Srednicki §40 宇称、时间反演与电荷共轭

第 23 节给出了标量场的离散变换。旋量场还带有自旋指标，坐标反向时需要同时变换场的分量。将宇称、时间反演和电荷共轭作用于第 39 节的粒子模式，再代回场展开，可以求出这些分量变换的矩阵，并据此判断双线性相互作用项的对称性。

模式相位沿用第 38 节，先取有质量的四分量狄拉克场；所选变换也保持马约拉纳条件。记$\mathcal P,\mathcal T$为坐标矩阵，$P,T,C$为态空间算符，$\mathcal C$为数值电荷共轭矩阵。

从宇称的模式相位求场矩阵

先回想连续洛伦兹变换的情形。与恒等变换相连的场矩阵由旋量生成元确定，其形式为

由于反对称参数的两个指标都求和，无穷小矩阵中带有$1/2$；这些生成元已在第36节用左右外尔块求出。宇称却不与恒等变换连续相连，无法通过选取这些连续参数得到，因此还要另行确定它的场矩阵。定义

可以先考察接连作用两次宇称的结果。$P$为幺正算符，再次作用时数值矩阵可原样提出，因此

两次宇称的效果由此归结为场矩阵的平方。本节选择两次宇称后可观测量恢复原状：对厄米可观测标量，这要求场本身恢复；费米场的局部可观测量则含偶数个奇场，单个场同时取负仍使它们不变，所以也允许$D(\mathcal P)^2=-I_4$。这个负号对应费米宇称$(-1)^F$在奇场上的作用。若理论还有内部对称性，可以将宇称与内部变换组合，获得其他相位约定；以下选择狄拉克场和马约拉纳场共用的一套变换。

相位之外，模式的动量和自旋标签由生成元的变换决定。第23节给出的关系为$P^{-1}\mathbf P P=-\mathbf P$、$P^{-1}\mathbf J P=\mathbf J$。动量反向而静止自旋轴不变，因而在不附加转动的标准推动基中，可以取

这一选择可从静止系理解。宇称与所有转动对易，所以在不可约的自旋二分之一空间上只留下一个共同相位；再利用推动前后的动量反向关系，将它延伸到任意$\mathbf p$。对粒子和反粒子暂取相同的$\eta$，便使$d=b$在变换后仍成立。两次作用还要求$\eta^2=\pm1$，具体哪种相位与局部场变换相容，则要将它代回场展开来确定。为此写出场的模式展开：

先对（40.4）第一行取伴随，湮灭算符的相位便为$\eta^*$。由于$P$幺正，$u,v$和傅里叶指数保持原样。接着令积分变量$\mathbf p\mapsto-\mathbf p$，将模式算符的动量重新写回原方向；$d^3p$的绝对雅可比行列式为1，$\omega_{\mathbf p}$也不变，因此测度保持不变。变换及换元的两步展开为

现在模式算符已有原来的动量标签，剩下的是把反向动量的旋量也写回原来的旋量基。第38节的动量反向关系正适用于此处：

将这两式代入并提出$\beta$，两条频率支的系数分别成为$\eta^*$和$-\eta$。要用同一个局部矩阵变换完整的场，这两个系数必须相等，即$\eta^*=-\eta$。结合单位模条件，相位只能取$\pm i$；选择$\eta=-i$，便得到

另一选择$\eta=i$给出场矩阵$-i\beta$。共同相位的要求来自我们对狄拉克场和马约拉纳场的统一处理；若只讨论一般狄拉克场，也可给两类产生算符分别指定$\eta_b,\eta_d$。这时重复刚才的两频率匹配，得到

例如$\eta_b=1,\eta_d=-1$对应$D(\mathcal P)=\beta$。共同的虚相位因此是本节为保持马约拉纳条件所作的选择，而粒子与反粒子的相位乘积始终为$-1$，与这一选择无关。这个不变的乘积直接决定了粒子反粒子对的内禀宇称。

费米子对的宇称

为看清内禀宇称和轨道运动如何合在一起，考虑质心静止的双粒子态：

最后一个条件表示相对运动有确定宇称。对给定相对轨道角动量$\ell$的波函数，将$\phi$展开为球谐函数后，这一条件来自$Y_{\ell m}(-\widehat{\mathbf p})=(-1)^\ell Y_{\ell m}(\widehat{\mathbf p})$。再取宇称不变的真空$P|0\rangle=P^{-1}|0\rangle=|0\rangle$，逐个变换产生算符并保持它们的原次序，得到

第二行将两个内禀相位的乘积写成负号，并换了积分变量；整个过程保持产生算符的原次序。因此费米子与反费米子的$S$波对子宇称为负，$P$波对子宇称为正；在宇称守恒的湮灭过程中，末态必须具有同样的总宇称。对同一马约拉纳粒子的对子，$\eta^2=-1$给出相同规则，同时轨道与自旋波函数还要合成全同费米子的反对称态：自旋单态反对称，允许偶$\ell$；自旋三重态对称，允许奇$\ell$。

对于两个电子，若也采用同一$\eta=-i$，则得到负的内禀相位乘积。同荷扇区的这个相位会随（40.9）的约定改变；至于两电子不能直接湮灭为总电荷为零的末态，则由第39节的电荷守恒决定。

拆成两个外尔场

场矩阵还能说明宇称对手征性的作用。写成$\Psi=(\chi_a,\xi^{\dagger\dot a})^T$，由于$\beta$交换上下块，相应分量式为

两种指标的位置在这里由$\beta$的块映射对应。要写出其余两个带伴随的分量，先取厄米共轭，将$i$变成$-i$，再用反对称张量$\epsilon$升降指标。具体记$E=(\epsilon_{ab})$、$E^{-1}=-E$：第一式的伴随为$P^{-1}\chi^\dagger_{\rm down}P=-i\xi^{\rm up}$，左乘$E^{-1}$并用$(E^{-1})^2=-I_2$，右侧成为$+i\xi_{\rm down}$；第二式的伴随左乘$E$则给出$-iE\chi^\dagger_{\rm down} =i\chi^{\dagger{\rm up}}$。升降指标的这个负号使两式恢复相同的相位，得到另两条分量变换：

这些分量关系表明，宇称将左手场换成右手场，也将右手场换成左手场。若代入$\chi=\xi$，四式仍彼此相容，故所选宇称变换保持马约拉纳条件。

时间反演中的复共轭与自旋反向

接着考虑时间坐标反向。同样先写出坐标变换和待定的场矩阵：

态空间的实现$T$为反幺正算符，第23节已用正能谱解释了这一点。相应生成元关系为$T^{-1}\mathbf P T=-\mathbf P$、$T^{-1}\mathbf J T=-\mathbf J$。此时动量与自旋都反向，所以取模式变换

由于自旋标签也发生变化，相位可以依赖$s$。取伴随后，湮灭算符仍带相位$\zeta_s^*$；此外，反幺正性还使数值旋量$u,v$逐分量取复共轭，并将$e^{\pm ipx}$变成$e^{\mp ipx}$，算符乘积的次序则保持不变。先实施这些操作，再同时换积分变量$\mathbf p\mapsto-\mathbf p$和求和变量$s\mapsto-s$，便得到

这里坐标反向与指数共轭一起恢复了原来的两条频率支。例如第一项原有$e^{i\omega t-i\mathbf p\cdot\mathbf x}$，换变量后成为$e^{i\omega t+i\mathbf p\cdot\mathbf x}=e^{ip\mathcal Tx}$。接下来只需把复共轭旋量写回原基，这要用第38节在固定静止相位下求得的关系：

选$\zeta_s=s$，则$\zeta_{-s}=-s$，每条频率支中的两个自旋因子相乘都给$(-s)^2=1$。于是可以提出同一个场矩阵：

若取$\zeta_s=-s$，矩阵就相应变为$-B$。上式的显式块结构来自$\mathcal C=\operatorname{diag}(E,-E)$和$\gamma_5=\operatorname{diag}(-I_2,I_2)$。由于$E$为实反对称矩阵，且$E^2=-I_2$，可得$B^*=B$、$B^\dagger=-B=B^{-1}$。

现在再接连作用两次时间反演。第二次作用还要共轭第一次留下的数值矩阵或模式相位，因而有

第一行的矩阵乘积已代入所选的$D(\mathcal T)=B$。一般情况下，第二次反幺正变换必须先共轭第一次留下的矩阵；这里$B$为实矩阵，才可将这一乘积简化为普通平方。两次$T$在一费米子态上给出负号，而在偶费米子可观测量上仍为正。这个平方号也不能用反幺正算符的整体相位消去，因为$(e^{i\alpha}T)^2=e^{i\alpha}e^{-i\alpha}T^2=T^2$。

时间反演的外尔指标

将四分量式拆开时，$B$的上块为$E^{-1}$，作用于$\chi_{\rm down}$便将其升成$\chi^{\rm up}$；下块也为$E^{-1}$，但它作用的场已经是$\xi^{\dagger{\rm up}}$，再升一次就得到$-\xi^\dagger_{\rm down}$。这样，两个块分别给出

其余两式仍由取伴随和升降指标得到。第一式取伴随后左乘$E^{-1}$，会出现$(E^{-1})^2=-I_2$；第二式取伴随后左乘$E$，再用$-E=E^{-1}$整理，便得到

时间反演在这套表示中保持每个外尔块的手征性，改变的是自旋分量及其$\epsilon$排列。取$\chi=\xi$时，两组关系仍一致，因此马约拉纳条件也在时间反演下保持。

双线性量的宇称和时间反演

确定场本身的变换以后，就可以研究它构成的相互作用项。常见的费米子部分形如$\bar\Psi A\Psi$，其中$A$为数值矩阵；为了组成厄米的拉格朗日量，先用第38节的矩阵伴随判断它的厄米性：

因此以下选取$\bar A=A$的矩阵。在已建立的克利福德矩阵中，$I_4,i\gamma_5,\gamma^\mu,\gamma^\mu\gamma_5,S^{\mu\nu}$都满足这个条件。例如$\overline{\gamma_5}=-\gamma_5$，赝标量要乘$i$才成为厄米量；而轴矢量中有$\overline{\gamma^\mu\gamma_5}=-\gamma_5\gamma^\mu=\gamma^\mu\gamma_5$，已经满足所需的伴随关系。

同一点的场乘积也需有确定含义：在经典作用量中，以下双线性量由格拉斯曼场相乘；在自由量子场中，则统一用福克正规序定义，公式中省去冒号。按照这一约定，交换两个奇场时可直接取负号。若使用未经减除的同点算符，第39节的CAR还会产生接触项；后面的电荷共轭计算将把这项写出。

宇称

先对（40.8）取伴随，再右乘$\beta$，就能把场与伴随场的宇称变换合在一起：

场与伴随场的相位相乘为$(-i)i=1$，所以双线性量的变换只取决于$\beta A\beta$。使用$\beta^2=I_4$、$\{\beta,\gamma^i\}=0$和$\{\beta,\gamma_5\}=0$逐项移动矩阵，六类矩阵的结果为

最后一项移动$\gamma^0$时经过两次反交换，两个负号相消，所以轴矢量的空间部分保持正号。为使双线性量的名称与变换生成元区别开，记$\mathscr S=\bar\Psi\Psi$、$\mathscr P=\bar\Psi i\gamma_5\Psi$、$V^\mu=\bar\Psi\gamma^\mu\Psi$、$A_5^\mu=\bar\Psi\gamma^\mu\gamma_5\Psi$。将分量式合起来，得到四类双线性量的宇称变换：

这四类量分别称为标量、赝标量、矢量和轴矢量。矢量的时间分量不变、空间分量反号，与电荷密度和电流的变换相同；轴矢量的空间分量则保持不变，角动量就是这种例子。因此“轴矢量宇称为奇”说的是除几何指标矩阵$\mathcal P$外还有一个负号，实际各分量的符号仍由这两部分共同决定。

时间反演

求时间反演时同样先变换伴随场。$B$与$\beta$对易，且$B^\dagger=B^{-1}$，所以由（40.18）得到

其中$A^*$来自反幺正性，计算时要先处理这个复共轭。由$\mathcal C^{-1}\gamma^\mu\mathcal C=-(\gamma^\mu)^T$及$\mathcal C^2=-I_4$，得到$\mathcal C^{-1}(\gamma^\mu)^T\mathcal C=-\gamma^\mu$。又因为$(\gamma^0)^\dagger=\gamma^0$、$(\gamma^i)^\dagger=-\gamma^i$，所以$(\gamma^0)^*=(\gamma^0)^T$、$(\gamma^i)^*=-(\gamma^i)^T$。先将复共轭换成转置，再用电荷共轭矩阵的恒等式，就有

最后一式使用了$\gamma_5$为实矩阵且与$\mathcal C$对易的性质。复共轭之后的相似变换保持矩阵乘法次序，因此可将刚才的结果用于乘积，得到

六个分量号由此确定。其中赝标量的负号来自$i^*=-i$，而非$\gamma_5$本身的变换。将这些分量式重新组成四维量，得到

可见时间反演使电荷密度保持不变、电流反向；轴矢量的空间分量也反向，正与自旋的时间反演相符。宇称下自旋不变，时间反演下自旋反向，这一物理区别也体现在两组轴矢量变换式中。

电荷共轭与费米场的换序

还要考察交换粒子与反粒子后的双线性量。数值旋量满足$\mathcal C\bar u_s^T=v_s$、$\mathcal C\bar v_s^T=u_s$，因此对场展开取狄拉克伴随、转置并乘$\mathcal C$，得到$\Psi^C=\sum_s\int\widetilde{dp} [d_su_s e^{ipx}+b_s^\dagger v_s e^{-ipx}]$。它与原场的区别正是两套模式互换，所以选取幺正算符$C$交换$b$与$d$而不附加相位，便有

伴随场的第二式可从第一式直接得到。写出$\Psi^C=\mathcal C\beta\Psi^{\dagger T}$后，其狄拉克伴随为$\overline{\Psi^C}=\Psi^T\beta\mathcal C^\dagger\beta =\Psi^T\mathcal C$，这里使用了$\beta\mathcal C=-\mathcal C\beta$。由于$C$幺正，双线性量中的数值矩阵$A$保持原样。将两个场的变换代入，并显式写出旋量指标，依次得到

第三行交换一次奇场，产生负号；最后一行只是将同一个数值矩阵按转置后的指标次序重写。若使用未经正规序的等时算符，第三行还要加上$(\mathcal C A\mathcal C)_{\alpha\beta} \{\Psi_\alpha,\bar\Psi_\beta\} =(\mathcal C A\mathcal C)_{\alpha\beta}\beta_{\alpha\beta}\delta^3(\mathbf0)$。本节的正规序复合量已减去相应真空收缩，所以换序后恰为所写的第三行；自由真空在$C$下不变，也保证这一减除与电荷共轭相容。

接着使用$\mathcal C^T=\mathcal C^{-1}=-\mathcal C$整理两边的共轭矩阵，便将双线性量的变换化为

与时间反演相比，这里出现的是转置：它反转矩阵乘积的次序，却保持数值$i$不变。利用$\gamma_5^T=\gamma_5$及其与$\mathcal C$的对易性，逐项计算可得

最后一项先因转置成为$\gamma_5^T(\gamma^\mu)^T$，再反交换一次恢复原顺序，所以轴矢量得到正号。于是四类双线性量的电荷共轭性质为

矢量流为奇，正好对应$b^\dagger$与$d^\dagger$交换后电荷反号。对马约拉纳场则有$\Psi^C=\Psi$、$\overline{\Psi^C}=\bar\Psi$，任何由同一个场构成的双线性量都在此$C$实现下不变。矢量双线性量又必须满足（40.34）的奇变换，两个条件合起来要求

这个零结果也可从场的代数直接看出。第36节已知$(\mathcal C\gamma^\mu)^T =\mathcal C\gamma^\mu$为对称矩阵，而$\bar\Psi_M\gamma^\mu\Psi_M =\Psi_M^T\mathcal C\gamma^\mu\Psi_M$中的两个奇场相同；交换它们并重命名指标，表达式成为自身的负值。因此同一马约拉纳场没有前章狄拉克荷所对应的矢量流。若双线性量的两端属于不同马约拉纳种类，交换场时也交换了种类，混合矢量便不必为零。

张量与赝张量

记

两者在$\mu,\nu$下均反对称。第38节的$\bar S=S$和$\bar\gamma_5=-\gamma_5$给 $\overline{iS\gamma_5}=i\gamma_5S=iS\gamma_5$， 其中$\gamma_5$通过两枚$\gamma$矩阵，故与$S$对易。 因此两个量均厄米，并沿正文使用格拉斯曼乘积或同一个正规序复合量定义。

宇称的矩阵规则为$A\mapsto\beta A\beta$。 把单位矩阵$\beta^2$插在两枚$\gamma$之间，便有

第二行另用$\beta\gamma_5\beta=-\gamma_5$。 所以$F^{0i}$在宇称下反号、$F^{ij}$不变，赝张量则相反； 这给出它们的几何张量与赝张量性质。

时间反演规则为$A\mapsto B^{-1}A^*B$。 （40.27）可合写成$B^{-1}(\gamma^\mu)^*B=-\mathcal T^\mu{}_\rho\gamma^\rho$。 现在生成元中的$i$也要共轭，所以

第二种量有两个$i$，反幺正共轭在这一步产生两个负号。 于是$F^{0i}$为时间反演偶、$F^{ij}$为奇；赝张量的分量号相反。

电荷共轭使用转置，数值$i$不变，但 $[\gamma^\mu,\gamma^\nu]^T =-[(\gamma^\mu)^T,(\gamma^\nu)^T]$。 代入$\mathcal C^{-1}(\gamma^\mu)^T\mathcal C=-\gamma^\mu$，

因此两个双线性量都为$C$奇。各项结果可以写成一张表； 其中每个变换后的场取相应的$\mathcal Px,\mathcal Tx,x$， 几何矩阵的两个指标分别作用于原来的$\mu,\nu$：

两种量的三个额外符号相乘都为正，再用每个指标上的$\mathcal P\mathcal T=-I$， 得到

两个量都有两个矢量指标，因而均为CPT偶。 最后令$\Psi=\Psi_M$为同一个马约拉纳场。 场本身在所选$C$下不变，两个双线性量却都为$C$奇，因此它们都为零。 也可由刚才的电荷共轭矩阵式得到$A^T\mathcal C=-\mathcal C A$，故 $(\mathcal C A)^T=-A^T\mathcal C=\mathcal C A$； 用这个对称矩阵缩并$\Psi_M^T$与$\Psi_M$， 与（40.35）一样在交换后等于自身的负值。 对不同马约拉纳种类$i,j$，相应关系只给 $\bar\Psi_i A\Psi_j=-\bar\Psi_j A\Psi_i$， 并不要求每个非对角种类分量为零。

CPT及有导数的局部项

最后把三个变换组合起来，记$\Theta=CPT$，它仍为反幺正算符。依次组合（40.25）、（40.29）、（40.34），并使用$\mathcal P^\mu{}_\nu\mathcal T^\nu{}_\rho=-\delta^\mu{}_\rho$，得到

例如矢量的额外$C$号与$T$号相消，剩下$\mathcal P\mathcal T=-I_4$；轴矢量的额外$P$号与$T$号也相消，留下同一个负矩阵。因此在CPT下，标量和赝标量具有相同的号，矢量和轴矢量也具有相同的号。刚才求出的反对称张量和赝张量在CPT下均为偶。这样，变换号与矢量指标数的奇偶性联系起来。

要把这一规律用于一般双线性量，先要说明这些类型已经穷尽四分量矩阵的可能性。所需的完备基为

按上下$2\times2$块展开，就能看清它们如何张成任意矩阵。$I_4,\gamma_5$的组合给出上下块各自的单位矩阵，再利用

可分别选出上下块的三个泡利矩阵，共得到八个对角块基。$\gamma^\mu$与$\gamma^\mu\gamma_5$的和、差则分别留下上右块或下左块，每块都含$(I_2,\boldsymbol\sigma)$的四个独立矩阵，又给出八个基。这16个矩阵线性独立，张成全部$4\times4$复矩阵；赝张量也能用上述对角块展开，不再增加独立基。因此一般双线性量都可分解为这些标量、矢量和张量类型。

先保留两个场的位置

还须把（40.36）推广到含导数项。导数在时空反向下变号，此外还要跟踪它作用于哪一个场，以及显式$i$的变换。为同时保留这些信息，先把两个场放在不同点，再求局部极限。由（40.8）、（40.18）、（40.30）组合得到$\Theta^{-1}\Psi(x)\Theta=-i\gamma_5\Psi^{\dagger T}(-x)$；其中$P$所给的$-i$在最后一次$T$作用时变成$+i$，再用$\mathcal C\beta\mathcal C=\beta$及$\beta\gamma_5\beta=-\gamma_5$，便得到这个总号。取伴随后还有$\Theta^{-1}\bar\Psi(x)\Theta=i\Psi^T(-x)\gamma_5\beta$。将两式用于$B_A(x,y)=:\bar\Psi(x)A\Psi(y):$，得到

第二行交换两个奇场并转置中间矩阵；第三行先代入$\Psi^\dagger=\bar\Psi\beta$，再用$\beta\gamma_5=-\gamma_5\beta$抵消换序的负号。若$A$为（40.37）中带$n$个矢量指标的基矩阵，则$\gamma_5\bar A\gamma_5=(-1)^n\bar A$。另一方面，$B_A(-x,-y)^\dagger =:\bar\Psi(-y)\bar A\Psi(-x):$，因此（40.38）正是$(-1)^n B_A(-x,-y)^\dagger$。位置互换已经包含在整个双线性量的厄米共轭中，后面求导时可以沿用这一对应。

现在令$r$个导数作用于第一个位置，$s$个导数作用于第二个位置，最后才取$x=y=z$。将这两串导数略记为$\partial_x^{(r)}\partial_y^{(s)}$，定义$Q_A(z)=[\partial_x^{(r)}\partial_y^{(s)}B_A(x,y)]_{x=y=z}$。对（40.38）两边求导，每次坐标反向都由链式法则给出一个负号，于是

右边的厄米共轭既包含矩阵伴随，也把每串导数放到原来相应的伴随场上，所以导数位置的信息仍然保留。取一般厄米组合$O=cQ_A+c^*Q_A^\dagger$时，还须变换系数。反幺正性给出$\Theta^{-1}c\Theta=c^*$，故