Srednicki §77 反常与费米子路径积分

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第76节从三角图求出了轴流的散度。计算中，保持两个向量流守恒便固定了有限的局域项，剩下的轴流反常于是成为确定的结果。不过，三角图只包含两个外部规范场。我们还要知道，在任意背景场中应当怎样写这个结果，以及更多圈图会不会改变它的系数。本节用藤川方法，从费米子路径积分出发回答这些问题。经典作用量的变换仍与上一节相同；新的内容在于，定义无穷多个费米积分变量时必须引入调节，而这个调节使轴变换的积分测度发生变化。

先计算狄拉克场的轴流，再由规范变换的一致性确定外尔场的规范反常。群论消除条件和场强密度的全导数公式都可从所得表达式逐项推出；最后再看局域条件之外的整体规范反常。

从三角图到背景场

设无质量狄拉克场属于规范群的表示 $R$ 。把规范场写成表示空间中的矩阵，就有

\begin{gathered} A_\mu=T_R^aA_\mu^a,\qquad D_\mu=\partial_\mu-igA_\mu,\\ F_{\mu\nu} =\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu-ig[A_\mu,A_\nu], \qquad [D_\mu,D_\nu]=-igF_{\mu\nu},\\ j_A^\mu=\bar\Psi\gamma^\mu\gamma_5\Psi . \end{gathered} \tag{77.1}

由 $[T^a,T^b]=if^{abc}T^c$ ，矩阵交换子给分量场强中的 $+gf^{abc}A_\mu^bA_\nu^c$ 。这里的轴变换对 $R$ 的所有分量取相同相位，因而 $j_A^\mu$ 是规范单态。第76节的狄拉克三角图中，两个规范顶角现在各带一个生成元，轴顶角在表示空间中是单位矩阵。因此，原来的结果只需乘上 $\operatorname{Tr}_R(T^aT^b)$ 。对于一个简单因子，采用第70节的正交归一，得到二次背景场项

\left.\partial_\mu j_A^\mu\right|_{A^2} =-\frac{g^2T(R)}{16\pi^2} \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} (\partial_\mu A_\nu^a-\partial_\nu A_\mu^a) (\partial_\rho A_\sigma^a-\partial_\sigma A_\rho^a). \tag{77.2}

这里的方括号反对称化不含 $1/2$ 。若规范群有多个因子，先保留 $\operatorname{Tr}_R(T^aT^b)$ ，再按各因子的指标与耦合展开，便不会把不同的 $T(R)$ 混在一起。

在非阿贝尔理论中， $\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu$ 本身不作协变变换。把它补成 $F_{\mu\nu}$ ，可以得到一个规范不变、维数为四、宇称为奇的局域密度：

\begin{gathered} \mathcal P[A] =\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} \operatorname{Tr}_R(F_{\mu\nu}F_{\rho\sigma}),\qquad \partial_\mu j_A^\mu=-\frac{g^2}{16\pi^2}\mathcal P[A],\\ \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\operatorname{Tr}_R(D_\mu D_\nu F_{\rho\sigma}) =-\frac{ig}{2}\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} \operatorname{Tr}_R[F_{\mu\nu},F_{\rho\sigma}]=0. \end{gathered} \tag{77.3}

$F\mapsto UFU^{-1}$ 与迹的循环性保证了这个密度的规范不变性，它的二次项也确实等于（77.2）。第二行作用于矩阵场强的导数取伴随形式 $D_\mu X=\partial_\mu X-ig[A_\mu,X]$ 。在四维平直时空中，仅含规范背景的这一阶局域赝标量由两个场强构成；上式用反对称性取出两个协变导数的对易子，再利用交换子之迹为零，排除了含一个场强和两个导数的独立单态项。下面直接计算积分测度，既确定这一规范补全，也确定它的系数。

轴变换为什么改变积分测度

暂时把 $A_\mu$ 固定，规范场和鬼场的积分留到最后。费米作用量是格拉斯曼变量的二次型，故其积分可以形式地写成行列式：

\begin{aligned} S_f[\Psi,\bar\Psi;A]&=\int d^4x\,\bar\Psi\,i\slashed D\,\Psi,\\ Z_f[A]&=\int\mathcal D\Psi\,\mathcal D\bar\Psi\,e^{iS_f} \ \propto\ \det(i\slashed D). \end{aligned} \tag{77.4}

与背景无关的常数和相位可以并入归一化。对数行列式的连通背景展开是一条费米圈上任意多个规范场插入；随后对 $A$ 积分，才把这些插入接成含规范传播子的更多圈图。这样分步积分，正好把反常发生的位置单独显露出来。有些背景使无质量狄拉克算符出现零模，此时 $Z_f[A]$ 可能为零；可保留费米源，或先加小质量并保留第76节的经典质量散度，最后取质量零极限。以下变元恒等式本身不需要除以 $Z_f[A]$ 。

取紧支撑的无穷小函数 $\alpha(x)$ ，作上一节的局域轴变换

\delta_\alpha\Psi=-i\alpha\gamma_5\Psi,\qquad \delta_\alpha\bar\Psi=-i\alpha\bar\Psi\gamma_5. \tag{77.5}

两个指数同号，是因为 $\gamma^0$ 与 $\gamma_5$ 反对易。把两项代入作用量时，不含 $\partial\alpha$ 的部分用 $\{\gamma^\mu,\gamma_5\}=0$ 相消，留下

\begin{aligned} \delta_\alpha S_f &=\int d^4x\,(\partial_\mu\alpha) \bar\Psi\gamma^\mu\gamma_5\Psi\\ &=-\int d^4x\,\alpha\,\partial_\mu j_A^\mu . \end{aligned} \tag{77.6}

第二步的边界项由 $\alpha$ 的紧支撑性消失。若测度也不变，变换后的积分与原积分相等，就会导出轴流守恒的沃德恒等式。问题在于测度能否不变。

先看有限个格拉斯曼变量。若 $\eta'_n=J_{nm}\eta_m$ ，则 $\eta'_1\cdots\eta'_N=(\det J)\eta_1\cdots\eta_N$ 。贝雷津积分以最高次单项式的积分等于一来定义，因而变量变换必须满足

\prod_{n=1}^{N}d\eta'_n=(\det J)^{-1}\prod_{n=1}^{N}d\eta_n. \tag{77.7}

费米路径积分中的 $\Psi$ 和 $\bar\Psi$ 是独立积分变量；它们的轴变换矩阵互为转置，但行列式相同，所以出现两个逆行列式。形式地，变换核和测度比为

\begin{aligned} J(x,y)&=\delta^{(4)}(x-y)e^{-i\alpha(x)\gamma_5},\\ \mathcal J_\alpha &=\frac{\mathcal D\Psi'\mathcal D\bar\Psi'} {\mathcal D\Psi\mathcal D\bar\Psi} =(\det J)^{-2},\\ \ln\mathcal J_\alpha &=2i\int d^4x\,\alpha(x)\, \operatorname{tr}_{s,R}\!\left[\gamma_5\delta^{(4)}(x-x)\right] +O(\alpha^2). \end{aligned} \tag{77.8}

这里 $\operatorname{tr}_{s,R}$ 取旋量和表示指标的迹，函数空间的迹已经写成 $x$ 积分。有限维的 $\operatorname{tr}_s\gamma_5$ 虽等于零， $\delta^{(4)}(0)$ 却是紫外发散量。必须先定义重合极限中的完整算符，再取旋量迹；把两个因子分别赋值为零与无穷大并不能计算这个表达式。

这一步可以从谱展开精确地理解：用热核（heat kernel）调节重合点的 $\delta$ 函数。由于实闵可夫斯基四动量上的 $e^{-k^2/M^2}$ 不衰减，我们先规定它所代表的欧氏积分。取

\begin{gathered} x_M^0=-ix_E^4,\qquad \Gamma^4=\gamma^0,\qquad \Gamma^i=-i\gamma^i,\\ A_{E4}=-iA_{M0},\qquad A_{Ei}=A_{Mi},\qquad \epsilon_E^{4123}=+1,\\ \{\Gamma^a,\Gamma^b\}=2\delta^{ab},\qquad \Gamma_5=\Gamma^4\Gamma^1\Gamma^2\Gamma^3=\gamma_5. \end{gathered} \tag{77.9}

欧氏指标 $a,b$ 取 $4,1,2,3$ ；表示指标仍用 $T_R^a$ 时，由上下文区分。先在有限体积中取使狄拉克算符自伴的边界条件，例如光滑周期背景和相应的周期盒，再在内部考察局域极限。先在厄米欧氏连接上定义谱，所得局域多项式再按（77.9）续回实时坐标。 $D_{Ea}$ 是反厄米的，故

H_E=i\Gamma^aD_{Ea}=H_E^\dagger,\qquad H_E\phi_n=\lambda_n\phi_n,\qquad \int d^4x_E\,\phi_n^\dagger\phi_m=\delta_{nm}. \tag{77.10}

用同一正交完备基展开 $\Psi_E=\sum_nc_n\phi_n$ 、 $\bar\Psi_E=\sum_n\bar c_n\phi_n^\dagger$ ，测度就是各 $d c_n\,d\bar c_n$ 的乘积。无穷小变换在这个基中的矩阵为 $\delta_{nm}-i\int\phi_n^\dagger\alpha\Gamma_5\phi_m$ 。对角迹中的高频模用 $e^{-\lambda_n^2/M^2}$ 衰减，得到

\begin{aligned} \mathcal T_{E,M}(x) &=\sum_n e^{-\lambda_n^2/M^2} \phi_n^\dagger(x)\Gamma_5\phi_n(x)\\ &=\operatorname{tr}_{s,R} \langle x|\Gamma_5e^{-H_E^2/M^2}|x\rangle . \end{aligned} \tag{77.11}

这里 $M$ 的量纲是质量，取 $M\to\infty$ 才恢复所有模。局域 $\alpha$ 一般会混合高频和低频模，因此我们先求无穷小雅可比，再移去调节；沃德恒等式只需要这一阶。形式上的有限指数可以沿变换参数积分得到，但不必把局域变换的有限维投影当成一个封闭的变换群。

谱的选择还说明三种调节之间的区别。前两个候选在欧氏记号中分别是 $e^{\partial_E^2/M^2}\delta_E^{(4)}(x-y)$ 和 $e^{D_E^2/M^2}\delta_E^{(4)}(x-y)$ 。以普通 $\partial^2$ 调节，不能保持背景规范变换下的核协变性；以 $D^2$ 调节虽有这一协变性，却把狄拉克算符的自旋耦合删掉了。若只按自旋无关的 $D^2$ 截断测度，所得零迹并不等于上面这个费米行列式的轴变分，差别须在行列式的其余调节中补回。由作用量中的狄拉克谱同时定义测度与行列式，则应使用（77.11）。它保留向量规范变换，又把自旋与背景场强的耦合完整地包括进来。下面正是这个耦合给出非零答案。

热核中留下的局域项

先在闵可夫斯基记号中整理算符，再用（77.9）指定的欧氏积分求值。两套狄拉克算符满足 $i\slashed D_M=-\slashed D_E$ ，所以 $\exp[(i\slashed D_M)^2/M^2]$ 正是 $\exp[-H_E^2/M^2]$ 的延拓。对 $\delta$ 函数作傅里叶展开，把平面波移到微分算符左边，有

\begin{aligned} K_M(x,y) &=\int\frac{d^4k}{(2\pi)^4}\, e^{(i\slashed D_x)^2/M^2}e^{ik(x-y)}\\ &=\int\frac{d^4k}{(2\pi)^4}\, e^{ik(x-y)} \exp\!\left[\frac{(i\slashed D-\slashed k)^2}{M^2}\right]1. \end{aligned} \tag{77.12}

这是因为 $D_\mu(e^{ikx}f)=e^{ikx}(D_\mu+ik_\mu)f$ ，反复作用便适用于指数的每一幂。最右端的 $1$ 保留了微分算符的作用次序： $\partial_\mu1=0$ ，但 $D_\mu1=-igA_\mu$ ；中间的导数还会作用在右侧的 $A$ 和 $F$ 上。

现在把平方展开。记 $S^{\mu\nu}=\frac{i}{4}[\gamma^\mu,\gamma^\nu]$ ，则所选Clifford代数给 $\gamma^\mu\gamma^\nu=-g^{\mu\nu}-2iS^{\mu\nu}$ 。逐项计算为

\begin{aligned} (i\slashed D-\slashed k)^2 &=-\gamma^\mu\gamma^\nu D_\mu D_\nu -i\{\gamma^\mu,\gamma^\nu\}k_\mu D_\nu +\gamma^\mu\gamma^\nu k_\mu k_\nu\\ &=D^2+2iS^{\mu\nu}D_\mu D_\nu+2ik\cdot D-k^2\\ &=D^2+gS^{\mu\nu}F_{\mu\nu}+2ik\cdot D-k^2. \end{aligned} \tag{77.13}

最后一步先用 $S^{\mu\nu}$ 的反对称性把 $D_\mu D_\nu$ 换成 $\frac12[D_\mu,D_\nu]$ ，再用 $[D_\mu,D_\nu]=-igF_{\mu\nu}$ 。因子 $2i$ 、 $\frac12$ 与 $-ig$ 相乘，给自旋势前面的正号 $+g$ 。

将旧积分变量写成 $k_{\rm old}=Mk$ ，四维雅可比an是 $M^4$ 。取 $x=y$ 后平面波等于一，得到

\mathcal T_M(x) =M^4\int\frac{d^4k}{(2\pi)^4}e^{-k^2} \operatorname{tr}_{s,R} \left\{\gamma_5 \exp\!\left[ \frac{2ik\cdot D}{M} +\frac{D^2+gS^{\mu\nu}F_{\mu\nu}}{M^2} \right]1\right\}. \tag{77.14}

这里只把标量 $-k^2$ 从指数中提出；其余算符仍保留在同一个指数中。特别是 $D_\mu$ 与 $F_{\rho\sigma}(x)$ 一般不对易，不能把指数拆成三个因子的乘积。

要找 $M\to\infty$ 时的有限项，无须把整个热核求出。 $2ik\cdot D$ 和 $D^2$ 都不带gamma矩阵，而 $SF$ 带两个。乘上 $\gamma_5$ 后，零个或两个gamma矩阵的迹为零，因此一个非零有序词至少要含两个 $SF$ 。每个 $SF$ 又带 $M^{-2}$ ，恰好两个已达到 $M^{-4}$ ；再插入一个 $D$ 或第三个 $SF$ 便是更高负幂，不能与外面的 $M^4$ 共同留下有限项。于是只有指数展开的二次项贡献：

\lim_{M\to\infty}\mathcal T_M(x) =\frac{g^2}{2}\int\frac{d^4k}{(2\pi)^4}e^{-k^2} \operatorname{tr}_s(\gamma_5S^{\mu\nu}S^{\rho\sigma}) \operatorname{Tr}_R(F_{\mu\nu}F_{\rho\sigma}). \tag{77.15}

这段计数是在光滑固定背景的局部小热时展开中进行的，所有导数都作用在按上述次序保留的光滑系数上。它没有要求 $D$ 与 $F$ 对易，也没有假定 $gA$ 很小；所取的展开参数是 $M^{-1}$ 。被舍去的项至少多一个 $M^{-1}$ ，与相应的局域导数或场强相乘。这里的 $\frac12$ 来自指数的 $2!$ ，不是图的对称因子。

自旋迹可以直接从第75节的四gamma恒等式得到。展开两个对易子，并用 $\epsilon$ 对每一对指标的反对称性，四项同号相加：

\begin{aligned} \operatorname{tr}_s(\gamma_5S^{\mu\nu}S^{\rho\sigma}) &=-\frac1{16} \operatorname{tr}_s\!\left( \gamma_5[\gamma^\mu,\gamma^\nu] [\gamma^\rho,\gamma^\sigma]\right)\\ &=-\frac14\operatorname{tr}_s (\gamma_5\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma) =+i\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}. \end{aligned} \tag{77.16}

动量积分必须沿前面规定的Wick轮廓计算。令 $k_M^0=ik_E^4$ ，则 $k_M^2=k_E^2$ 、 $d^4k_M=i\,d^4k_E$ 。四个实Gaussian积分各给 $\sqrt\pi$ ，故

\int_{\rm Wick}\frac{d^4k_M}{(2\pi)^4}e^{-k_M^2} =\frac{i}{(2\pi)^4}\prod_{a=4,1,2,3} \int_{-\infty}^{\infty}dk_E^a\,e^{-(k_E^a)^2} =\frac{i}{16\pi^2}. \tag{77.17}

（77.16）与（77.17）各带一个 $i$ ，所以最终重合迹为实的负值：

\mathcal T(x)\equiv\lim_{M\to\infty}\mathcal T_M(x) =-\frac{g^2}{32\pi^2} \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} \operatorname{Tr}_R(F_{\mu\nu}F_{\rho\sigma}). \tag{77.18}

也可以始终在欧氏空间确定这个号。此时 $\slashed D_E^{\,2}=D_E^2+E$ ，其中 $E=-\frac{ig}{4}[\Gamma^a,\Gamma^b]F_{Eab}$ ，而 $\operatorname{tr}_s(\Gamma_5\Gamma^a\Gamma^b\Gamma^c\Gamma^d) =4\epsilon_E^{abcd}$ 。于是相同的 $\frac12E^2$ 项给

\begin{aligned} \mathcal T_E(x) &=\frac{1}{16\pi^2}\frac12 \left(-\frac{ig}{4}\right)^2 \operatorname{tr}_s \!\left(\Gamma_5[\Gamma^a,\Gamma^b] [\Gamma^c,\Gamma^d]\right) \operatorname{Tr}_R(F_{Eab}F_{Ecd})\\ &=-\frac{g^2}{32\pi^2} \epsilon_E^{abcd}\operatorname{Tr}_R(F_{Eab}F_{Ecd}). \end{aligned} \tag{77.19}

（77.9）还给 $F_{E4i}=-iF_{M0i}$ ，故 $\epsilon_MFF=i\epsilon_EFF$ 。同时 $d^4x_M=-i\,d^4x_E$ 要求 $\delta_M^{(4)}=i\delta_E^{(4)}$ ，所以重合核满足 $\mathcal T_M=i\mathcal T_E$ 。这两处转换把（77.19）送回（77.18），与直接保留Wick因子的计算一致。

从雅可比恢复量子沃德恒等式

将重合迹代入（77.8），两个独立费米测度把系数乘以二：

\mathcal J_\alpha =\exp\!\left[ -i\frac{g^2}{16\pi^2} \int d^4x\,\alpha(x)\mathcal P[A](x) \right]+O(\alpha^2). \tag{77.20}

再把（77.6）的作用量变分一起放回积分，得到

\begin{aligned} Z_f[A] ={}&\int\mathcal D\Psi\,\mathcal D\bar\Psi\,e^{iS_f}\\ &\times\exp\!\left\{-i\int d^4x\,\alpha(x) \left[\partial_\mu j_A^\mu +\frac{g^2}{16\pi^2}\mathcal P[A]\right]\right\} +O(\alpha^2). \end{aligned} \tag{77.21}

左边与右边是同一个积分的两套变量。因此，对任意紧支撑的 $\alpha$ 取一阶，其系数必须为零。若还插入一个由场构成的乘积 $\mathcal O$ ，变换也要作用在 $\mathcal O$ 上，完整关系是

\begin{aligned} 0={}&\int\mathcal D\Psi\,\mathcal D\bar\Psi\,e^{iS_f} \biggl\{\delta_\alpha\mathcal O\\ &\quad-i\int d^4x\,\alpha(x)\mathcal O \left[\partial_\mu j_A^\mu(x) +\frac{g^2}{16\pi^2}\mathcal P[A](x)\right]\biggr\}. \end{aligned} \tag{77.22}

$\delta_\alpha\mathcal O$ 给出流插入点与其他算符重合时的接触项。例如取 $\mathcal O=\Psi(y)\bar\Psi(z)$ ，两处场的变分给出

\begin{aligned} \delta_\alpha[\Psi(y)\bar\Psi(z)] ={}&-i\alpha(y)\gamma_5\Psi(y)\bar\Psi(z)\\ &-i\alpha(z)\Psi(y)\bar\Psi(z)\gamma_5 . \end{aligned}

在不与其他插入重合的位置，或把接触项一并纳入复合算符恒等式时，（77.22）便是（77.3）。这也把上一节从双光子矩阵元认出的局域项推广到了任意光滑背景。

到这里始终没有按 $g$ 展开费米行列式。热核只选出 $M^{-4}$ 项，其中两个自旋势已经固定了 $g^2$ 系数。对剩下的规范场及鬼场积分，相当于把（77.22）乘上它们的权重再积分，线性的变元恒等式仍然成立。因而在同一调节与复合算符归一下，局域反常的系数就是一圈得到的值。规范场的量子涨落仍会改变 $\mathcal P[A]$ 的矩阵元；这与局域系数不受高阶修正完全相容。

移去调节后，轴流及场强平方都是需要定义的复合算符。同一量子数的 $\partial j_A$ 与 $\mathcal P$ 可以发生混合，轴流也可有有限的归一变化。我们以保持向量规范沃德及（77.22）的共同归一来表述轴反常的一圈精确性。若在另一减除方案中定义流，必须把两个算符同时转换后比较，不能只替换 $g$ 或单独重标轴流。Adler–Bardeen的一圈精确性须在这种相容的量子定义下使用；测度推导确定其局域系数，重整化后恒等式的全阶保持还将在后面说明。

外尔流与规范变换的一致性

换成左手外尔场后，规范变换本身便涉及手征投影。欧氏狄拉克算符把左手空间映到右手空间，外尔行列式的相位因此比上面的狄拉克行列式更难定义。我们可以沿第75节的三角图确定规范反常的局域结构：先用三角图确定二次背景项，再要求连续两次规范变换服从原来的群代数。后一要求称为韦斯—祖米诺（Wess–Zumino）一致性条件，它将固定三次项。

令 $e^{iW[A]}$ 为外尔场积分，流用这个有效作用量的变分定义。在没有零模的局部定义域中，

\begin{aligned} \frac{\delta W}{\delta A_\mu^a(x)} &=g\langle j^{a\mu}(x)\rangle_A,\qquad j^{a\mu}=\bar\Psi T_R^a\gamma^\mu P_L\Psi,\\ \delta_\theta A_\mu&=-\frac1gD_\mu\theta,\qquad \delta_\theta\Psi=-i\theta\Psi,\qquad \theta=\theta^aT_R^a,\\ \delta_\theta W &=-\int d^4x\,\langle j^{a\mu}\rangle_A(D_\mu\theta)^a \\ &=\int d^4x\,\theta^a(D_\mu\langle j^\mu\rangle_A)^a \equiv\mathscr A[\theta,A]. \end{aligned} \tag{77.23}

$\theta=g\Gamma$ 为无量纲局域参数。最后一步采用紧支撑参数与不变的群指标内积，故协变积分分部和普通积分分部一样给一个负号。经典规范不变性要求协变散度为零，量子有效作用量若仍保持这个对称性也应如此。这里定义的流称为一致流；对 $W$ 多次求变分得到的规范流插入自动具有玻色对称性。

第75节已经对三个相同规范顶角取 $c=1/3$ ，并求出三角沃德的有限局域项。把其中一腿解释为（77.23）的变分，保留流中不带 $g$ 的归一，它给出

\mathscr A_2[\theta,A] =\frac{g^2}{24\pi^2}\int d^4x\, \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\theta^a \operatorname{Tr}_R \!\left(T_R^a\,\partial_\mu A_\nu\,\partial_\rho A_\sigma\right). \tag{77.24}

这个系数还可用上一节两向量流保持守恒的结果来追踪：奇宇称链中的 $P_L=(1-\gamma_5)/2$ 给 $-1/2$ ，把同一局域收缩平均分到三条相同规范腿又给 $1/3$ 。把轴结果中的两个线性场强展开，与列维—奇维塔张量缩并会给因子四，故其二次项系数是 $-g^2/(4\pi^2)$ ；乘上这两个数便变成 $+g^2/(24\pi^2)$ 。群迹中必须同时加入所变分那条规范腿的 $T_R^a$ ；规范反常在阿贝尔情形含 $Q^3$ ，轴单态反常则含 $Q^2$ 。

设 $\mathscr A[\theta,A]=\delta_\theta W$ 。两个变换在背景场上满足 $[\delta_{\theta_1},\delta_{\theta_2}]=\delta_{\theta_{12}}$ ，其中 $\theta_{12}=i[\theta_1,\theta_2]$ 。将同样的交换子作用于 $W$ ，立刻得到

\delta_{\theta_1}\mathscr A[\theta_2,A] -\delta_{\theta_2}\mathscr A[\theta_1,A] =\mathscr A[i[\theta_1,\theta_2],A]. \tag{77.25}

参数在左边的各次变分中保持不动。这一条件来自有效作用量是同一个泛函，比仅要求右边具有某个指标结构更强。它同时说明为什么不能任取一个规范协变的局域表达式，便把它当作一致流的散度。

矩阵值微分形式与一致性方程

记矩阵值一形式与二形式为

\begin{aligned} A&=A_\mu\,dx^\mu,\\ dA&=(\partial_\mu A_\nu)\,dx^\mu\wedge dx^\nu,\\ F&=dA-igA\wedge A =\frac12F_{\mu\nu}\,dx^\mu\wedge dx^\nu. \end{aligned} \tag{77.41}

这里 $dx^\mu\wedge dx^\nu=-dx^\nu\wedge dx^\mu$ ；例如 $A\wedge A=\tfrac12[A_\mu,A_\nu]dx^\mu\wedge dx^\nu$ ，一般不为零。以下省略楔积符号， $A^3$ 便指 $A\wedge A\wedge A$ ，并保持三个矩阵的原来次序。

计算只需两条运算法则。若 $P,Q$ 分别是 $p$ 次、 $q$ 次矩阵值形式，则

\begin{aligned} d(PQ)&=(dP)Q+(-1)^pP\,dQ,\\ \operatorname{Tr}_R(PQ) &=(-1)^{pq}\operatorname{Tr}_R(QP). \end{aligned} \tag{77.42}

第一条是把外微分越过 $p$ 个 $dx$ 所产生的符号；第二条先对矩阵取循环迹，再把 $p$ 个微分与 $q$ 个微分交换次序。矩阵本身仍按原次序相乘。普通偏导彼此对易还保证 $d^2=0$ 。

把这些法则用于（77.25）。令 $a=-igA_\mu dx^\mu$ ，并用一个格拉斯曼奇的辅助参数 $w$ 代替 $i\theta$ 。把 $dx^\mu$ 也与 $w$ 取为反对易，则总次数等于形式次数加鬼数。记 $b=da$ 、 $q=dw$ ；四个字母的总奇偶性依次为 $a$ 奇、 $b$ 偶、 $w$ 奇、 $q$ 偶。BRST形式的一致性运算为

\begin{gathered} sa=-q-aw-wa,\qquad sw=-w^2,\qquad sd=-ds,\\ sb=bw-wb-aq+qa,\qquad sq=qw-wq,\\ s(PQ)=(sP)Q+(-1)^{|P|}P(sQ),\qquad \operatorname{Tr}(PQ)=(-1)^{|P||Q|}\operatorname{Tr}(QP). \end{gathered} \tag{77.26}

例如 $sb=s(da)=-d(sa)$ ，用 $d^2=0$ 及外微分的分级乘积律便给第二行； $sq=-d(sw)=d(w^2)=qw-wq$ 同理。这些规则使 $s^2=0$ ，而将两个独立奇参数的系数展开， $s\mathscr A=0$ 正好恢复（77.25）。这里的 $w$ 只为整理规范代数，不引入新的传播粒子。

在四维平直背景中，三角图给出的奇宇称局部密度是四形式，且对规范参数只取一次。把参数的导数积分分部后，单个费米迹中允许的项只有两个 $da$ 、两个 $a$ 与一个 $da$ 、或四个 $a$ 。先把已知二次项的系数归一为一，最一般的这种单迹代表可写为

\Omega=\operatorname{Tr}_R w\left(bb+b_1aab+b_2aba+b_3baa+c\,aaaa\right). \tag{77.27}

三个 $b_i$ 对应不同矩阵次序，一致性要求 $s\Omega$ 是全微分。先在通用矩阵迹中求解，再代入具体表示。这个局部结构的推导也见Bilal，第 9.3 节；下面直接列出系数方程。

为了比较全微分，先列出形式次数为三、鬼数为二的迹。在循环等价下，一个完整的候选集是

\begin{gathered} aqq,\quad bqw,\quad bwq,\quad aaqw,\quad aawq,\quad abww,\\ aqaw,\quad awbw,\quad awwb,\quad aaaww,\quad aawaw . \end{gathered} \tag{77.28}

记这些词的任意线性组合之迹为 $\Xi$ ，依所列顺序以 $t_1,\ldots,t_{11}$ 为系数。列举可以按含几个 $b$ 或 $q$ 来完成： $b$ 占两个形式次数， $q$ 同时占一个形式次数和一个鬼数；剩余次数只能由 $a,w$ 补齐，再把循环重复的排列去掉。诸如 $\operatorname{Tr}(aqaq)$ 的自身循环若带负号，其迹就是零。

对 $s\Omega=d\Xi$ 逐词比较就得到普通线性方程。先展示进入计算的外微分，让符号可以直接核算：

\begin{aligned} d\operatorname{Tr}(a^2qw) &=\operatorname{Tr}(aqwb-abqw+aaqq),\\ d\operatorname{Tr}(a^2wq) &=\operatorname{Tr}(awqb-abwq+aaqq),\\ d\operatorname{Tr}(abw^2) &=\operatorname{Tr}(bbww-abqw+abwq),\\ d\operatorname{Tr}(a^3w^2) &=\operatorname{Tr}(aawwb-abaww+aabww-aaaqw+aaawq). \end{aligned} \tag{77.29}

例如最后一行先用 $d(a^3)=ba^2-aba+a^2b$ 及 $d(w^2)=qw-wq$ ，再把最左的 $b$ 循环移到最后。它是偶元，所以该次循环不添负号。另一方面，对固定项施加 $s$ 有 $s\operatorname{Tr}(wbb) =\operatorname{Tr}(bbww-aqbw+abwq-aqwb+awbq)$ ；这是把（77.26）分别作用到三个因子后，消去成对项并作循环归并的结果。其余四项按同样的乘积律展开，下面七个词的系数已经足以确定全部 $b_i,c$ ：

\begin{array}{c|c|c} \text{迹内的词}&s\Omega\text{中的系数}&d\Xi\text{中的系数}\\ \hline aabww&b_1&t_{10}\\ aawwb&b_3&t_{10}\\ abaww&b_2&-t_{10}\\ aaaaww&c&0\\ aaqq&0&t_4+t_5\\ abqw&b_2&-t_4-t_6\\ abwq&1-b_1&-t_5+t_6 \end{array} \tag{77.30}

前四行给 $b_1=b_3=-b_2=t_{10}$ 及 $c=0$ 。第五行给 $t_5=-t_4$ ，第六行再给 $t_6=b_1-t_4$ ；将它们代入最后一行，便得到 $1-b_1=b_1$ 。因此

b_1=b_3=\frac12,\qquad b_2=-\frac12,\qquad c=0,\qquad \Omega=\operatorname{Tr}_R w\left[da\,da+\frac12d(a^3)\right]. \tag{77.31}

这些必要条件也足够。取下面的三形式，按（77.26）及（77.29）展开，两边所有词逐项相等：

\begin{aligned} \Xi_*&=\operatorname{Tr}_R \left(-\frac12a^2qw+\frac12a^2wq+abw^2 +\frac12aqaw+\frac12a^3w^2\right),\\ s\,\operatorname{Tr}_R w \left[da\,da+\frac12d(a^3)\right]&=d\Xi_* . \end{aligned} \tag{77.32}

例如还未在（77.29）列出的那一项为 $d\operatorname{Tr}(aqaw)=\operatorname{Tr}(awbq-aqbw)$ ；将它和前四行以 $\Xi_*$ 中的系数组合，即可完成这个等式的右边。 $\Xi_*$ 的形式次数为三、鬼数为二，故 $d\Xi_*$ 恰有 $s\Omega$ 的次数。紧支撑参数使其积分为零，从而验证了一致性。这样，三次项的 $\frac12$ 由规范代数与二次项共同确定。

恢复 $a=-igA$ 、 $w=i\theta$ 。有 $a\,da=-g^2A\,dA$ 及 $a^3=ig^3A^3$ ，因此

\begin{aligned} \operatorname{Tr}_R w\,d\!\left(a\,da+\frac12a^3\right) &=-ig^2\operatorname{Tr}_R \theta\,d\!\left(A\,dA-\frac{ig}{2}A^3\right),\\ \mathscr A[\theta,A] &=\frac{g^2}{24\pi^2} \int\operatorname{Tr}_R \theta\,d\!\left(A\,dA-\frac{ig}{2}A^3\right). \end{aligned} \tag{77.33}

第二行的整体归一由（77.24）匹配。对照Bilal 的联络与参数定义，有 $A_B=gA$ 、 $\omega_B=-\theta$ ，故其反厄米联络与奇参数分别为这里的 $a$ 和 $w$ 。展开外微分并利用 $\theta(x)$ 的任意性，得到一致流的协变散度：

(D_\mu j^\mu)^a =\frac{g^2}{24\pi^2}\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\partial_\mu \operatorname{Tr}_R\!\left[ T_R^a\left(A_\nu\partial_\rho A_\sigma -\frac{ig}{2}A_\nu A_\rho A_\sigma\right)\right]. \tag{77.34}

这里和前面一样，流恒等式在相关函数中带相应接触项。右边虽写在协变散度之后，却不是协变形式的局部多项式；一致流由 $W$ 的变分定义，在有反常时不必自身按伴随表示协变变换。若改用一个专门保持局部协变性的流，其定义会多出背景场的局域项，散度也随之改变。这两种流的区别在三条相同规范腿的玻色对称要求中已经出现。

消除条件及轴流公式的比较

将（77.34）的右边记为 $\mathscr A^a[A](x)$ 。对于非零耦合，反常在所有光滑背景中消失的充要条件是

B_R^{abc}\equiv\frac12\operatorname{Tr}_R \!\left(T_R^a\{T_R^b,T_R^c\}\right)=0 \quad\text{对全部 }a,b,c \tag{77.35}

若表示可约，迹取遍各不可约块。下面分别证明必要性和充分性。

对任意紧支撑的局域参数 $\theta^a(x)$ 和任意光滑背景 $A$ ，反常泛函应满足

\mathfrak A[\theta,A] \equiv\int d^4x\,\theta^a(x)\mathscr A^a[A](x)=0 . \tag{77.43}

由于 $\theta$ 可以在任一点附近任意选择，这等价于 $\mathscr A^a[A](x)$ 对所有背景逐点为零。

先按规范势的次数展开。二次项中， $\partial_\mu$ 作用于 $\partial_\rho A_\sigma$ 的部分被 $\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}$ 消去，因为 $\partial_\mu\partial_\rho$ 对 $\mu,\rho$ 对称。因此只剩

\mathscr A_2^a[A] =\frac{g^2}{24\pi^2} \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} (\partial_\mu A_\nu^b)(\partial_\rho A_\sigma^c) \operatorname{Tr}_R(T^aT^bT^c). \tag{77.44}

交换两个时空指标对 $(\mu,\nu)$ 与 $(\rho,\sigma)$ 是偶置换。再交换哑指标 $b,c$ ，场的分量系数彼此对易，所以这个二次项只保留群迹关于 $b,c$ 的对称部分。用（77.35）定义的 $B_R$ ，得到

\mathscr A_2^a[A] =\frac{g^2}{24\pi^2}B_R^{abc} \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} (\partial_\mu A_\nu^b)(\partial_\rho A_\sigma^c). \tag{77.45}

$B_R$ 对 $b,c$ 的对称性由定义给出；把迹中的三个矩阵循环移动，又可交换 $a$ 与 $b$ ，因此它对三个指标完全对称。

这个二次项已经给出必要条件。把所考察的点取为原点，令 $\chi(x)$ 是紧支撑光滑函数，并在原点附近等于1。任取两个实群向量 $u^b,v^b$ ，设置

A_1^b(x)=u^b x^0\chi(x),\qquad A_3^b(x)=v^b x^2\chi(x),\qquad A_0^b(x)=A_2^b(x)=0 . \tag{77.46}

在原点， $A_\mu=0$ ，只有 $\partial_0A_1^b=u^b$ 和 $\partial_2A_3^b=v^b$ 非零。于是（77.34）的三次项及其一次导数都在该点消失，而 $\epsilon^{0123}=\epsilon^{2301}=+1$ 给出

\mathscr A^a[A](0) =\frac{g^2}{12\pi^2}B_R^{abc}u^bv^c . \tag{77.47}

若（77.43）对所有背景恒为零，这个结果必须对每个 $a$ 及所有 $u,v$ 为零。依次令 $u,v$ 只在指定的一个分量非零，便得到每个 $B_R^{abc}=0$ 。反之，只要有一个非零分量，（77.46）就构造出局部反常非零的背景。

还须证明 $B_R=0$ 也消去三次项。三次项中的矩阵乘积要按时空指标的反对称性归并。令

\begin{aligned} \mathcal S^{bcd} &\equiv T^bT^cT^d+T^cT^dT^b+T^dT^bT^c\\ &\quad-T^bT^dT^c-T^dT^cT^b-T^cT^bT^d\\ &=T^b[T^c,T^d]+T^c[T^d,T^b]+T^d[T^b,T^c]. \end{aligned} \tag{77.48}

这是不含 $1/3!$ 的完全反对称和。在 $\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}A_\nu^bA_\rho^cA_\sigma^d$ 中，同时交换任意两个群指标及相应的时空指标，会带来一个负号。因此，三次群迹在这一缩并中等于 $\operatorname{Tr}_R(T^a\mathcal S^{bcd})/6$ 。

为计算这个迹，先保留一般的二次迹

\begin{aligned} K_R^{af}&\equiv\operatorname{Tr}_R(T^aT^f),\\ \operatorname{Tr}_R(T^aT^bT^e) &=B_R^{abe}+\frac{i}{2}f^{bef}K_R^{af}. \end{aligned} \tag{77.49}

后一式只是把 $T^bT^e$ 写成反对易子与对易子的各一半。保留 $K_R$ ，使这一步也直接适用于可约表示与多个简单因子。把（77.49）用在（77.48）中，得到

\begin{aligned} \operatorname{Tr}_R(T^a\mathcal S^{bcd}) &=i\left(f^{cde}B_R^{abe} +f^{dbe}B_R^{ace} +f^{bce}B_R^{ade}\right)\\ &\quad-\frac12K_R^{af} \left(f^{cde}f^{bef} +f^{dbe}f^{cef} +f^{bce}f^{def}\right). \end{aligned} \tag{77.50}

最后一行的括号为零。具体地，雅可比恒等式 $[T^b,[T^c,T^d]]+[T^c,[T^d,T^b]]+[T^d,[T^b,T^c]]=0$ 给出结构常数的关系

f^{cde}f^{bef} +f^{dbe}f^{cef} +f^{bce}f^{def}=0 . \tag{77.51}

这是一条李代数本身的恒等式，因而在非忠实表示中也成立。

（77.50）剩下的三个 $fB$ 项，在三次规范势的反对称缩并中相等。把 $(b,c,d)$ 及 $(\nu,\rho,\sigma)$ 作同一个三循环即可互相变换；三循环是偶置换。因此，因子 $1/6$ 与三个相等项合成 $1/2$ ，给出

\begin{aligned} &\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} \operatorname{Tr}_R(T^aA_\nu A_\rho A_\sigma)\\ &\qquad=\frac{i}{2}f^{cde}B_R^{abe} \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} A_\nu^bA_\rho^cA_\sigma^d . \end{aligned} \tag{77.52}

乘上（77.34）中三次项的 $-ig/2$ ，两个 $i$ 给出正的 $g/4$ 。这样，一致反常的整个右边都写成

\begin{aligned} \mathscr A^a[A] =\frac{g^2}{24\pi^2}\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} \biggl[& B_R^{abc}(\partial_\mu A_\nu^b)(\partial_\rho A_\sigma^c)\\ &+\frac g4 f^{cde}B_R^{abe} \partial_\mu(A_\nu^bA_\rho^cA_\sigma^d)\biggr]. \end{aligned} \tag{77.53}

所以 $B_R^{abc}=0$ 同时消去二次项和三次项，与（77.47）合起来证明

\mathfrak A[\theta,A]\equiv0 \quad\Longleftrightarrow\quad B_R^{abc}=0\quad\text{对所有 }a,b,c . \tag{77.54}

只有共同三次不变张量空间是一维且已选非零 $d^{abc}$ 时，才可写 $B_R^{abc}=A(R)d^{abc}$ ，将条件缩写成 $A(R)=0$ 。一般情形保留完整张量；可约表示对各左手多重态求和，直积群的混合反常条件也包括在内。

轴流密度的全导数形式

在具有光滑规范势的坐标片内，由 $F=dA-igA^2$ 及分级迹循环，轴流反常可写为

\begin{aligned} \operatorname{Tr}_R(F^2) &=\operatorname{Tr}_R(dA\,dA-2ig\,dA\,A^2)\\ &=d\,\operatorname{Tr}_R\!\left(A\,dA-\frac{2ig}{3}A^3\right),\\ \partial_\mu j_A^\mu &=-\frac{g^2}{4\pi^2}\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\partial_\mu \operatorname{Tr}_R\!\left( A_\nu\partial_\rho A_\sigma-\frac{2ig}{3}A_\nu A_\rho A_\sigma \right). \end{aligned} \tag{77.36}

展开两个场强的乘积：

\begin{aligned} \operatorname{Tr}_R(F^2) &=\operatorname{Tr}_R\left( dA\,dA-ig\,dA\,A^2-ig\,A^2dA-g^2A^4\right)\\ &=\operatorname{Tr}_R(dA\,dA) -2ig\operatorname{Tr}_R(dA\,A^2) -g^2\operatorname{Tr}_R(A^4). \end{aligned} \tag{77.55}

$dA$ 和 $A^2$ 都是二形式，故交换它们的迹循环不带负号，两个交叉项相等。四次项则不同：把最前面的一个 $A$ 循环移过后面的三个 $A$ ，会得到 $(-1)^3$ ，所以

\operatorname{Tr}_R(A^4) =(-1)^3\operatorname{Tr}_R(A^4)=0 . \tag{77.56}

也可以直接在分量中看见这个消去。令 $Q=\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\operatorname{Tr}_R(A_\mu A_\nu A_\rho A_\sigma)$ 。普通矩阵迹的循环性给

\begin{aligned} Q&=\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} \operatorname{Tr}_R(A_\nu A_\rho A_\sigma A_\mu)\\ &=-\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} \operatorname{Tr}_R(A_\mu A_\nu A_\rho A_\sigma) =-Q . \end{aligned} \tag{77.57}

第二行重新命名四个哑指标，四循环是奇置换，因而 $Q=0$ 。若从 $F_{\mu\nu}F_{\rho\sigma}$ 中的两个对易子开始，四项依次为

\begin{aligned} &\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} \operatorname{Tr}_R([A_\mu,A_\nu][A_\rho,A_\sigma])\\ &=\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\operatorname{Tr}_R \left(A_\mu A_\nu A_\rho A_\sigma -A_\mu A_\nu A_\sigma A_\rho\right)\\ &\quad+\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\operatorname{Tr}_R \left(-A_\nu A_\mu A_\rho A_\sigma +A_\nu A_\mu A_\sigma A_\rho\right)\\ &=4Q=0 . \end{aligned} \tag{77.58}

这里第二项交换 $\rho,\sigma$ ，第三项交换 $\mu,\nu$ ，第四项同时作两次交换，分别恢复成 $Q$ 。四项取迹后均等于 $Q$ ，再由迹循环性得到零。

再对三形式求外微分。首先， $d^2A=0$ 给出

d\,\operatorname{Tr}_R(A\,dA) =\operatorname{Tr}_R(dA\,dA). \tag{77.59}

其次，依次让 $d$ 作用于三个 $A$ ，

\begin{aligned} d\,\operatorname{Tr}_R(A^3) &=\operatorname{Tr}_R\left(dA\,A^2-A\,dA\,A+A^2dA\right)\\ &=3\operatorname{Tr}_R(dA\,A^2). \end{aligned} \tag{77.60}

第一项已经具有所需次序。第二项中，把最左的 $A$ 循环移过二形式 $dA$ 及最后的一形式 $A$ ，得到负号，恰好消去它前面的负号。第三项中， $A^2$ 与 $dA$ 都是二形式，循环移动给正号。因此三项在迹内相等。

由（77.55）、（77.56）及（77.59）、（77.60），得到

\begin{aligned} d\,\operatorname{Tr}_R\left(A\,dA-\frac{2ig}{3}A^3\right) &=\operatorname{Tr}_R(dA\,dA) -2ig\operatorname{Tr}_R(dA\,A^2)\\ &=\operatorname{Tr}_R(F^2). \end{aligned} \tag{77.61}

这解释了 $2/3$ ：两个场强交叉项给2，而外微分作用于三次项给3。括号内的三形式称为此归一下的Chern–Simons形式。

最后恢复分量，确定（77.36）中的因子4。选定定向 $d^4x=dx^0\wedge dx^1\wedge dx^2\wedge dx^3$ ，于是 $dx^\mu\wedge dx^\nu\wedge dx^\rho\wedge dx^\sigma =\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}d^4x$ 。两个 $F$ 各含一个 $1/2$ ，故

\operatorname{Tr}_R(F^2) =\frac14\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma} \operatorname{Tr}_R(F_{\mu\nu}F_{\rho\sigma})\,d^4x . \tag{77.62}

而三形式及其外微分为

\begin{aligned} &\operatorname{Tr}_R\left(A\,dA-\frac{2ig}{3}A^3\right)\\ &\quad=\operatorname{Tr}_R\left( A_\nu\partial_\rho A_\sigma-\frac{2ig}{3}A_\nu A_\rho A_\sigma \right)dx^\nu\wedge dx^\rho\wedge dx^\sigma,\\ &d\,\operatorname{Tr}_R\left(A\,dA-\frac{2ig}{3}A^3\right)\\ &\quad=\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\partial_\mu \operatorname{Tr}_R\left( A_\nu\partial_\rho A_\sigma-\frac{2ig}{3}A_\nu A_\rho A_\sigma \right)d^4x . \end{aligned} \tag{77.63}

将最后两式代入（77.61），消去共同的 $d^4x$ ，便得到 $\epsilon\operatorname{Tr}_R FF$ 与全导数之间的因子4。乘回轴反常系数 $-g^2/(16\pi^2)$ ，即恢复（77.36）。这是每个坐标片内的密度恒等式；将它对整个时空积分时，还要拼接各片的规范势并计算边界贡献。

一致流与协变流的系数

现在两个系数的差别就清楚了。在具有相同群插入的二次背景项上，

-\frac{g^2}{4\pi^2} \left(-\frac12\right)\left(\frac13\right) =+\frac{g^2}{24\pi^2}. \tag{77.37}

$-1/2$ 反映左手投影， $1/3$ 反映三个规范流插入的对称处理。但整体乘上这两个数不会把（77.36）的 $2/3$ 变成（77.34）的 $1/2$ ；后者还需要刚才的一致性计算。所以系数的比例与局域多项式的结构必须分别确定。

以单位电荷的阿贝尔场为例， $A^2=0$ ，三次形式项消失，区别只剩系数。协变热核在指定的流腿保留手征投影，相当于取轴结果的 $-1/2$ ；一致流则还把局域项平均分配给三条腿。于是

\begin{aligned} \partial_\mu j_{\rm cov}^\mu &=+\frac{g^2}{32\pi^2}\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}F_{\mu\nu}F_{\rho\sigma},\\ \partial_\mu j_{\rm cons}^\mu &=+\frac{g^2}{96\pi^2}\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}F_{\mu\nu}F_{\rho\sigma}. \end{aligned} \tag{77.38}

第二行正是（77.34）的阿贝尔极限，因为 $\epsilon FF=4\epsilon\,\partial A\,\partial A$ 。它的三倍差别是流定义和规范腿对称条件的差别。第75节以相同规范顶角计算的反常应与第二行比较；第76节则始终保护两个向量沃德。

（77.35）是我们由一圈三角图与局域一致性得到的条件。把它推广成“微扰论每一阶都可保持规范沃德”，还需一个关于重整化的定理：在四维局部、可重整、微扰可幺正且耦合通常物质场的规范理论中，若一圈的局域规范反常可由局域反项消去，就存在一个减除方案，使规范反常在全部微扰阶消失。改用其他方案时，可以相应调整有限局域反项。这是Anselmi 所述的 Adler–Bardeen 定理；第 8 节将证明扩展到标量、右手费米子及阿贝尔因子。它保证满足一圈消除条件的规范理论，可以在重整化的各阶继续保持规范沃德恒等式。

整体规范反常

局域规范变换只比较与恒等变换连续相连的场配置。即使（77.35）成立，仍可能沿规范轨道的一条非平凡闭路遇到测度相位的障碍。对于一个具有实符号选择的手征费米积分，把它沿连接 $A$ 与 $A^U$ 的路径连续延拓，可能得到

Z_f[A^U]=-Z_f[A], \tag{77.39}

其中 $U$ 是不能连续缩到恒等变换的大规范变换。两个端点代表同一个物理规范配置，费米振幅却相差一个不可统一选去的符号，这就是整体规范反常的典型情形。用几何语言说，费米行列式或普法夫式的相位须在规范轨道空间上拼接，而这条闭路使实测度的定向翻转。

若形式地同时积分符号相反的规范等价配置，它们的贡献会两两抵消。这一抵消反映了规范商上的测度无法一致定义。由零模导致的无插入积分为零则可通过源插入处理，其含义与这里的定向障碍不同。

第75节已给出普通自旋四流形上的 $SU(2)$ 例子。一个左手基本双重态在非平凡大变换下翻号， $N$ 个这样的双重态相乘给 $(-1)^N$ ，所以双重态数必须为偶数。对一般自旋 $j$ 表示，普通 $SU(2)$ 障碍的条件是

\sum_i2T(j_i)=0\pmod2,\qquad T(j)=\frac{j(j+1)(2j+1)}3,\qquad T(\mathbf2)=\frac12. \tag{77.40}

这一整体指标的计算见Wang、Wen 与 Witten，第 2.2–2.3 节，第75节已写出普通自旋流形上的表示条件。例如 $j=3/2$ 虽为伪实表示，却有 $2T=10$ ，对这种普通自旋时空的 $SU(2)$ 反常不翻号；各多重态须按 $2T(j)$ 的奇偶性计数。

局域反常与整体反常提出两种互补的要求：局部沃德恒等式须在量子理论中保持，测度相位须在整个规范轨道空间上一致定义。后者取决于群的全局形式、表示及允许的时空结构。在无反常的理论中，下一节将利用背景规范不变性组织有效作用量的计算。

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