 $\Lambda>M_X$ 压低的高维项。它们打破了式（97.25）的简单联系，也带来新系数。例如可用约 $1.2\times10^{19}$ GeV的Planck质量作为可能的高尺度，这里只用来说明有效展开的层次。

中微子质量也可以沿第91节接入。加入 $SU(5)$ 单态左Weyl场 $\bar\nu_J$ 后，有

\mathcal L_\nu =-\widetilde y_{IJ}H_A^\dagger\psi_I^A\bar\nu_J -\frac12M_{IJ}\bar\nu_I\bar\nu_J+\mathrm{h.c.}, \qquad M=M^T. \tag{97.49}

大群不变量的弱部分是 $\varphi^\dagger\ell$ ，于是第91节的Dirac质量和重Majorana消元直接适用。加入单态给出了一种可重整的最小扩充；若已允许上一段的高维作用， $(H^\dagger\psi_I)(H^\dagger\psi_J)/\Lambda$ 本身也是规范不变的维数五算符，可在不显写单态场的有效理论中产生中微子质量。

还可以考虑 $SO(10)$ 统一。要容纳16维旋量表示，严格的群应取双覆盖 $\operatorname{Spin}(10)$ ；通常的“SO(10)大统一”名称在此沿用其李代数。16为何恰能容纳 $\bar\nu\oplus\bar5\oplus10$ ，可以用一个简短构造看出。引入五对费米振子 $b_A,b_A^\dagger$ ，满足 $\{b_A,b_B^\dagger\}=\delta_{AB}$ ，并定义十个内部欧氏Clifford矩阵

\Gamma_{2A-1}=b_A+b_A^\dagger,\qquad \Gamma_{2A}=i(b_A-b_A^\dagger),\qquad \{\Gamma_M,\Gamma_N\}=2\delta_{MN}. \tag{97.50}

这套 $\Gamma$ 只作用于内部空间，与四维Dirac矩阵分开。振子的反对易关系使相同 $A$ 的两个平方为1，交叉反对易子为零，从而十个矩阵满足所需Clifford代数；双线性对易子产生 $so(10)$ 。Fock空间是 $\bigoplus_{k=0}^5\wedge^k\mathbf5$ ，共有 $2^5=32$ 维。双线性生成元保持占据数的奇偶，因此分成两个16维手征旋量。

令 $SU(5)$ 按基本表示作用于五个产生算符。偶占据子空间便分解为

\mathbf{16}\big|_{SU(5)} =\wedge^0\mathbf5\oplus\wedge^2\mathbf5\oplus\wedge^4\mathbf5 =\mathbf1\oplus\mathbf{10}\oplus\bar{\mathbf5}, \qquad 1+10+5=16. \tag{97.51}

最后一步用五维epsilon将四个反对称基本指标换成一个反基本指标。另一手征的奇占据空间给复共轭表示。这样，一代连同中微子单态恰好装进一个不可约旋量。

十维实矢量在 $SU(5)$ 下复化为 $\mathbf5\oplus\bar{\mathbf5}$ ，能容纳电弱Higgs；但把统一群实际破缺到标准模型，还需额外标量与合适的势。例如可选45维伴随和16维标量，再通过它们的势确定破缺方向及稳定性。由此可以构造许多具有不同谱和阈值的大统一模型。它们把规范、味和重子数问题联系起来，也同时接受这些方面的检验；是否有某一种描述自然界，最终仍须由这些检验来决定。

一代SU(5)费米子的反常

第75节已经说明，四维局部微扰规范反常由左Weyl表示的对称三生成元迹控制。这里只需比较 $\bar{\mathbf5}$ 与 $\mathbf{10}$ 的这个迹，而不必重新计算三角图。这个迹可以从表示的本征值直接求出。取基本表示中任意无迹厄米矩阵 $X$ ，将其本征值记为 $x_i$ ，有 $\sum_i x_i=0$ 。

在 $\wedge^2\mathbf N$ 的基 $e_i\wedge e_j$ 上，生成元分别作用在两个槽，故 $X$ 的本征值是 $x_i+x_j$ ，其中 $i<j$ 。展开三次迹，

\begin{aligned} \operatorname{Tr}_{\wedge^2N}X^3 &=\sum_{i<j}(x_i+x_j)^3\\ &=(N-1)\sum_i x_i^3+3\sum_{i\ne j}x_i^2x_j\\ &=(N-1)\sum_i x_i^3 +3\sum_i x_i^2\left(\sum_jx_j-x_i\right)\\ &=(N-4)\sum_i x_i^3. \end{aligned} \tag{97.52}

每个 $x_i^3$ 在 $N-1$ 个配对中出现；交叉项在第二行已经把两个方向的有序配对合并。迹零条件给出最后的 $-3$ ，所以系数是 $N-4$ 。

这个恒等式对任意厄米 $X$ 成立。令 $X=sT^a+tT^b+uT^c$ ，比较 $s\,t\,u$ 的系数，就得到三个生成元完全对称迹的同一比例；这一步通常称为三次多项式的极化。反基本生成元为 $-T^{aT}$ ，三次迹另带负号。因此以基本表示的反常系数为1，

A(\bar{\mathbf5})=-1,\qquad A(\mathbf{10})=5-4=1,\qquad A(\bar{\mathbf5}\oplus\mathbf{10})=0. \tag{97.53}

一代已经相消，三代只是将零重复三次。对称三次迹相消，使这组手征表示通过局部微扰规范反常的检验。

有色标量的重子数破坏作用

从完整Yukawa展开出发，同时保留 $\phi^\dagger qq$ 及其余有色耦合。先保留颜色指标，定义四种格拉斯曼偶双线性

\begin{aligned} A_\alpha&=\epsilon_{\alpha\beta\gamma} (\bar d^\beta\bar u^\gamma),& B_\alpha&=\epsilon^{ij}(q_{\alpha i}\ell_j),\\ C^\alpha&=(\bar u^\alpha\bar e),& D^\alpha&=\epsilon^{\alpha\beta\gamma}\epsilon^{ij} (q_{\beta i}q_{\gamma j}),\\ S_\alpha&=y(A_\alpha+B_\alpha),& T^\alpha&=y''(C^\alpha-D^\alpha/2). \end{aligned} \tag{97.54}

以下只在重标量消元中使用这组源记号。重标量的低动量拉氏量为

\begin{aligned} \mathcal L_{\phi,0} &=-M_\phi^2\phi_\alpha^\dagger\phi^\alpha -(\phi^\alpha S_\alpha+\phi_\alpha^\dagger T^\alpha+\mathrm{h.c.})\\ &=-M_\phi^2\left(\phi+\frac K{M_\phi^2}\right)^\dagger \left(\phi+\frac K{M_\phi^2}\right) +\frac{K^\dagger K}{M_\phi^2},\qquad K^\alpha=T^\alpha+S^{\dagger\alpha}. \end{aligned} \tag{97.55}

对 $\phi^\dagger$ 求变分得到 $\phi=-K/M_\phi^2$ ；代回以后便只留下 $K^\dagger K/M_\phi^2$ 。两个独立实分量组成的复场，使源平方的系数为 $1/M_\phi^2$ 。

要挑出 $|\Delta B|=1$ ，分别数四个双线性的荷：

\begin{array}{c|rrrr} &A&B&C&D\\ \hline B&-2/3&1/3&-1/3&2/3\\ L&0&1&-1&0 \end{array} \tag{97.56}

在 $S S^\dagger$ 中， $AB^\dagger$ 与其共轭的荷差为 $(\mp1,\mp1)$ ；在 $T^\dagger T$ 中， $C^\dagger D$ 与其共轭为 $(\pm1,\pm1)$ 。余下 $ST$ 及其共轭里， $AC$ 和 $BD$ 也破坏两种荷，而 $AD$ 、 $BC$ 守恒。于是

\begin{aligned} \mathcal L_{\phi,\mathrm{eff}}^{|\Delta B|=1} =\frac1{M_\phi^2}\Big[ &|y|^2 A_\alpha B^{\dagger\alpha} -\frac{|y''|^2}{2}C_\alpha^\dagger D^\alpha\\ &+yy''\left(A_\alpha C^\alpha-\frac12B_\alpha D^\alpha\right) +\mathrm{h.c.}\Big]. \end{aligned} \tag{97.57}

各乘积的格拉斯曼因子已经组成偶双线性，因而相互交换不再产生统计负号。所有项都满足 $\Delta B=\Delta L$ ，但具有不同的手征结构和Yukawa系数。其中含 $D$ 的两项正来自上面单列的双夸克耦合，应与其余项一起保留。这一结果保留树级 $y^2/M_\phi^2$ ，更高导数项从 $\phi$ 动能迭代产生，要求外部不变量远小于 $M_\phi^2$ 。

重子数破坏系数的一圈运行

正文已经把重 $X$ 交换匹配到 $\mathcal O_1,\mathcal O_2$ 。这里求的是它们在轻场理论中的系数运行，采用 $d=4-\varepsilon$ 、 $\overline{\mathrm{MS}}$ ，规范固定取本书 $R_\xi$ 族中的Landau极限 $\xi=0$ 。为看出哪些项在这个极限消失，先保留 $\xi$ 。

规范交换的两个基本分子

交换规范玻色子的开链图有两种自旋结构：两个同洛伦兹手征槽连接时是标量插入，连接一个有点槽与一个无点槽时可以Fierz成矢量插入。下面直接求这两类的UV极点，再按这里的颜色和超荷替换。

令 $\Gamma$ 是局部插入，规范传播子的分子为

P_{\mu\nu}^{(\xi)}(\ell) =g_{\mu\nu}-(1-\xi)\frac{\ell_\mu\ell_\nu}{\ell^2},\qquad N_\Gamma(\ell) =\gamma^\mu\slashed\ell\,\Gamma\,\slashed\ell\gamma^\nu P_{\mu\nu}^{(\xi)}(\ell). \tag{97.58}

两条费米内线各给 $-\slashed\ell$ ，两个负号相消。沿开链保留外端的Weyl投影，便可使用同一分子计算手征插入。

先把UV尾的径向积分明确算出。保留交换图的一般非例外欧氏外动量，在减除项中引入辅助质量 $M>0$ ，将三个领先分母统一为 $(\ell^2+M^2-i0)^3$ 。它与真实大动量尾只差UV可积项，因而不改变极点，却避免把无标度积分的零误认成没有UV发散。Wick转动 $\ell^0=iL^4$ 给

\begin{aligned} I_M&=\widetilde\mu^\varepsilon \int\frac{d^d\ell}{(2\pi)^d} \frac{\ell^2}{(\ell^2+M^2-i0)^3}=iI_{M,E},\\ I_{M,E} &=\frac{\widetilde\mu^\varepsilon}{2} \int_0^\infty ds\,s^2e^{-sM^2} \frac d{2s}(4\pi s)^{-d/2}\\ &=\frac d4 \frac{\widetilde\mu^\varepsilon(M^2)^{-\varepsilon/2}} {(4\pi)^{d/2}}\Gamma(\varepsilon/2) =\frac1{8\pi^2\varepsilon}+O(1). \end{aligned} \tag{97.59}

第二行用Schwinger参数，并对Gaussian积分求 $s$ 导数产生 $L^2$ 。辅助质量只决定有限部分，极点与它无关。

对标量插入， $\slashed\ell^2=-\ell^2$ 和 $\gamma^\mu\gamma_\mu=-d$ 直接给

\begin{aligned} \gamma^\mu\slashed\ell^2\gamma_\mu&=d\ell^2,\\ \ell^{-2}\slashed\ell\slashed\ell\,\slashed\ell\slashed\ell&=\ell^2,\\ N_1&=(d-1+\xi)\ell^2. \end{aligned} \tag{97.60}

Landau规范的横向投影减去一个 $\ell^2$ ，所以最后留下 $3\ell^2$ 乘极点。

对矢量插入，先用角平均 $\overline{\ell_\alpha\ell_\beta}=\ell^2g_{\alpha\beta}/d$ ，再两次使用 $\gamma^\alpha\gamma^\rho\gamma_\alpha=(d-2)\gamma^\rho$ ，得到

\begin{aligned} \overline{\gamma^\mu\slashed\ell\gamma^\rho\slashed\ell\gamma_\mu} &=\frac{(d-2)^2}{d}\ell^2\gamma^\rho,\\ \ell^{-2}\slashed\ell\slashed\ell\gamma^\rho \slashed\ell\slashed\ell&=\ell^2\gamma^\rho,\\ \overline{N_{\gamma^\rho}} &=\left[\frac{(d-1)(d-4)}d+\xi\right]\ell^2\gamma^\rho. \end{aligned} \tag{97.61}

在 $\xi=0$ 时，括号是 $-\varepsilon(3-\varepsilon)/(4-\varepsilon)$ ，乘单极点只留下有限项。因此它在这一圈精度不产生物理矢量算符的MS极部。

还要跟踪整体号。相对于固定的树插入 $-i\kappa\Gamma$ ，两个规范顶角与三条内线给 $(ig)^2(1/i)^3=-ig^2$ ，再乘 $I_M=iI_{M,E}$ 成为 $+g^2I_{M,E}$ 。把算符内两个同手征Weyl场之一改成电荷共轭开链时，生成元为 $-T^T$ ；将转置恢复到原不变张量上，又给一个负号。对异手征的一对，Fierz后的开链形如 $\eta^\dagger\bar\sigma^\mu\psi$ ；链左端用 $T_\eta$ ，原算符的有点槽却按 $-T_\eta^T$ 变换。把开链生成元改写成原场槽的作用时，同样多出负号。因此这个号对同手征和异手征连接一致。令 $\mathcal T_{rs}=\sum_aT_r^aT_s^a$ 作用在原算符的两个槽上，便有

\left.\frac{\mathcal G_{rs,\rm loop}}{\mathcal G_{\rm tree}}\right|_{\rm UV} =-\frac{K_{rs}g^2}{8\pi^2\varepsilon}\mathcal T_{rs}, \qquad \delta Z_{rs}\mathcal O =+\frac{K_{rs}g^2}{8\pi^2\varepsilon}\mathcal T_{rs}\mathcal O. \tag{97.62}

第二式的反项抵消第一式的极点。以QED质量双线性的 $(-1,+1)$ 两荷代入，在Landau规范得到 $-3e^2/(8\pi^2\varepsilon)$ ，恰与第62节的一般规范反项已求出的质量反项相同。

为确认没有遗漏另外四种连接，把自旋结构记为 $(\psi\chi)(\eta^\dagger\zeta^\dagger)$ ，依次编号1至4。正文的奇场Fierz式给 $(\psi\chi)(\eta^\dagger\zeta^\dagger) =-(\eta^\dagger\bar\sigma^\mu\psi)(\zeta^\dagger\bar\sigma_\mu\chi)/2$ 。连接1、3时就是第一矢量流的顶角修正；交换两个无点槽或两个有点槽，又得到其余三个跨对。因此六对的极部系数为

K_{12}=K_{34}=3+\xi,\qquad K_{13}=K_{14}=K_{23}=K_{24}=\xi. \tag{97.63}

这说明Landau规范下只需保留两个标量对。每个固定槽对的权重为1：相互作用展开中的 $1/2!$ 由两个规范端点的分配抵消。 $\mathcal O_2$ 中两个 $q$ 槽先临时区分，最后取为同一场；树和圈的共同外腿重数相同，反项系数不再额外乘2。

这里所作Fierz投影取四维物理Weyl算符的一圈极部。若继续到更高圈，必须同时定义在四维消失的算符（evanescent operators），因为它们可影响有限重定义及后续混合；这里的一圈物理反常维数不需要那些高阶数据。

外费米场的归一也要一致。将第62节一般规范反项中的 $e^2$ 替换为 $g_a^2C_2(R_{f,a})$ ，并取相应的开Weyl块，有

Z_f=1-\frac1{8\pi^2\varepsilon} \sum_a\xi_a g_a^2C_2(R_{f,a})+O(g^4). \tag{97.64}

一圈自能不含闭Weyl迹，因而这个替换同样没有 $1/2$ 。在所用Landau规范中，它的MS极部为零。

将群生成元放回两个算符

半迹归一的 $SU(N)$ 生成元满足

\sum_a(T^a)_{i'i}(T^a)_{j'j} =\frac12\left(\delta_{i'j}\delta_{j'i} -\frac1N\delta_{i'i}\delta_{j'j}\right). \tag{97.65}

作用在反对称指标对上，第一项交换两槽给负号，第二项保留原张量，所以系数为 $-(N+1)/(2N)$ 。对于色epsilon得到 $-2/3$ ，对于弱epsilon得到 $-3/4$ 。这是一条张量等式：生成元对整个反对称张量的作用与原张量成比例，无须对它的零分量作除法。

在 $\mathcal O_1=(\ell q)(\bar d^\dagger\bar u^\dagger)$ 中，第一标量对给弱 $-3/4$ 和超荷 $(-1/2)(1/6)=-1/12$ ；第二对给色 $-2/3$ 和超荷 $(-1/3)(2/3)=-2/9$ 。共轭把后两场的荷同时反号，所以乘积与未共轭两场的 $(1/3)(-2/3)$ 相同。在 $\mathcal O_2=(qq)(\bar e^\dagger\bar u^\dagger)$ 中， $qq$ 对同时给色 $-2/3$ 、弱 $-3/4$ ，超荷为 $1/36$ ；另一对只有超荷 $(-1)(2/3)=-2/3$ 。因此两个算符各自的群因子和为

\begin{aligned} (-1)(+1)e^2\longrightarrow\mathscr S_1 &=-\frac23g_3^2-\frac34g_2^2-\frac{11}{36}g_1^2,\\ (-1)(+1)e^2\longrightarrow\mathscr S_2 &=-\frac23g_3^2-\frac34g_2^2-\frac{23}{36}g_1^2. \end{aligned} \tag{97.66}

乘式（97.62）中的共同系数，得到

\ln Z_{C_i}=\frac{3\mathscr S_i}{8\pi^2\varepsilon} =-\frac{4g_3^2+\frac92g_2^2+a_i g_1^2}{16\pi^2\varepsilon} +O(g^4),\qquad a_1=\frac{11}{6},\quad a_2=\frac{23}{6}. \tag{97.67}

它们的差完全来自超荷；规范修正没有把两个不同的外场组互相变换。

从反项到反常维数

在 $d$ 维中，四费米算符维数为 $6-2\varepsilon$ 。保持 $[C_i]=-2$ ，裸系数关系为

C_{i0}=\widetilde\mu^\varepsilon \frac{Z_{C_i}}{\prod_{r=1}^4 Z_{f_r}^{1/2}}C_i. \tag{97.68}

Landau一圈下分母没有UV极点。写 $\ln Z_{C_i}=F_i(g)/\varepsilon$ ，其中 $F_i$ 是式（97.67）的二次分子。对固定裸规范耦合求导时，应包括 $d$ 维的工程项 $dg_a/d\ln\mu=-\varepsilon g_a/2+O(g^3)$ ，因此 $d\ln Z_{C_i}/d\ln\mu=-F_i+O(g^4)$ 。再对裸 $C_i$ 求导，得 $0=\varepsilon+d\ln C_i/d\ln\mu-F_i$ 。取四维极限，便得到反常维数

\gamma_{C_i}\equiv\frac{d\ln C_i}{d\ln\mu} =-\frac{4g_3^2+\frac92g_2^2+a_i g_1^2}{16\pi^2}+O(g^4). \tag{97.69}

负的 $\gamma_C$ 意味着向低能运行时 $C_i$ 增大。

规范参数还提供一个号的检验。任意规范不变量都满足 $\sum_rT_r\mathcal O=0$ ，平方以后给 $\sum_{r<s}\mathcal T_{rs}=-\sum_r C_2(R_r)/2$ 。式（97.63）的 $\xi$ 部分对所有六对相同，所以 $Z_C$ 的规范参数极点为 $-\xi g^2\sum_rC_2(R_r)/(16\pi^2\varepsilon)$ 。式（97.68）分母中四个 $Z_f^{1/2}$ 给相反的贡献，二者相消，留下上面的规范无关反常维数。

运行到2 GeV

由正文 $d\ln\alpha_a/d\ln\mu=b_a\alpha_a/(2\pi)$ ，把式（97.69）除以它，可以逐群积分。若分子写成 $A_{ia}g_a^2$ ，每个幂就是 $-A_{ia}/(2b_a)$ 。对非超对称标准模型的三种 $b_a$ ，得到

\begin{aligned} C_i(M_Z)=C_X &\left[\frac{\alpha_3(M_Z)}{\alpha_5}\right]^{2/7} \left[\frac{\alpha_2(M_Z)}{\alpha_5}\right]^{27/38} \left[\frac{\alpha_1(M_Z)}{(3/5)\alpha_5}\right]^{-3a_i/41},\\ C_X&=\frac{4\pi\alpha_5}{M_X^2}. \end{aligned} \tag{97.70}

超荷分母是 $(3/5)\alpha_5$ ，不是 $\alpha_5$ ，因为仍沿通常的 $Y$ 归一。

为得到一个简单的低能算例，假定顶夸克在 $M_Z$ 脱耦，其余五个夸克一直活跃到2 GeV，并忽略低能电磁修正。在这一阈值近似中， $b_3=-11+2(5)/3=-23/3$ ，于是

\begin{aligned} \alpha_3^{-1}(\mu) &=\alpha_3^{-1}(M_Z)+\frac{23}{6\pi}\ln\frac{\mu}{M_Z},\\ C_i(2\,\mathrm{GeV}) &=C_i(M_Z)\left[ \frac{\alpha_3(2\,\mathrm{GeV})}{\alpha_3(M_Z)} \right]^{6/23}. \end{aligned} \tag{97.71}

指数 $6/23$ 来自同一 $4g_3^2$ 分子与五味beta；这个算例的五味阈值选择在整段运行中保持不变。

采用正文由 $\alpha^{-1}=127.91$ 、 $\alpha_3=0.1187$ 求出的统一边界，先得 $\alpha_5=0.0241113$ 、 $M_X=6.97435\times10^{14}$ GeV。再沿边界运行， $\alpha_1(M_Z)=0.00986322$ 、 $\alpha_2(M_Z)=0.03770275$ ， $\alpha_3(2)=0.2657034$ 。各因子为

因子	$C_1$	$C_2$
高能QCD	1.57681	1.57681
弱规范作用	1.37389	1.37389
超荷作用	1.05273	1.11342
$M_Z$ 以下QCD	1.23393	1.23393
总因子	2.81408	2.97633

故所需系数为

\begin{aligned} C_X&=6.22907\times10^{-31}\ \mathrm{GeV}^{-2},\\ C_1(2\,\mathrm{GeV})&=1.75291\times10^{-30}\ \mathrm{GeV}^{-2},\\ C_2(2\,\mathrm{GeV})&=1.85398\times10^{-30}\ \mathrm{GeV}^{-2}. \end{aligned} \tag{97.72}

这里的弱角是统一模型预言的 $0.20736$ ；若再把历史观测 $0.23120$ 作为第三个精确边界，三条一圈关系便不再能同时满足。保持同一模型边界，才能把下一小节的寿命与本章统一预言作一致的比较。

质子衰变为正电子和中性π介子

上一小节给出的短程系数乘在四费米算符上。质子是强作用束缚态，三夸克部分在低能应匹配到第83节的手征有效理论，再由核子和π介子的场计算衰变过程。

三夸克算符的手征匹配

从 $\ell=(\nu,e)$ 和 $q=(u,d)$ 中选出所需分量。 $\mathcal O_1$ 的 $eu$ 项带 $\epsilon^{21}=-1$ ，与拉氏量前的负号相消。对 $\mathcal O_2$ ，两Weyl场的标量缩并对交换对称，故 $\epsilon^{\alpha\beta\gamma}[(u_\alpha d_\beta)-(d_\alpha u_\beta)] =-2\epsilon^{\alpha\beta\gamma}(d_\alpha u_\beta)$ 。将两个算符展开到这些分量，得到

\mathcal L_{eud} =C_1\epsilon^{\alpha\beta\gamma}(eu_\gamma) (\bar d_\alpha^\dagger\bar u_\beta^\dagger) +2C_2\epsilon^{\alpha\beta\gamma} (\bar e^\dagger\bar u_\gamma^\dagger)(d_\alpha u_\beta) +\mathrm{h.c.} \tag{97.73}

第二项的2已经包含两个弱分量的贡献。

这里所用的 $SU(2)_L\times SU(2)_R$ 是低能QCD的味群。第83节定义 $u=\exp[i\pi^aT^a/f_\pi]$ ，其中 $T^a=\sigma^a/2$ ，并用补偿变换 $h$ 使核子 $\mathcal N=(p,n)^T$ 按 $\mathcal N\mapsto h\mathcal N$ 变换。由

u'=Luh^\dagger=huR^\dagger,\qquad u'\mathcal N'=L(u\mathcal N),\qquad u'^\dagger\mathcal N'=R(u^\dagger\mathcal N) \tag{97.74}

可见 $u\mathcal N$ 和 $u^\dagger\mathcal N$ 分别按 $(\mathbf2,\mathbf1)$ 、 $(\mathbf1,\mathbf2)$ 变换。再取 $P_L$ 和 $P_R$ ，就得到与三夸克算符相配的洛伦兹手征；两种场的重子数也都是1。第一味分量对应质子量子数。

以宇称联系两个三夸克矩阵元，取共同匹配常数 $A$ ，则最低阶强子作用为

\mathcal L_{\not B} =A\overline{\mathcal E^C}\left[ C_1P_L(u\mathcal N)_1 +2C_2P_R(u^\dagger\mathcal N)_1\right]+\mathrm{h.c.} \tag{97.75}

$\mathcal E^C$ 是电子Dirac场的电荷共轭，其粒子是正电子。一个三夸克算符的维数为 $9/2$ ，核子场为 $3/2$ ，所以 $[A]=3$ 。对称性固定了式子的场结构， $A$ 的大小则由强动力学决定。以下采用历史晶格估计 $A(2\,\mathrm{GeV})=0.0090\,\mathrm{GeV}^3$ 作为示例输入，将它与同尺度、同算符归一的 $C_i$ 配用。颜色epsilon已包含在 $A$ 所匹配的算符中，不再另乘 $3!$ 。

零个与一个π介子的顶角

记 $K=C_1P_L+2C_2P_R$ 和 $K_-=C_1P_L-2C_2P_R=-K\gamma_5$ 。在中性方向， $T^3_{11}=1/2$ ，所以 $u_{11}=1+i\pi^0/(2f_\pi)+\cdots$ ， $u^\dagger_{11}$ 中的号相反。式（97.75）给

\begin{aligned} \mathcal L_0&=A\overline{\mathcal E^C}Kp+\mathrm{h.c.},\\ \mathcal L_{\pi^0} &=\frac{iA}{2f_\pi}\pi^0\overline{\mathcal E^C}K_-p+\mathrm{h.c.},\\ \mathcal L_{\pi^0pp} &=\frac{g_A}{2f_\pi}\partial_\mu\pi^0\,\bar p\gamma^\mu\gamma_5p. \end{aligned} \tag{97.76}

最后一行由第83节的式（83.47）取中性分量得到。它连接内部核子线，计算中保留这一导数顶角。

两张图和相对号

令初态质子动量为 $p$ ，末态正电子为 $r$ ，π介子为 $k=p-r$ 。取 $p^2=-m_p^2$ 、 $r^2=0$ 、 $k^2=-m_\pi^2$ ，忽略正电子质量。最低阶有两张图：一张直接使用 $\mathcal L_{\pi^0}$ ；另一张先由轴向核子作用发射π，再由 $\mathcal L_0$ 把内部核子转成正电子。

接触作用与核子交换对质子衰变的贡献。实线标出核子与正电子，虚线为π介子；箭头标示所取动量方向。右图内部动量是 $r$ ，内部质量仍为 $m_p$ ，所以该核子并不在壳。

用 $\mathcal E^C$ 的正能外旋量 $w_t(r)$ 描述正电子，满足 $\bar w\slashed r=0$ 。出π产生波为 $e^{-ikx}$ ，导数给 $-ik_\mu$ ；再将相互作用密度乘 $i$ ，轴向顶角为 $+g_A\slashed k\gamma_5/(2f_\pi)$ 。接触项中已有一个 $i$ ，图顶角再乘 $i$ 成为负号。因此按 $S_{\rm conn}=(2\pi)^4\delta^{(4)}i\mathcal T$ ，两条矩阵链是

\begin{aligned} i\mathcal T_d &=-\frac{A}{2f_\pi}\bar wK_-u_s(p),\\ i\mathcal T_p &=(iA)\bar wK \frac{-\slashed r+m_p}{i(r^2+m_p^2-i0)} \frac{g_A\slashed k\gamma_5}{2f_\pi}u_s(p). \end{aligned} \tag{97.77}

这里用物理 $m_p$ 作为最低阶核子质量。内部线携带正电子的动量 $r$ ，而传播的仍是核子，所以 $r^2=0$ 时分母为 $m_p^2$ 。

为了化简右图，先用 $K\slashed r=\slashed r(C_1P_R+2C_2P_L)$ 把 $\slashed r$ 移向左外线。再用 $\slashed p\,u_s=-m_pu_s$ 以及 $\{\gamma_5,\gamma^\mu\}=0$ ，逐步得到

\begin{aligned} \bar wK(-\slashed r+m_p)\slashed k\gamma_5u_s &=m_p\bar wK(\slashed p-\slashed r)\gamma_5u_s\\ &=m_p\bar wK\slashed p\gamma_5u_s\\ &=m_p^2\bar wK\gamma_5u_s =-m_p^2\bar wK_-u_s. \end{aligned} \tag{97.78}

第一、二行分别在两个位置用到了左外线方程；第三行用 $\slashed p\gamma_5u_s=-\gamma_5\slashed p u_s=m_p\gamma_5u_s$ 。整个过程没有给内部核子强加在壳条件。

代回两图，可见它们相长干涉：

i\mathcal T_p=g_A\,i\mathcal T_d,\qquad i\mathcal T=-\frac{A(1+g_A)}{2f_\pi}\bar wK_-u_s. \tag{97.79}

因子 $1+g_A$ 因此来自两个不同的顶角结构。零π转换顶角与轴向发射顶角所组成的核子交换，增强了直接接触作用；共同的外态相位不会改变两图的相对号。

自旋平均和相空间

定义 $\overline K_-=\gamma^0K_-^\dagger\gamma^0=C_1^*P_R-2C_2^*P_L$ 。用 $\sum_su_s\bar u_s=-\slashed p+m_p$ 、 $\sum_tw_t\bar w_t=-\slashed r$ ，并平均初态的两个自旋，

\frac12\sum_{s,t}|\bar w_tK_-u_s|^2 =\frac12\operatorname{tr} \left[K_-(-\slashed p+m_p)\overline K_-(-\slashed r)\right]. \tag{97.80}

$|C_1|^2$ 项中， $P_L(-\slashed p+m_p)P_R=-\slashed pP_R$ 。由 $\operatorname{tr}(\slashed p\slashed r)=-4p\cdot r$ 及含 $\gamma_5$ 的二矩阵迹为零，计入外面的 $1/2$ 后得到 $-p\cdot r$ 。右手项相同，系数是 $4|C_2|^2$ 。交叉项中 $P_L(-\slashed p+m_p)P_L=m_pP_L$ ，再乘 $\slashed r$ 取迹为零。于是

\overline{|\mathcal T|^2} =\frac{|A|^2(1+g_A)^2}{4f_\pi^2} (-p\cdot r)(|C_1|^2+4|C_2|^2),\qquad -p\cdot r=\frac{m_p^2-m_\pi^2}{2}. \tag{97.81}

若两个系数都实，最后的组合便化为 $C_1^2+4C_2^2$ ；上式同时适用于复系数。交叉项消失也对应于无质量正电子的两个手征末态正交。

从相对论归一的两体测度出发，在质子静止系先用空间delta消去 $\boldsymbol k$ ，令 $\ell=|\boldsymbol r|$ ：

\begin{aligned} d\Phi_2 &=(2\pi)^4\delta^{(4)}(p-r-k) \frac{d^3r}{(2\pi)^3\,2E_r} \frac{d^3k}{(2\pi)^3\,2E_k}\\ &=\frac1{16\pi^2}\frac{\ell^2\,d\ell\,d\Omega}{E_rE_k} \delta(m_p-E_r-E_k),\\ E_r&=\ell,\qquad E_k=\sqrt{\ell^2+m_\pi^2}. \end{aligned} \tag{97.82}

剩下的能量delta有唯一正根，其Jacobian为

\ell_*=\frac{m_p^2-m_\pi^2}{2m_p},\qquad \left.\frac{d(E_r+E_k)}{d\ell}\right|_* =\ell_*\left(\frac1{E_r}+\frac1{E_k}\right)_*,\qquad d\Phi_2=\frac{\ell_*}{16\pi^2m_p}d\Omega. \tag{97.83}

末态为不同粒子，不需要 $1/2!$ 。将测度乘初态归一 $1/(2m_p)$ 并积分 $4\pi$ ，便得

\begin{aligned} \Gamma(p\to e^+\pi^0) &=\frac{\ell_*}{8\pi m_p^2}\overline{|\mathcal T|^2}\\ &=\frac{|A|^2(1+g_A)^2m_p}{128\pi f_\pi^2} \left(1-\frac{m_\pi^2}{m_p^2}\right)^2 (|C_1|^2+4|C_2|^2). \end{aligned} \tag{97.84}

它的维数为 $6-2+1-4=1$ ，在 $m_\pi\to m_p$ 时有二次阈值零。 $128$ 同时包含单π顶角中的 $1/2$ 、初态自旋平均和两体相空间；若把 $f_\pi$ 改成另一常用的 $\sqrt2f_\pi$ 归一，分母也须同时换算。

使用第83节的 $m_p=0.938$ GeV、 $m_{\pi^0}=0.135$ GeV、 $f_\pi=0.0924$ GeV、 $g_A=1.27$ 及上述匹配常数 $A$ ，再代入上一小节的两个系数，得到

\begin{aligned} \Gamma&=1.83960\times10^{-63}\ \mathrm{GeV},\\ \tau&=\frac{\hbar}{\Gamma} =3.57802\times10^{38}\ \mathrm s =1.13381\times10^{31}\ \mathrm{yr}. \end{aligned} \tag{97.85}

换算取 $\hbar=6.5821195695\times10^{-25}$ GeV s以及一年 $365.25\times86400$ 秒。相同 $g_5=0.55045$ 、 $M_X$ 的朴素式给 $1.86055\times10^{30}$ 年，故这个计算使寿命增加约6.09倍，但仍低于前面用作比较的历史限制 $10^{33}$ 年。

这一比较中包含了强子矩阵元与短程运行两种效应。若在同一强子式里将 $C_i(2)$ 换成未运行的 $C_X$ ，宽度反而更小；一圈系数运行把它增大约8.67倍。因而相对朴素估计的寿命增长主要不能归因于运行本身。这里采用一圈短程系数与最低阶手征矩阵元，π动量约 $0.459$ GeV，约为 $4\pi f_\pi$ 的0.40；要给更精确的寿命，还需相应的高阶强子参数和阈值资料。

下型夸克与带电轻子的质量运行

先取一代，令两个Yukawa耦合均非零，将相互作用写成

\mathcal L_Y =-Z_y y\,\epsilon^{ij}\varphi_i\ell_j\bar e -Z_{y'}y'\,\epsilon^{ij}\varphi_iq_{\alpha j}\bar d^\alpha +\mathrm{h.c.},\qquad r=\frac{y'}y. \tag{97.86}

高能匹配给 $r(M_X)=1$ 。这里只求规范玻色子的一圈贡献，先不加入Yukawa自作用和味混合。由于两个质量都正比于同一个Higgs真空值， $r$ 也是共同方案、共同尺度上的下型夸克与带电轻子质量之比。

为什么标量端点的图在比值中消去

一个Yukawa顶角含一个标量和两个费米场。规范玻色子可以连接两条费米腿，也可以从标量腿连向任一费米腿。先看后两图，统一把顶角记为 $\varphi f h$ 。在其局部UV尾中令外标量动量为零，入射规范动量为 $\ell$ ；标量顶角给 $\ell_\mu$ ，内部费米动量为 $-\ell$ ，领先分子给 $+\slashed\ell$ 。于是

\ell_\mu P^{(\xi)\mu\nu}(\ell)=\xi\ell^\nu,\qquad N_{\varphi f} =\slashed\ell\gamma_\nu P^{(\xi)\mu\nu}\ell_\mu =-\xi\ell^2. \tag{97.87}

另一条费米腿给相同的自旋核。与前面相同的两个顶角、三条内线和径向极点，使反项之和正比于 $\xi[T_\varphi\cdot T_f+T_\varphi\cdot T_h]$ 。规范不变性又给

(T_\varphi+T_f+T_h)(\varphi f h)=0,\qquad T_\varphi\cdot(T_f+T_h)(\varphi f h) =-C_2(\varphi)(\varphi f h). \tag{97.88}

两个Yukawa项使用同一个 $\varphi$ ，其颜色Casimir为0、弱Casimir为 $3/4$ 、超荷平方为 $1/4$ 。所以标量—费米两图之和对两种耦合相同，在 $Z_{y'}/Z_y$ 中消去；Landau规范中它们各自的局部极点已经为零。这一抵消只用了局部极点的共同群因子，并不要求不同外场的有限修正相等。

两费米腿给出的差别

两费米交换可直接用式（97.60）的标量核。在下型耦合中，颜色基本与反基本以delta收缩， $(T_q+T_{\bar d})\delta=0$ ，所以 $T_q\cdot T_{\bar d}=-C_F=-4/3$ 。带电轻子没有颜色。两个耦合的第二费米腿都是弱单态，故这一类图没有弱因子。超荷积分别为 $(1/6)(1/3)=1/18$ 与 $(-1/2)(1)=-1/2$ ，从而两类耦合的群因子分别为

\begin{aligned} (-1)(+1)e^2&\longrightarrow \mathscr S_d=-\frac43g_3^2+\frac1{18}g_1^2 &&\text{（下型）},\\ (-1)(+1)e^2&\longrightarrow \mathscr S_e=-\frac12g_1^2 &&\text{（轻子）},\\ \mathscr S_d-\mathscr S_e &=-\frac43g_3^2+\frac59g_1^2. \end{aligned} \tag{97.89}

因此在Landau规范中

\ln\frac{Z_{y'}}{Z_y} =\frac{3(\mathscr S_d-\mathscr S_e)}{8\pi^2\varepsilon} =\frac{-4g_3^2+\frac53g_1^2}{8\pi^2\varepsilon}+O(g^4). \tag{97.90}

各超荷均取顶角中左Weyl场的值，与表中的表示一致。

比值的反常维数

裸Yukawa还含外场归一：

\begin{aligned} y_0&=\widetilde\mu^{\varepsilon/2} \frac{Z_y}{(Z_\varphi Z_\ell Z_{\bar e})^{1/2}}\,y,\\ y'_0&=\widetilde\mu^{\varepsilon/2} \frac{Z_{y'}}{(Z_\varphi Z_qZ_{\bar d})^{1/2}}\,y',\\ r_0&=r\,\frac{Z_{y'}}{Z_y} \left(\frac{Z_\ell Z_{\bar e}}{Z_qZ_{\bar d}}\right)^{1/2}. \end{aligned} \tag{97.91}

共同Higgs因子和两个工程尺度因子精确消去。其余费米因子不必彼此相同，但式（97.64）表明它们在Landau规范的这一圈极部中都没有贡献。对固定 $r_0$ 求导，仍用 $dg_a/d\ln\mu=-\varepsilon g_a/2+O(g^3)$ 处理反项的二次分子，得到

\gamma_r\equiv\frac{d\ln r}{d\ln\mu} =\frac{-8g_3^2+\frac{10}{3}g_1^2}{16\pi^2}+O(g^4). \tag{97.92}

色作用使 $r$ 向低能增大，超荷贡献则稍微抵消这一趋势。

也可以用一般 $\xi$ 核对这一步。由规范单态条件， $2T_f\cdot T_h=C_2(\varphi)-C_2(f)-C_2(h)$ 。两个Yukawa共有 $C_2(\varphi)$ ，故它们费米Casimir和的差为 $-2(\mathscr S_d-\mathscr S_e)$ 所对应的群系数。顶角比的 $(3+\xi)$ 项与式（97.91）中外费米因子的 $-\xi$ 项相加，只留下3。这与直接取Landau极限相同。

运行到弱标度和底夸克标度

把式（97.92）改写成各逆耦合方程的积分。对 $M_Z<\mu<M_X$ ， $b_3=-7$ 、 $b_1=41/6$ ，因而

\begin{aligned} d\ln r&=\frac47\,d\ln\alpha_3+\frac{10}{41}\,d\ln\alpha_1,\\ r(M_Z)&= \left[\frac{\alpha_3(M_Z)}{\alpha_5}\right]^{4/7} \left[\frac{\alpha_1(M_Z)}{(3/5)\alpha_5}\right]^{10/41}. \end{aligned} \tag{97.93}

例如 $(4/7)b_3/(2\pi)=-2/\pi$ ，正好恢复 $-8g_3^2/(16\pi^2)$ ；超荷项同理。积分的边界值也同时保留了统一超荷的归一。

在 $M_Z$ 以下移去顶夸克，并忽略电磁，五味QCD的 $b_3=-23/3$ 给

\begin{aligned} \alpha_3^{-1}(m_b) &=\alpha_3^{-1}(M_Z)+\frac{23}{6\pi}\ln\frac{m_b}{M_Z},\\ r(m_b)&=r(M_Z) \left[\frac{\alpha_3(m_b)}{\alpha_3(M_Z)}\right]^{12/23}. \end{aligned} \tag{97.94}

两段的指数不同，因为顶夸克改变了规范耦合的跑动，而这里的质量反常维数分子仍是 $-8g_3^2$ 。

使用与系数的一圈运行相同的非超对称统一边界，并取历史示例输入 $m_b(m_b)=4.3$ GeV，算得

\begin{aligned} r(M_Z)&=2.26457,\qquad \alpha_3(m_b)=0.212874,\\ \frac{r(m_b)}{r(M_Z)}&=1.35628,\qquad r(m_b)=3.07140,\\ m_\tau^{\rm pred}&=\frac{4.3\ \mathrm{GeV}}{r(m_b)} =1.40001\ \mathrm{GeV}. \end{aligned} \tag{97.95}

数值还可以通过高能段的 $g_a$ 与 $r$ 方程和低能段的 $g_3,r$ 方程直接积分求得。与用作历史比较值的τ轻子质量约1.8 GeV相比，这个预言低约22%。这里忽略了电磁及有限匹配，把低能轻子质量参数直接与观测值比较；Yukawa自身的修正和统一阈值也还没有包含在所指定的一圈规范近似中。

这项结果说明，夸克与轻子的统一尺度质量相等，可以经过规范跑动变成低能约三倍的质量比。不过同类三代的规范荷相同，这种共同的乘法因子会在两代之比中消去；它不能自动修复正文式（97.48）的错误质量关系。这正是最小模型还需要增加味结构的原因。

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