Srednicki §89 标准模型：夸克部分

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夸克与轻子一样由自旋二分之一的场描述，不过它还带有颜色。六种夸克按 $(u,d)$ 、 $(c,s)$ 、 $(t,b)$ 分为三代；第83节已经列出用于低能讨论的质量输入及其尺度。先只保留第一代，求出它与Higgs场、电弱规范场的相互作用。到三代时，上型和下型夸克的质量需要分别对角化，两次换基的差别便会留在带电流中。这就是夸克混合的来源。

一代夸克及两个汤川耦合

沿上一节全部采用左Weyl场。一代夸克及Higgs的表示为

\begin{aligned} q&\sim(\mathbf3,\mathbf2,+\tfrac16), &\bar u&\sim(\overline{\mathbf3},\mathbf1,-\tfrac23),\\ \bar d&\sim(\overline{\mathbf3},\mathbf1,+\tfrac13), &\varphi&\sim(\mathbf1,\mathbf2,-\tfrac12). \end{aligned} \tag{89.1}

各括号依次指 $SU(3)$ 、 $SU(2)$ 和 $U(1)$ 。 $\bar u,\bar d$ 的横线属于场名；它们是独立左手场，处于反色三重态。若基本表示的矩阵为 $R=e^{i\theta^At^A}$ ，其复共轭表示就是

R^*=e^{-i\theta^At^{A*}} =e^{i\theta^A\bar t^A},\qquad \bar t^A=-t^{A*}=-t^{AT},\qquad \operatorname{Tr}t^At^B=\frac12\delta^{AB}. \tag{89.2}

最后一个转置用到了 $t^A$ 的厄米性。因此反色场的协变导数必须用 $\bar t^A$ 。为了分清两个非阿贝尔群，把色规范场和弱规范场分别写作 $G_\mu^A$ 、 $A_\mu^a$ 。色指标为 $\alpha,\beta$ ，弱指标为 $i,j$ ，则

\begin{aligned} (D_\mu q)_{\alpha i} &=\partial_\mu q_{\alpha i} -ig_3G_\mu^A(t^A)_\alpha{}^\beta q_{\beta i}\\ &\quad-ig_2A_\mu^a(T^a)_i{}^j q_{\alpha j} -\frac{i g_1}{6}B_\mu q_{\alpha i},\\ (D_\mu\bar u)^\alpha &=\partial_\mu\bar u^\alpha -ig_3G_\mu^A(\bar t^A)^\alpha{}_{\beta}\bar u^\beta +\frac{2i g_1}{3}B_\mu\bar u^\alpha,\\ (D_\mu\bar d)^\alpha &=\partial_\mu\bar d^\alpha -ig_3G_\mu^A(\bar t^A)^\alpha{}_{\beta}\bar d^\beta -\frac{i g_1}{3}B_\mu\bar d^\alpha, \qquad T^a=\frac{\sigma^a}{2}. \end{aligned} \tag{89.3}

弱生成元不作用于颜色，故第一行的弱项保留自由色指标 $\alpha$ 。色生成元则必须按场所属的表示选取： $q$ 用 $t^A$ ， $\bar u,\bar d$ 用 $\bar t^A$ 。

选取标准动能归一，一代费米动能为

\begin{aligned} \mathcal L_{\rm kin} &=i q^{\dagger\alpha i}\bar\sigma^\mu(D_\mu q)_{\alpha i} +i\bar u^\dagger_\alpha\bar\sigma^\mu(D_\mu\bar u)^\alpha\\ &\quad+i\bar d^\dagger_\alpha\bar\sigma^\mu(D_\mu\bar d)^\alpha. \end{aligned} \tag{89.4}

这些左手表示的直和不是实表示：例如 $q$ 的共轭表示 $(\overline{\mathbf3},\mathbf2,-1/6)$ 并未出现在原场组中。宇称把左手变成右手，而右手共轭场的规范表示不能按同一组场配对，所以完整电弱理论是手征的。QCD本身的情况将在组成狄拉克场后看得更清楚。

Higgs取真空值之前，不能直接写一个夸克质量项。两个左Weyl场组成洛伦兹标量后，其内部表示还必须含规范单态。两个色三重态或两个反三重态分别给 $3\otimes3=6\oplus\bar3$ 、 $\bar3\otimes\bar3=\bar6\oplus3$ ，都没有色单态。余下可能含色单态的双线性只有

q\bar d\sim(\mathbf1\oplus\mathbf8,\mathbf2,+\tfrac12), \qquad q\bar u\sim(\mathbf1\oplus\mathbf8,\mathbf2,-\tfrac12). \tag{89.5}

它们仍是弱双重态，不能单独组成规范不变的质量项。

乘入一个Higgs场便有了所需单态。 $q\bar d$ 应乘超荷 $-1/2$ 的 $\varphi$ ，两个弱双重态用 $\epsilon^{ij}$ 收缩； $q\bar u$ 应乘超荷 $+1/2$ 的 $\varphi^\dagger$ ，用共轭指标直接收缩。两个超荷和分别为

-\frac12+\frac16+\frac13=0,\qquad +\frac12+\frac16-\frac23=0. \tag{89.6}

在 $3\otimes\bar3$ 以及所需的两个弱双重态乘积中，单态都只出现一次。因此两个允许的汤川相互作用为

\mathcal L_Y =-y'\epsilon^{ij}\varphi_iq_{\alpha j}\bar d^\alpha -y''\varphi^{\dagger i}q_{\alpha i}\bar u^\alpha +\mathrm{h.c.},\qquad \epsilon^{12}=+1. \tag{89.7}

两个Weyl场的旋量指标沿第35节缩并；这里的 $\epsilon^{ij}$ 只收缩弱同位旋。

还可以按量纲证明这些相互作用已经穷尽所有可能，其原因如下。四维中 $[q]=[\bar u]=[\bar d]=3/2$ ，洛伦兹标量含偶数个旋量因子，故量纲不超过4时只能有两个费米场，最多再带一个导数或一个标量。无导数、无标量的情形已由式（89.5）排除。一个导数必须和场及其厄米共轭构成矢量双线性，规范协变后给出式（89.4）。不同规范表示之间的动能混合也不允许：例如 $\bar u^\dagger\bar d$ 虽可缩颜色，却有超荷 $+1$ 。一个标量的情形恰由式（89.7）给尽。两个同色方向的场不能靠色单态Higgs消去颜色，夸克与轻子的双线性也留下颜色。两个费米场乘场强的量纲至少为5，四费米算符至少为6。因此在给定场内容及可重整性要求下，没有额外的含夸克相互作用。

质量及Higgs相互作用

进入幺正规范，把弱双重态分量称为上、下夸克：

\begin{gathered} q_\alpha=\begin{pmatrix}u_\alpha\\d_\alpha\end{pmatrix}, \qquad \varphi=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}v+H\\0\end{pmatrix},\\ \mathcal L_Y=-\frac{v+H}{\sqrt2} (y'd_\alpha\bar d^\alpha+y''u_\alpha\bar u^\alpha) +\mathrm{h.c.} \end{gathered} \tag{89.8}

两个质量参数各由一个汤川耦合给出，彼此不受规范群的关系约束。一般 $y',y''$ 是复数。写 $y'=|y'|e^{i\eta_d}$ 、 $y''=|y''|e^{i\eta_u}$ ，以 $\bar d_{\rm old}=e^{-i\eta_d}\bar d$ 、 $\bar u_{\rm old}=e^{-i\eta_u}\bar u$ 作恒定重定义，动能不变，汤川密度成为

\begin{aligned} \mathcal L_Y =-\frac{v+H}{\sqrt2}\big[&|y'|(d_\alpha\bar d^\alpha +\bar d^\dagger_\alpha d^{\dagger\alpha})\\ +&|y''|(u_\alpha\bar u^\alpha +\bar u^\dagger_\alpha u^{\dagger\alpha})\big]. \end{aligned} \tag{89.9}

以下在实质量基中计算，因此可以把两个实耦合分别提出包含厄米共轭的括号。

定义两种狄拉克场，并应用两个Weyl场组成狄拉克场的恒等式，得到

\begin{gathered} \mathcal D_\alpha=\begin{pmatrix}d_\alpha\\\bar d^\dagger_\alpha\end{pmatrix}, \qquad \mathcal U_\alpha=\begin{pmatrix}u_\alpha\\\bar u^\dagger_\alpha\end{pmatrix}, \qquad m_d=\frac{|y'|v}{\sqrt2},\quad m_u=\frac{|y''|v}{\sqrt2},\\ \mathcal L_Y =-m_d\left(1+\frac Hv\right)\bar{\mathcal D}^{\alpha}\mathcal D_\alpha -m_u\left(1+\frac Hv\right)\bar{\mathcal U}^{\alpha}\mathcal U_\alpha. \end{gathered} \tag{89.10}

右块原来是反色场的共轭，因而重新处于色三重态，和左块相同。把两种Weyl动能合起来时，右块的一次分部积分及奇场交换正好恢复原动能，于是纯QCD部分为

\mathcal L_{\rm QCD,quark} =\sum_{\Psi=\mathcal U,\mathcal D} \bar\Psi\big[i\gamma^\mu(\partial_\mu-ig_3G_\mu^At^A)-m_\Psi\big]\Psi. \tag{89.11}

胶子对左右手使用同一个色生成元，故这个相互作用是矢量型的。电弱作用的手征性并未因此消失；它仍由左、右块不同的弱同位旋与超荷体现。

取实质量时还要沿用第77节的测度变换：只转动一个Weyl分量的相位，在狄拉克语言中含轴向转动，能够把相位移到QCD拓扑项的系数中。本节接下来计算的是带电弱流中有多少独立混合参数；质量对角化并未消去强作用中可能的CP参数。

电弱规范场所耦合的夸克流

由 $W^\pm,Z,A$ 的定义，上一节已经求出两种连接：

\begin{aligned} g_2(A_\mu^1T^1+A_\mu^2T^2) &=\frac{g_2}{\sqrt2} \begin{pmatrix}0&W_\mu^+\\W_\mu^-&0\end{pmatrix},\\ g_2A_\mu^3T^3+g_1B_\mu Y &=eQA_\mu+\frac e{s_Wc_W}(T^3-s_W^2Q)Z_\mu, \qquad Q=T^3+Y. \end{aligned} \tag{89.12}

这里不必重新旋转规范场，只须把新的物质生成元代入已建立的连接分解。四种左场的电荷逐项为

\begin{array}{c|rrrr} &u&d&\bar u&\bar d\\\hline T^3&+1/2&-1/2&0&0\\ Y&+1/6&+1/6&-2/3&+1/3\\ Q&+2/3&-1/3&-2/3&+1/3 \end{array} \tag{89.13}

狄拉克右块是反色左场的共轭，它的超荷也随共轭反号。因此四分量生成元应写成

\begin{aligned} T^3_{\mathcal U}&=\tfrac12P_L, &Y_{\mathcal U}&=\tfrac16P_L+\tfrac23P_R, &Q_{\mathcal U}&=\tfrac23 I,\\ T^3_{\mathcal D}&=-\tfrac12P_L, &Y_{\mathcal D}&=\tfrac16P_L-\tfrac13P_R, &Q_{\mathcal D}&=-\tfrac13 I. \end{aligned} \tag{89.14}

物理上、下夸克的电荷便分别为 $+2e/3$ 、 $-e/3$ ，其中 $e>0$ 。代回式（89.12），有

\begin{aligned} C_{\mu,\mathcal U}^{\rm neutral} &=\frac23eA_\mu+ \frac e{s_Wc_W}\left(\frac12P_L-\frac23s_W^2\right)Z_\mu,\\ C_{\mu,\mathcal D}^{\rm neutral} &=-\frac13eA_\mu+ \frac e{s_Wc_W}\left(-\frac12P_L+\frac13s_W^2\right)Z_\mu. \end{aligned} \tag{89.15}

光子耦合是矢量型， $Z$ 则区别左右手。动能的相互作用部分由 $i(-i)=+1$ 给正号。把同一规范场的系数收集起来，得到

\begin{aligned} \mathcal L_{\rm EW,quark} &=\frac{g_2}{\sqrt2}(W_\mu^+J^{-\mu}+W_\mu^-J^{+\mu}) +\frac e{s_Wc_W}Z_\mu J_Z^\mu+eA_\mu J_{\rm EM}^\mu,\\ J^{+\mu}&=\bar{\mathcal D}_{L}^{\alpha}\gamma^\mu\mathcal U_{L\alpha}, \qquad J^{-\mu}=\bar{\mathcal U}_{L}^{\alpha}\gamma^\mu\mathcal D_{L\alpha},\\ J_3^\mu&=\frac12\bar{\mathcal U}_{L}^{\alpha}\gamma^\mu\mathcal U_{L\alpha} -\frac12\bar{\mathcal D}_{L}^{\alpha}\gamma^\mu\mathcal D_{L\alpha},\\ J_{\rm EM}^\mu&=\frac23\bar{\mathcal U}^{\alpha}\gamma^\mu\mathcal U_\alpha -\frac13\bar{\mathcal D}^{\alpha}\gamma^\mu\mathcal D_\alpha, \qquad J_Z^\mu=J_3^\mu-s_W^2J_{\rm EM}^\mu. \end{aligned} \tag{89.16}

各色都以相同电弱耦合进入，流中的 $\alpha$ 必须求和。这里将规范耦合常数提到了各流之外。 $J^+$ 与 $J^-$ 互为厄米共轭，因而同时保留 $W^-J^+$ 和 $W^+J^-$ 使相互作用厄米。轻子与夸克流相加后，可直接代入上一节的低能费米相互作用。

三代质量矩阵与CKM矩阵

现在给每个场添上代指标 $I=1,2,3$ 。规范群在代空间中作用为单位矩阵，因此动能逐代求和；汤川耦合则允许任意两代相连：

\begin{aligned} \mathcal L_{\rm kin} &=\sum_I\big[iq_I^\dagger\bar\sigma^\mu D_\mu q_I +i\bar u_I^\dagger\bar\sigma^\mu D_\mu\bar u_I +i\bar d_I^\dagger\bar\sigma^\mu D_\mu\bar d_I\big],\\ \mathcal L_Y &=-\epsilon^{ij}\varphi_i q_{\alpha jI}y'_{IJ}\bar d_J^\alpha -\varphi^{\dagger i}q_{\alpha iI}y''_{IJ}\bar u_J^\alpha +\mathrm{h.c.} \end{aligned} \tag{89.17}

两个 $y$ 矩阵各为一般复 $3\times3$ 矩阵。内部指标在第一行暂省，第二行完整写出；代指标的相乘次序决定了随后的转置。幺正规范给

\mathcal L_Y=-\frac{v+H}{\sqrt2} \left(d_{\alpha I}y'_{IJ}\bar d_J^\alpha +u_{\alpha I}y''_{IJ}\bar u_J^\alpha\right) +\mathrm{h.c.} \tag{89.18}

这时上下型质量需要分别对角化。用下标“旧”和“m”分别指原弱基与新质量基：

\begin{aligned} d_{\rm old}&=D d_{\rm m},& \bar d_{\rm old}&=\bar D\bar d_{\rm m},\\ u_{\rm old}&=U u_{\rm m},& \bar u_{\rm old}&=\bar U\bar u_{\rm m}, \qquad D,\bar D,U,\bar U\in U(3). \end{aligned} \tag{89.19}

这里 $D$ 和 $\bar D$ 是两个独立的代空间矩阵， $U$ 与 $\bar U$ 也一样。以第一种质量项为例，逐指标代入得

\begin{aligned} d_{{\rm old},I}y'_{IJ}\bar d_{{\rm old},J} &=d_{{\rm m},K}\left(\sum_{I,J}D_{IK}y'_{IJ}\bar D_{JL}\right) \bar d_{{\rm m},L},\\ y'_m&=D^Ty'\bar D,\qquad y''_m=U^Ty''\bar U. \end{aligned} \tag{89.20}

两个费米场没有互换次序，代空间数值矩阵可直接移过它们。两个未共轭左手场的变换使左侧矩阵以 $D^T$ 出现。

上一节已经构造的奇异值分解可以分别用于这两个矩阵。写

\begin{aligned} y'&=X_d d_dY_d^\dagger, &D&=X_d^*,&\bar D&=Y_d,\\ y''&=X_u d_uY_u^\dagger, &U&=X_u^*,&\bar U&=Y_u, \end{aligned} \tag{89.21}

其中 $X_{u,d},Y_{u,d}$ 幺正， $d_{u,d}$ 为实非负对角矩阵。因为 $(X_d^*)^T=X_d^\dagger$ ，式（89.20）立即给 $y'_m=d_d$ 、 $y''_m=d_u$ 。还可用左质量平方矩阵检查共轭的位置：

\begin{aligned} H_d&=y'^*y'^T=X_d^*d_d^2X_d^T, &D^\dagger H_dD&=d_d^2,\\ H_u&=y''^*y''^T=X_u^*d_u^2X_u^T, &U^\dagger H_uU&=d_u^2. \end{aligned} \tag{89.22}

质量和Higgs耦合带同一个 $y$ ，所以二者同时变为代对角。此后省去质量基的“m”，便有

\begin{gathered} m_{dI}=\frac{v(d_d)_I}{\sqrt2},\qquad m_{uI}=\frac{v(d_u)_I}{\sqrt2},\\ \mathcal L_Y=-\sum_I\left(1+\frac Hv\right) \left(m_{dI}\bar{\mathcal D}_I\mathcal D_I +m_{uI}\bar{\mathcal U}_I\mathcal U_I\right). \end{gathered} \tag{89.23}

满秩的两个汤川矩阵给六个正质量，零奇异值则对应零质量。

自由动能以及中性规范耦合在换基后保持代对角。例如左下型流的代系数为 $D^\dagger D$ 。狄拉克右块由 $\bar d^\dagger$ 组成，旧右场则乘 $\bar D^*$ ，因此右下型流的系数为

D^\dagger D=I,\qquad \bar D^T\bar D^*=(\bar D^\dagger\bar D)^*=I; \qquad U^\dagger U=\bar U^T\bar U^*=I. \tag{89.24}

光子、胶子和 $Z$ 的每个生成元都与这些代矩阵对易。因此式（89.16）中的 $J_3,J_{\rm EM}$ 只须逐代求和，树级没有改变味的中性流。Higgs也因式（89.23）而保持对角。这个结论说的是当前拉格朗日量中的树级顶角；带电流在圈中出现时还会产生别的味过程。

带电流把上型和下型的左场相连，故它会同时遇到两种旋转。其代系数不再是同一矩阵与其逆，而是

\begin{aligned} V&\equiv U^\dagger D,\qquad V^\dagger V=D^\dagger UU^\dagger D=I,\\ J^{-\mu}&=\sum_\alpha \bar{\mathcal U}_{L I}^{\alpha}V_{IJ}\gamma^\mu\mathcal D_{L\alpha J},\\ J^{+\mu}&=\sum_\alpha \bar{\mathcal D}_{L I}^{\alpha}(V^\dagger)_{IJ}\gamma^\mu\mathcal U_{L\alpha J}. \end{aligned} \tag{89.25}

这就是Cabibbo–Kobayashi–Maskawa矩阵，简称CKM矩阵。它给出质量本征态与弱流所连接的组合之间的关系。其中 $V$ 的行、列指标分别连接上型和下型质量场。

若上下型的左质量平方矩阵可在同一个基中对角化，就在适当排列质量本征态后取 $U=D$ ，使 $V=I$ 。一般情形下，两种质量矩阵选出的左基不同，这一差别会出现在所有带电弱过程。上一节的轻子没有第二种汤川矩阵来限定中微子的基，因而可以让无质量中微子和带电轻子共用左旋转，流中只剩单位矩阵。这个区别依赖上一节采用的无质量中微子模型。

剩下几个混合参数

一个 $3\times3$ 幺正矩阵有九个实参数。可以在单位矩阵附近写 $V=e^{iK}$ ， $K=K^\dagger$ ； $K$ 有三个实对角元，三个非对角复元，合计 $3+2\times3=9$ 。不过质量对角化并没有唯一固定每个狄拉克场的相位。取非零、互不简并的夸克质量，保持实质量的余下变换可写成

\mathcal D_{{\rm old},J}=e^{i\alpha_J}\mathcal D_J, \qquad \mathcal U_{{\rm old},I}=e^{i\beta_I}\mathcal U_I, \qquad V'_{IJ}=e^{-i\beta_I}V_{IJ}e^{i\alpha_J}. \tag{89.26}

场与其伴随相位相消，所以自由动能、质量和中性流均不变；带电流中只改写 $V$ 的相位。若六个相位全取同一个数，它们在 $V$ 中也完全相消。因此一般情形只能用去五个独立相位，留下九减五共四个物理参数。

具体地，在第一行与第一列各元均非零的一片参数区域，记 $\phi_{IJ}=\arg V_{IJ}$ 。先任取 $\beta_1$ ，再令

\alpha_J=\beta_1-\phi_{1J},\qquad \beta_I=\alpha_1+\phi_{I1}. \tag{89.27}

于是第一行和第一列都变成实数：第一行的相位为 $-\beta_1+\phi_{1J}+\alpha_J=0$ ，第一列同样为零；交点的两种规定一致。还可把第二、第三行各乘 $-1$ ，使第一列后两项为负。若某元为零，就无需固定它的相位，可改选其他非零元；质量简并时还允许简并子空间内的旋转，需要另作参数计数。

下面从幺正性本身求出一种方便的四参数形式。第一行、第一列都是实单位向量，故可写

V=\begin{pmatrix}c_1&s_1 b^T\\-s_1 a&B\end{pmatrix}, \qquad a=\begin{pmatrix}c_2\\s_2\end{pmatrix}, \quad b=\begin{pmatrix}c_3\\s_3\end{pmatrix}, \quad c_i=\cos\theta_i,\quad s_i=\sin\theta_i. \tag{89.28}

第一行后两项的长度是 $s_1$ ，第一列后两项也一样；各自的方向用 $\theta_3,\theta_2$ 表示。 $B$ 是尚未确定的 $2\times2$ 复矩阵。将 $VV^\dagger=V^\dagger V=I$ 按块相乘，并先在 $s_1\ne0$ 时除以 $s_1$ ，得到

Bb=c_1a,\qquad a^TB=c_1b^T, \qquad BB^\dagger=I_2-s_1^2aa^T. \tag{89.29}

取垂直的两个单位向量 $a_\perp=(-s_2,c_2)^T$ 、 $b_\perp=(-s_3,c_3)^T$ 。第一式固定 $B$ 沿 $b$ 的作用；第二式又说 $Bb_\perp$ 与 $a$ 正交，因此只可能沿 $a_\perp$ 。于是

B=c_1ab^T+z\,a_\perp b_\perp^T, \qquad BB^\dagger=c_1^2aa^T+|z|^2a_\perp a_\perp^T. \tag{89.30}

式（89.29）的右边为 $c_1^2aa^T+a_\perp a_\perp^T$ ，所以 $|z|=1$ 。选择相位参数 $z=-e^{i\delta}$ ，把四个外积逐项展开，便得到

V=\begin{pmatrix} c_1&s_1c_3&s_1s_3\\ -s_1c_2&c_1c_2c_3-s_2s_3e^{i\delta} &c_1c_2s_3+s_2c_3e^{i\delta}\\ -s_1s_2&c_1s_2c_3+c_2s_3e^{i\delta} &c_1s_2s_3-c_2c_3e^{i\delta} \end{pmatrix}. \tag{89.31}

块计算同时证明了它的幺正性，而不必另算九个行列内积。式中三个角控制实方向， $\delta$ 控制剩下的复相位； $s_1=0$ 等边界可由连续极限取得，那里的参数未必各自可观测。对一般 $n$ 代，同样的计数给 $n^2-(2n-1)=(n-1)^2$ 个参数，其中实正交混合角有 $n(n-1)/2$ 个，余下相位为 $(n-1)(n-2)/2$ 个。两代只留一个角，三代才开始留有一个这种弱相位。

作为本参数化的一个数值例，取 $s_1=0.224$ 、 $s_2=0.041$ 、 $s_3=0.016$ 、 $\delta=40^\circ$ 。这些数沿用中译本在式（89.31）中的示例； $\theta_1$ 称为Cabibbo角。换用其他CKM参数化时，角的定义也随之改变。

不可去相位与CP破坏

剩下的复相位使我们需要考察时间反演。这个变换反幺正，满足 $T^{-1}iT=-i$ 。复共轭会把 $e^{i\delta}$ 变成 $e^{-i\delta}$ ；但判断对称性时还须允许式（89.26）中的场相位，否则单看某个矩阵元有虚部便可能把基的选择误作物理效应。

按第40节的双线性变换，CP把 $W^+\bar{\mathcal U}_L\gamma\mathcal D_L$ 变为对应的 $W^-\bar{\mathcal D}_L\gamma\mathcal U_L$ ；洛伦兹指标的宇称变换在收缩中相消，场的共同本征相位可选在 $W$ 的相位中。原作用量里后一项的系数是 $V^*$ ，而前一项在幺正CP变换中仍带原系数 $V$ 。因此普通的相位选择要求 $V$ 为实。若再允许非简并质量基中的两组味相位，条件就推广为存在对角幺正 $P_u,P_d$ 使

V^*=P_u^\dagger V P_d.

这个条件也说明为何可以在适当基中检验矩阵是否为实。若它成立，令 $V_{\rm r}=P_u^{-1/2}VP_d^{1/2}$ ，逐项取共轭便有 $V_{\rm r}^*=P_u^{1/2}V^*P_d^{-1/2}=V_{\rm r}$ 。由此可选一个不必显式寻找这些相位的检验量：

J=\operatorname{Im}(V_{11}V_{22}V_{12}^*V_{21}^*). \tag{89.32}

重相位后四个因子的相位依次为 $-\beta_1+\alpha_1$ 、 $-\beta_2+\alpha_2$ 、 $+\beta_1-\alpha_2$ 、 $+\beta_2-\alpha_1$ ，总和为零；所以 $J$ 不依赖这些相位选择。与CP共轭过程比较时，CKM系数被复共轭，因而 $J\to-J$ 。因此 $J\ne0$ 便排除了这种CP对称性。

对式（89.31），这一个四元积已经足以看出不可去相位：

\begin{aligned} V_{11}V_{22}V_{12}^*V_{21}^* &=-c_1s_1^2c_2c_3 (c_1c_2c_3-s_2s_3e^{i\delta}),\\ J&=c_1s_1^2c_2s_2c_3s_3\sin\delta. \end{aligned} \tag{89.33}

对一般非零混合角， $\delta$ 不等于 $0$ 或 $\pi$ 时这一量便非零。反过来，一个实混合矩阵即使经行、列重相位变成复矩阵，它的 $J$ 仍为零，物理内容仍然守恒CP。角退化或质量简并时，可用的场变换增多，应在去掉这些自由度后检验CP。

带电弱相互作用因而能够破坏时间反演及CP。这里使用的联系是第40节的CPT结果：在局域、洛伦兹协变、厄米并满足该章谱条件的量子场论中，CPT仍为对称性；CP与T的破坏相互对应。 $\delta$ 也因此称为CP破坏相位。具体衰变中的可测不对称还要计算相应过程的振幅和干涉项，本节得到的是相互作用中允许这种效应的参数。

一代场如何消去规范反常

由第75节的三角图，反常的群系数为各左Weyl表示的完全对称三次迹之和。圈积分的系数已知，下面计算每种规范生成元的群迹。先列出一代场及旁观重数：

左Weyl场	色表示	弱表示	超荷 $Y$	Weyl分量重数
$q$	$\mathbf3$	$\mathbf2$	$1/6$	6
$\bar u$	$\overline{\mathbf3}$	$\mathbf1$	$-2/3$	3
$\bar d$	$\overline{\mathbf3}$	$\mathbf1$	$1/3$	3
$\ell$	$\mathbf1$	$\mathbf2$	$-1/2$	2
$\bar e$	$\mathbf1$	$\mathbf1$	$1$	1

最后一列用于 $Y^3$ 迹。非阿贝尔表示的维数已计入相应矩阵迹，其外再乘其余群的重数。全部场已经是左手，反色场的贡献由其生成元确定。

先看 $3$ – $3$ – $3$ 反常。以基本表示的对称三次迹为单位，第75节已从 $\bar t^A=-(t^A)^T$ 得到 $A(\bar3)=-A(3)$ 。 $q$ 中有两个色三重态， $\bar u,\bar d$ 各有一个反三重态，故

\mathcal A_{333}=2A(\mathbf3)+A(\overline{\mathbf3}) +A(\overline{\mathbf3})=2-1-1=0. \tag{89.35}

弱群的局域 $2$ – $2$ – $2$ 反常逐个双重态就为零。因为 $T^a=\sigma^a/2$ 满足

\frac12\operatorname{Tr}\big(\{T^a,T^b\}T^c\big) =\frac14\delta^{ab}\operatorname{Tr}T^c=0. \tag{89.36}

弱单态也不贡献。

混合 $3$ – $3$ – $1$ 的生成元在直积空间中可分开取迹。它给 $Y\operatorname{Tr}_3(t^At^B)$ ，再乘弱表示维数。反基本的二次迹仍为正的 $\delta^{AB}/2$ ，因为两个生成元的负号相消。因此除去共同的 $\delta^{AB}$ ，有

\mathcal A_{331} =\frac12\left[2\left(\frac16\right)-\frac23+\frac13\right]=0. \tag{89.37}

同理， $2$ – $2$ – $1$ 只接触 $q$ 与 $\ell$ 。此时旁观重数是颜色，得到

\mathcal A_{221} =\frac12\left[3\left(\frac16\right)-\frac12\right]=0. \tag{89.38}

前一项来自三个颜色的夸克双重态，后一项来自轻子双重态。

三个 $U(1)$ 外场的群因子是每个Weyl分量的 $Y^3$ 之和，故

\begin{aligned} \mathcal A_{111} &=6\left(\frac16\right)^3 +3\left(-\frac23\right)^3 +3\left(\frac13\right)^3 +2\left(-\frac12\right)^3+1\\ &=\frac1{36}-\frac89+\frac19-\frac14+1=0. \end{aligned} \tag{89.39}

这与上一节分别得到的夸克 $-3/4$ 、轻子 $+3/4$ 相合。

其余规范群组合也可以直接列出。三个外腿所属群的无序组合一共十种；除刚才的五种以外，余下的是 $332,322,321,311,211$ 。每一种至少含一个只出现一次的非阿贝尔生成元。比如 $332$ 的迹分解为 $\operatorname{Tr}_3(t^At^B)\operatorname{Tr}_2T^a$ ， $311$ 给 $Y^2\operatorname{Tr}_3t^A$ ， $321$ 给 $Y\operatorname{Tr}_3t^A\operatorname{Tr}_2T^a$ ；均由单个生成元无迹而消失。 $322$ 、 $211$ 同样分别含 $\operatorname{Tr}_3t^A$ 或 $\operatorname{Tr}_2T^a$ 。这就列完了三个规范外腿的全部组合。

若把规范场与引力同时考虑，还应使用第75节的超荷迹条件。一代给

\begin{aligned} \mathcal A_{{\rm grav}^2Y} &=6\left(\frac16\right)+3\left(-\frac23\right) +3\left(\frac13\right)+2\left(-\frac12\right)+1\\ &=1-2+1-1+1=0. \end{aligned} \tag{89.40}

非阿贝尔混合引力迹同样因生成元无迹而消失。普通四维自旋时空上还存在第75节的整体 $SU(2)$ 条件：基本双重态的数目必须为偶数。每代有三个颜色的夸克双重态与一个轻子双重态，共四个；三代共有十二个，满足条件。

相消逐代成立，三代相加仍为零。Higgs标量不贡献手征费米三角反常。结合第75节的微扰规范反常条件以及这里的整体 $SU(2)$ 计数，所构造的标准模型满足这些量子规范一致性条件。全局重子数、轻子数的流则由各自的生成元另行计算。

三个规范耦合的一圈演化

同一张场表也足以求出三个规范耦合的一圈贝塔函数。第73节的物质圈计算给每个狄拉克场权重 $4/3$ 、每个复标量权重 $1/3$ 。一个左手 Weyl 场在宇称偶的规范二点函数中贡献狄拉克场的一半，因此对三个群因子分别有

\beta_{g_i}:=\mu\frac{dg_i}{d\mu} =-\frac{g_i^3}{16\pi^2} \left[\frac{11}{3}C_{A_i} -\frac23\sum_{\text{Weyl}}T_i(R) -\frac13\sum_{\text{复标量}}T_i(R)\right] +\text{更高圈}. \tag{89.41}

这里 $T_i(R)$ 包含其余群的表示维数。对超荷群， $C_{A_1}=0$ ，相应的迹是每个分量的 $Y^2$ 之和。一代的三个费米迹分别为

\begin{aligned} \sum_{\text{一代}}T_1 &=6\left(\frac16\right)^2+3\left(-\frac23\right)^2 +3\left(\frac13\right)^2+2\left(-\frac12\right)^2+1 =\frac{10}{3},\\ \sum_{\text{一代}}T_2&=3\cdot\frac12+\frac12=2,\\ \sum_{\text{一代}}T_3&=2\cdot\frac12+\frac12+\frac12=2. \end{aligned} \tag{89.42}

将费米部分乘三代，得到 $(10,6,6)$ 。一个 Higgs 复双重态给 $(T_1,T_2,T_3)=(1/2,1/2,0)$ ，伴随 Casimir 则为 $(0,2,3)$ 。逐项代入：

\begin{aligned} \beta_{g_1} &=\frac{g_1^3}{16\pi^2} \left(\frac23\cdot10+\frac13\cdot\frac12\right) =\frac{41}{6}\frac{g_1^3}{16\pi^2}+\text{更高圈},\\ \beta_{g_2} &=-\frac{g_2^3}{16\pi^2} \left(\frac{22}{3}-4-\frac16\right) =-\frac{19}{6}\frac{g_2^3}{16\pi^2}+\text{更高圈},\\ \beta_{g_3} &=-\frac{g_3^3}{16\pi^2}(11-4) =-7\frac{g_3^3}{16\pi^2}+\text{更高圈}. \end{aligned} \tag{89.43}

$g_1$ 仍是直接乘超荷 $Y$ 的耦合。第84节给 $\operatorname{Tr}Y^2=5/6$ ，因此 $T_1=\sqrt{3/5}Y$ 才具有 $\operatorname{Tr}T_1^2=1/2$ 的归一。保持连接 $g_1Y$ 不变，就得到大统一归一 $g_{1,\mathrm{GUT}}=\sqrt{5/3}\,g_1$ ，链式法则使第一条的系数变成 $(3/5)(41/6)=41/10$ 。上面三条属于包含完整标准模型场内容的质量无关重整化方案，例如 $\overline{\mathrm{MS}}$ ；在低于某些粒子质量的有效理论中，要在质量阈值处匹配，并按留下的场重新计算各个迹。

从高能夸克过程到低能强子流

在 $M_W,M_Z$ 量级，QCD耦合已经较小。例如沿用中译本的 $\alpha_3(M_Z)=g_3^2(M_Z)/(4\pi)=0.12$ ，便可用微扰论计算 $W$ 、 $Z$ 的夸克衰变，并把QCD圈修正的量级估为百分之几。这里所指的是短距离振幅以及与之相联系的包容强子衰变率：硬过程产生夸克后，它们仍要形成强子。小耦合使硬尺度的圈展开可控，而具体的修正系数还须由相应实、虚图求出；它们由具体过程决定。

能量降到强相互作用尺度附近时，不能再把孤立夸克当作可观测外态。弱耦合仍然很小，但弱流的强子矩阵元需要另行求取。下一节将把这里的夸克流接到第83节建立的低能强子理论。作为起点，先只保留最轻的 $u,d$ 质量本征态。按本节的参数化 $V_{ud}=c_1$ 为实，两个带电流便成为

J^{+\mu}_{ud}=c_1\bar{\mathcal D}_{L}^{\alpha}\gamma^\mu\mathcal U_{L\alpha}, \qquad J^{-\mu}_{ud}=c_1\bar{\mathcal U}_{L}^{\alpha}\gamma^\mu\mathcal D_{L\alpha}. \tag{89.34}

以中子衰变为例，要计算的是 $\langle p|J^{-\mu}_{ud}|n\rangle$ ，再把它与轻子流收缩。单个夸克顶角中的 $c_1$ 保留下来；其余结构由核子态和强作用决定。这也说明低能弱衰变为何同时提供夸克混合与强子内部结构的信息。

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