Srednicki §66 量子电动力学中的贝塔函数

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前面的圈图已经给出电磁顶角和传播子的紫外极点。固定裸作用量，对裸电荷与重整化电荷的关系作尺度微分，就能由这些极点求出电荷的运行。计算沿用第28、52节的方法。旋量电动力学只有一个电磁耦合；在标量电动力学中，电荷和四次耦合还会共同进入同一个反项，因此后半节要同时对两个变量求导。

以下使用 $\overline{\mathrm{MS}}$ 方案， $d=4-\varepsilon$ ， $\mu^2=4\pi e^{-\gamma_E}\widetilde\mu^2$ ；令 $t=\ln\mu$ ，所有尺度微分均在固定裸参数和 $\varepsilon$ 时进行。电荷继续取第58、61节的负支 $e<0$ 。求运行时较方便的正变量是精细结构常数 $\alpha=e^2/(4\pi)$ 。

旋量电动力学：从裸电荷到简单极点

先把三个场的归一因子从相互作用中取出。裸场与重整化场的关系是

\begin{gathered} \Psi_0=Z_2^{1/2}\Psi,\qquad \bar\Psi_0=Z_2^{1/2}\bar\Psi,\qquad A_{0\mu}=Z_3^{1/2}A_\mu,\\ e_0\bar\Psi_0\gamma^\mu\Psi_0A_{0\mu} =e_0Z_2Z_3^{1/2}\bar\Psi\gamma^\mu\Psi A_\mu . \end{gathered} \tag{66.1}

另一方面，第62节拉格朗日量中这一项的系数为 $Z_1e\widetilde\mu^{\varepsilon/2}$ 。比较两个系数，得到裸电荷关系：

e_0Z_2Z_3^{1/2}=Z_1e\widetilde\mu^{\varepsilon/2}, \qquad e_0=\widetilde\mu^{\varepsilon/2} e\frac{Z_1}{Z_2\sqrt{Z_3}}. \tag{66.2}

两条旋量腿各给一个平方根，所以最后是 $Z_2^{-1}$ ；光子只有一条，给 $Z_3^{-1/2}$ 。电荷的工程质量维数为 $\varepsilon/2$ ，正是尺度因子的幂。将此式平方并除以 $4\pi$ ，便可改用正的裸参数：

\alpha=\frac{e^2}{4\pi},\qquad \alpha_0=\frac{e_0^2}{4\pi} =\widetilde\mu^\varepsilon\alpha\, Z_3^{-1}Z_2^{-2}Z_1^2 . \tag{66.3}

现在代入第62节费曼规范的极部。该节先给出一般圈函数，再讨论OS有限减除；本节只保留 $\overline{\mathrm{MS}}$ 所需的极点，得到

\begin{aligned} Z_1&=1-\frac{\alpha}{2\pi\varepsilon}+O(\alpha^2),\\ Z_2&=1-\frac{\alpha}{2\pi\varepsilon}+O(\alpha^2),\\ Z_3&=1-\frac{2\alpha}{3\pi\varepsilon}+O(\alpha^2). \end{aligned} \tag{66.4}

$O(\alpha^2)$ 表示更高圈反项，还可以包含更高次极点。把它们的乘积取对数后，极点级数写得最为直接。为与本节后面的裸 $e$ 对数区别，给这里的系数加上上标 $(\alpha)$ ：

\begin{aligned} \ln\!\left(Z_3^{-1}Z_2^{-2}Z_1^2\right) &=\sum_{n\ge1}\frac{E_n^{(\alpha)}(\alpha)}{\varepsilon^n},\\ \ln\alpha_0 &=\ln\alpha+\varepsilon\ln\widetilde\mu +\sum_{n\ge1}\frac{E_n^{(\alpha)}(\alpha)}{\varepsilon^n},\\ E_1^{(\alpha)}(\alpha) &=\frac{2\alpha}{3\pi} +\frac{\alpha}{\pi}-\frac{\alpha}{\pi} +O(\alpha^2) =\frac{2\alpha}{3\pi}+O(\alpha^2). \end{aligned} \tag{66.5}

最后一行依次来自 $-\ln Z_3$ 、 $-2\ln Z_2$ 和 $2\ln Z_1$ 。顶角与旋量场的贡献已经相消，剩下光子场的归一。对有量纲的裸量取对数时，可先除以固定的单位；这个单位对下面的微分没有影响。

为了说明简单极点怎样决定有限的贝塔函数，记

B_\alpha:=\frac{d\alpha}{dt} =-\varepsilon\alpha+\beta_\alpha(\alpha). \tag{66.6}

第一项是 $d$ 维工程量纲，第二项是四维量子运行。这个分离已在第52节从纯极点关系的逆矩阵和有限性要求推出；这里只有一个变量。对式（66.5）求导，先保留完整的 $B_\alpha$ ，有

\begin{aligned} 0&=\varepsilon+\frac{B_\alpha}{\alpha} +B_\alpha\sum_{n\ge1} \frac{E_n^{(\alpha)\prime}}{\varepsilon^n}\\ &=\frac{\beta_\alpha}{\alpha} -\alpha E_1^{(\alpha)\prime} +\sum_{n\ge1}\frac{ \beta_\alpha E_n^{(\alpha)\prime} -\alpha E_{n+1}^{(\alpha)\prime}}{\varepsilon^n}. \end{aligned} \tag{66.7}

撇号表示对 $\alpha$ 求导。第一行的 $\varepsilon$ 与 $B_\alpha/\alpha$ 中的工程项消去；工程项乘简单极点留下第二行的 $-\alpha E_1'$ 。其余工程项把极点次数降低一阶，于是下标变为 $n+1$ 。逐阶有限要求负幂的系数相消，而有限部分给

\beta_\alpha=\alpha^2E_1^{(\alpha)\prime} =\frac{2\alpha^2}{3\pi}+O(\alpha^3). \tag{66.8}

若在求导前就将 $\varepsilon$ 设为零，恰好会丢掉产生这个有限结果的工程项。

改回电荷变量只须使用链式法则：

\beta_\alpha=\frac{e}{2\pi}\beta_e, \qquad \beta_e=\frac{2\pi}{e}\frac{2}{3\pi} \left(\frac{e^2}{4\pi}\right)^2 =\frac{e^3}{12\pi^2}+O(e^5). \tag{66.9}

在 $e<0$ 支上， $\beta_e$ 为负，电荷向更负的方向变化；同时 $\alpha$ 与 $|e|$ 增大。因此用 $\alpha$ 或电荷大小表述物理结论最为直接：电磁相互作用随能标升高而增强。

多种电荷与同一个运行耦合

若有 $N$ 个狄拉克场，第 $i$ 种场的电荷为 $Q_i e$ ，其场和顶角归一分别记为 $Z_{2i}$ 、 $Z_{1i}$ 。一圈电子自能和顶角修正都含两个额外电磁顶角，故只需在式（66.4）中作 $\alpha\mapsto Q_i^2\alpha$ 。光子自能的圈则可以由任一种带电场构成，不同物种的中间态相互独立，因而圈贡献直接相加：

\begin{aligned} Z_{1i}&=Z_{2i} =1-\frac{Q_i^2\alpha}{2\pi\varepsilon}+O(\alpha^2),\qquad \frac{Z_{1i}}{Z_{2i}}=1+O(\alpha^2),\\ Z_3&=1-\frac{2\alpha}{3\pi\varepsilon} \sum_{i=1}^NQ_i^2+O(\alpha^2),\\ \beta_e&=\frac{e^3}{12\pi^2}\sum_{i=1}^NQ_i^2+O(e^5). \end{aligned} \tag{66.10}

相反电荷在这里同号相加，因为光子二点图含两个电磁顶角。一个狄拉克场的粒子和反粒子已包含在同一个圈中，不另计为两个狄拉克物种；颜色等独立内部标签则各给一份。

动能与顶角反项之间的关系可以从已经证明的局域核恒等式推出。在保持这一沃德关系的减除中，把重整化场的局域相位系数取为 $Q_i e$ ，并像第65节一样从三点顶角提出公共 $\widetilde\mu^{\varepsilon/2}$ ，则

\begin{aligned} q_\mu V_i^\mu(p+q,p) &=Q_i e\,[\mathcal K_i(p+q)-\mathcal K_i(p)],\\ V_{i,\mathrm{ct}}^\mu&=Q_i e\,\delta Z_{1i}\gamma^\mu,\qquad \mathcal K_{i,\mathrm{ct}}(p) =\delta Z_{2i}\slashed p+\delta Z_{mi}m_i,\\ Q_i e\,\delta Z_{1i}\slashed q &=Q_i e\,\delta Z_{2i}\slashed q . \end{aligned} \tag{66.11}

最后一行取每阶局部极点部分，质量反项在差分中消去。对非零电荷，它强制相应动能和顶角的反项系数相等。逐阶保持相同的沃德电荷定义，便可把该等式用于纯极点方案的所有阶。中性场的电磁顶角本来消失，也不贡献式（66.10）的和。这段说明使用第63节已给出的变元证明；当前一圈结果本身只需要前一式列出的三个极部。

运行的物理意义还可由积分式看出。设一段能区内所保留的带电物种不变，记 $C_D=\sum_iQ_i^2$ 。一圈近似给

\begin{aligned} \frac{d}{dt}\frac1\alpha &=-\frac{2C_D}{3\pi},\\ \frac1{\alpha(\mu)} &=\frac1{\alpha(\mu_0)} -\frac{2C_D}{3\pi}\ln\frac\mu{\mu_0},\\ \alpha(\mu) &=\frac{\alpha(\mu_0)}{ 1-\dfrac{2C_D\alpha(\mu_0)}{3\pi}\ln(\mu/\mu_0)}. \end{aligned} \tag{66.12}

它把反复出现的领先对数合并起来。升高能标使分母减小，与真空极化的屏蔽解释相符。用它计算时仍须处于运行耦合较小的区域；将分母外推到零，表示一圈近似已不能继续控制结果。质量无关的MS方案不会在 $\mu$ 低于某个质量时自动删掉该场。跨越阈值时，应将完整理论匹配到相应有效理论，再在每段能区使用自己的物种和。下文的逐段退耦计算将用具体质量参数求出这一领先对数近似。

标量电动力学：两种顶角怎样给出同一裸电荷

现在转向上一节的复标量。为区别旋量场与标量场，将标量动能因子记为 $Z_\varphi$ ；它就是上一节的 $Z_2$ 。裸场为

\varphi_0=Z_\varphi^{1/2}\varphi,\qquad \varphi_0^\dagger=Z_\varphi^{1/2}\varphi^\dagger, \qquad A_{0\mu}=Z_3^{1/2}A_\mu, \qquad Z_\varphi=Z_2. \tag{66.13}

三价电磁项含两条标量和一条光子，其归一幂与旋量情形相同。接触项却含两条光子，四标量项则含四条标量。逐项比较裸作用量与第65节的作用量，得到

\begin{aligned} e_0 Z_\varphi Z_3^{1/2} &=e\widetilde\mu^{\varepsilon/2}Z_1, & e_0&=\widetilde\mu^{\varepsilon/2}e \frac{Z_1}{Z_\varphi\sqrt{Z_3}},\\ e_0^2 Z_\varphi Z_3 &=e^2\widetilde\mu^\varepsilon Z_4, & e_0^2&=\widetilde\mu^\varepsilon e^2 \frac{Z_4}{Z_\varphi Z_3},\\ \lambda_0 Z_\varphi^2 &=\lambda\widetilde\mu^\varepsilon Z_\lambda, &\lambda_0&=\widetilde\mu^\varepsilon\lambda \frac{Z_\lambda}{Z_\varphi^2}. \end{aligned} \tag{66.14}

在第二行中，两个光子场合起来给 $Z_3$ ，一对标量给 $Z_\varphi$ ，两者移到右边都是负一次。把第一行平方，再与第二行相等，正好得到

\frac{Z_1^2}{Z_\varphi^2Z_3} =\frac{Z_4}{Z_\varphi Z_3} \quad\Longleftrightarrow\quad Z_4=\frac{Z_1^2}{Z_\varphi}. \tag{66.15}

这条关系已经由第65节的有限规范变换直接证明。两种电磁顶角由同一个电荷确定。进一步以同一个局域相位系数定义重整化电荷，标量的三点核恒等式使动能与电流反项同属一个协变平方，给 $Z_1=Z_\varphi$ ，于是 $Z_4=Z_\varphi$ 。在本节的一圈计算中，这些关系还可直接由上一节的实际结果读出：

\begin{aligned} Z_1=Z_\varphi=Z_4 &=1+\frac{3e^2}{8\pi^2\varepsilon}+\text{更高圈项},\\ Z_3&=1-\frac{e^2}{24\pi^2\varepsilon}+\text{更高圈项},\\ Z_\lambda &=1+\frac1{16\pi^2\varepsilon} \left(\frac{24e^4}{\lambda}+5\lambda\right) +\text{更高圈项}. \end{aligned} \tag{66.16}

这里使用第65节的朗道规范和MS极部。最后一行的乘法写法暂取 $\lambda\ne0$ ；其真正进入作用量的乘积 $\lambda Z_\lambda$ 在零点仍有加性意义。

两个工程权重与四次耦合的贝塔函数

电荷的两个顶角归一相消后，仍须保留工程尺度： $e_0=\widetilde\mu^{\varepsilon/2}eZ_3^{-1/2}$ 。仿照前半节，对两个裸耦合所含的重整化因子分别取对数：

\begin{aligned} \ln Z_3^{-1/2} &=\sum_{n\ge1}\frac{E_n^{(e)}(e,\lambda)}{\varepsilon^n},\\ \ln(Z_\varphi^{-2}Z_\lambda) &=\sum_{n\ge1}\frac{L_n(e,\lambda)}{\varepsilon^n}. \end{aligned} \tag{66.17}

$E_n^{(e)}$ 属于裸电荷的对数，其定义中含光子归一的 $1/2$ ，与前面的 $E_n^{(\alpha)}$ 不同。在耦合保持非零定号的区间，裸关系成为

\begin{aligned} \ln|e_0| &=\ln|e|+\frac{\varepsilon}{2}\ln\widetilde\mu +\sum_{n\ge1}\frac{E_n^{(e)}}{\varepsilon^n},\\ \ln|\lambda_0| &=\ln|\lambda|+\varepsilon\ln\widetilde\mu +\sum_{n\ge1}\frac{L_n}{\varepsilon^n}. \end{aligned} \tag{66.18}

绝对值使第一行在负电荷支上为实；两个尺度项中的系数分别为工程维数 $\varepsilon/2$ 与 $\varepsilon$ 。

由式（66.16）逐项取对数，一圈简单极点为

\begin{aligned} E_1^{(e)} &=-\frac12\left(-\frac{e^2}{24\pi^2}\right) +\text{更高圈项} =\frac{e^2}{48\pi^2}+\text{更高圈项},\\ L_1 &=-2\frac{3e^2}{8\pi^2} +\frac1{16\pi^2} \left(\frac{24e^4}{\lambda}+5\lambda\right) +\text{更高圈项}\\ &=\frac1{16\pi^2} \left(5\lambda+\frac{24e^4}{\lambda}-12e^2\right) +\text{更高圈项}. \end{aligned} \tag{66.19}

$L_1$ 中的 $-12e^2$ 来自四条外标量的场归一 $Z_\varphi^{-2}$ 。上一节零动量四标量顶角中的混合圈已经相消，但重新归一场以后，裸四次耦合仍会含这个混合项。

下一步对两个裸量求导。电荷和四次耦合的工程维数不同，所以先定义

\begin{gathered} B_e=-\frac{\varepsilon e}{2}+\beta_e, \qquad B_\lambda=-\varepsilon\lambda+\beta_\lambda,\\ \mathcal D:=\frac e2\frac{\partial}{\partial e} +\lambda\frac{\partial}{\partial\lambda},\qquad \mathcal B:=\beta_e\frac{\partial}{\partial e} +\beta_\lambda\frac{\partial}{\partial\lambda}. \end{gathered} \tag{66.20}

沿第52节已经建立的双耦合链式法则，裸量的两个导数是

\begin{aligned} 0&=\frac{B_e}{e}+\frac\varepsilon2 +\sum_{n\ge1}\frac{ B_e\partial_eE_n^{(e)}+B_\lambda\partial_\lambda E_n^{(e)}} {\varepsilon^n},\\ 0&=\frac{B_\lambda}{\lambda}+\varepsilon +\sum_{n\ge1}\frac{ B_e\partial_eL_n+B_\lambda\partial_\lambda L_n} {\varepsilon^n}. \end{aligned} \tag{66.21}

把 $B_e\partial_e+B_\lambda\partial_\lambda$ 写成 $-\varepsilon\mathcal D+\mathcal B$ ，先取简单极点与工程项相乘的有限部分，再把其余项下标移一格，得到

\begin{aligned} 0&=\frac{\beta_e}{e}-\mathcal D E_1^{(e)} +\sum_{n\ge1}\frac{\mathcal B E_n^{(e)}-\mathcal D E_{n+1}^{(e)}} {\varepsilon^n},\\ 0&=\frac{\beta_\lambda}{\lambda}-\mathcal D L_1 +\sum_{n\ge1}\frac{\mathcal B L_n-\mathcal D L_{n+1}} {\varepsilon^n}. \end{aligned} \tag{66.22}

和式（66.7）一样，负幂的相消是高次极点之间的一致性条件；有限部分才确定四维运行：

\beta_e=e\mathcal D E_1^{(e)},\qquad \beta_\lambda=\lambda\mathcal D L_1. \tag{66.23}

一圈 $E_1^{(e)}$ 不含 $\lambda$ ，因而

\beta_e=e\frac e2\frac{\partial}{\partial e} \frac{e^2}{48\pi^2} =\frac{e^3}{48\pi^2}+\text{更高圈项}. \tag{66.24}

四次耦合中的 $e^4/\lambda$ 同时依赖两个变量。分别作用两个偏导，有

\begin{aligned} \frac e2\partial_e L_1 &=\frac1{16\pi^2} \left(\frac{48e^4}{\lambda}-12e^2\right),\\ \lambda\partial_\lambda L_1 &=\frac1{16\pi^2} \left(5\lambda-\frac{24e^4}{\lambda}\right),\\ \mathcal D L_1 &=\frac1{16\pi^2} \left(5\lambda+\frac{24e^4}{\lambda}-12e^2\right) \qquad\text{至一圈阶}. \end{aligned} \tag{66.25}

因此得到

\beta_\lambda =\frac{5\lambda^2-12e^2\lambda+24e^4}{16\pi^2} +\text{更高圈项}. \tag{66.26}

混合项的系数来自场归一 $-2\ln Z_\varphi$ ，其中因子二对应两对外标量。

在 $\lambda=0$ 附近，可以用不含耦合对数的办法重新求同一个结果。将上一节的加性反项乘以 $Z_\varphi^{-2}$ ，到一圈阶得到

\begin{aligned} \lambda_0 &=\widetilde\mu^\varepsilon \left[\lambda+\frac{P(e,\lambda)}{\varepsilon} +\text{更高圈项}\right],\\ P(e,\lambda) &=\frac{5\lambda^2-12e^2\lambda+24e^4}{16\pi^2}. \end{aligned} \tag{66.27}

这里的三个单项式都有工程权重2： $\mathcal D\lambda^2=2\lambda^2$ ， $\mathcal D(e^2\lambda)=2e^2\lambda$ ， $\mathcal D e^4=2e^4$ 。因此 $\mathcal D P=2P$ 。固定裸量求导并只保留一圈，得到

\begin{aligned} 0&=\varepsilon\lambda+P+B_\lambda +\frac{B_e\partial_eP+B_\lambda\partial_\lambda P}{\varepsilon} +\text{更高圈项}\\ &=\beta_\lambda+P-\mathcal DP+\text{更高圈项} =\beta_\lambda-P+\text{更高圈项}. \end{aligned} \tag{66.28}

$P$ 已经是一圈量，所以它的导数中只需代入 $B_e,B_\lambda$ 的工程项；量子贝塔函数乘 $\partial P$ 属于更高圈。这个推导在 $\lambda=0$ 也成立，直接给 $\beta_\lambda=24e^4/(16\pi^2)$ 。电磁相互作用会生成标量自耦合，和上一节四标量图产生局部反项的结论一致。

标量四次耦合在单圈近似下随能标增大，因为

5\lambda^2-12e^2\lambda+24e^4 =5\left(\lambda-\frac65e^2\right)^2 +\frac{84}{5}e^4 . \tag{66.29}

它除自由点 $e=\lambda=0$ 外严格为正。取 $e=0$ 则恢复 $-\lambda|\varphi|^4/4$ 归一下纯复标量的 $5\lambda^2/(16\pi^2)$ 。对电磁耦合仍应说 $|e|$ 增大；在对称真空和微扰展开有效的能区内， $\lambda$ 也随能标增大。若耦合已大到更高圈与一圈可比，或有效势不再支持所取真空，这个单圈趋势就不足以继续决定理论的行为。

旋量与标量贡献的合并

最后考虑两类场同时存在的理论。第62节的狄拉克圈与第65节的复标量圈，都能写成同一光子横向张量乘参数积分。以公共极点 $e^2/(8\pi^2\varepsilon)$ 为单位，它们的正权重分别为

\begin{aligned} w_\Psi&=\int_0^1 8x(1-x)\,dx =8\left(\frac12-\frac13\right)=\frac43,\\ w_\varphi&=\int_0^1(1-2x)^2dx =1-2+\frac43=\frac13,\qquad \frac{w_\varphi}{w_\Psi}=\frac14 . \end{aligned} \tag{66.30}

标量权重已经包含接触项恢复横向性的贡献，狄拉克权重已经包含旋量迹；这正是两种结果相差四倍的来源。给每个场乘上它的 $Q^2$ ，再把独立圈相加，就得到总的电荷贝塔函数：

\begin{aligned} C&:=\sum_{\Psi}Q_\Psi^2+\frac14\sum_{\varphi}Q_\varphi^2,\\ Z_3&=1-\frac{e^2 C}{6\pi^2\varepsilon}+\text{更高圈项},\\ \beta_e&=\frac{C e^3}{12\pi^2}+\text{更高圈项},\qquad \beta_\alpha=\frac{2C\alpha^2}{3\pi}+\text{更高圈项}. \end{aligned} \tag{66.31}

第一项的求和单位是狄拉克场，第二项的单位是复标量场。若有多种标量，它们之间还可能需要不同的四次耦合；此处的电荷贝塔函数仍由这些单圈光子自能相加，而式（66.26）只对应本节那个单复标量的自耦合。

同样的裸量微分还可以求出质量和场的反常维数。先完成这些导数，再用质量阈值把各段能区的电荷运行连接起来。

质量与场的反常维数

采用第52节的定义，固定裸参数、裸场及 $\varepsilon$ ，并令 $t=\ln\mu$ 。与裸场 $F_0=\sqrt{Z_F}F$ 对应的定义为

\gamma_F=\frac12\frac{d\ln Z_F}{dt}, \qquad \frac{dF}{dt}\bigg|_{F_0}=-\gamma_FF, \qquad \gamma_m=\frac{d\ln m}{dt}. \tag{66.32}

场的运行式有负号，因为增大的 $Z_F$ 须由减小的 $F$ 补偿。质量定义中的 $m$ 是有质量量纲的参数；若改求 $m/\mu$ 的对数导数，才会再出现工程项 $-1$ 。

一圈计算只需知道简单极点。设 $\ln Z_j=a_j(e,\lambda)/\varepsilon+\cdots$ ，则其有限的一圈导数为

\begin{aligned} \left.\frac{d\ln Z_j}{dt}\right|_{\text{一圈有限}} &=\frac1\varepsilon \left(-\frac{\varepsilon e}{2}\partial_e -\varepsilon\lambda\partial_\lambda\right)a_j\\ &=-\mathcal D a_j, \qquad \mathcal D\equiv\frac e2\partial_e+\lambda\partial_\lambda . \end{aligned} \tag{66.33}

这里的 $\varepsilon$ 与极点相消，留下有限结果。量子部分 $\beta_e,\beta_\lambda$ 再作用于一圈极点会提高圈数；这些项在高阶计算中要与相应高阶极点一同处理。所以这一步提取的是所需的一圈系数。

费曼规范的旋量电动力学采用第62节求得的紫外因子：

\begin{aligned} Z_2&=1-\frac{e^2}{8\pi^2\varepsilon}+\cdots,\\ Z_m&=1-\frac{e^2}{2\pi^2\varepsilon}+\cdots,\\ Z_3&=1-\frac{e^2}{6\pi^2\varepsilon}+\cdots. \end{aligned} \tag{66.34}

省略号表示更高圈。动能、质量项写成 $iZ_2\bar\Psi\slashed\partial\Psi-Z_m m\bar\Psi\Psi$ ，而麦克斯韦项的系数为 $Z_3$ ，因此裸量关系是

\Psi_0=\sqrt{Z_2}\Psi,\qquad A_0^\mu=\sqrt{Z_3}A^\mu,\qquad m_0=\frac{Z_m}{Z_2}m . \tag{66.35}

对两个场，直接让 $\mathcal D$ 作用于各自的极点系数。因为 $\mathcal D e^2=e^2$ ，得到

\begin{aligned} \gamma_\Psi &=-\frac12\mathcal D\left(-\frac{e^2}{8\pi^2}\right) =\frac{e^2}{16\pi^2} =\frac{\alpha}{4\pi},\\ \gamma_A &=-\frac12\mathcal D\left(-\frac{e^2}{6\pi^2}\right) =\frac{e^2}{12\pi^2} =\frac{\alpha}{3\pi}, \qquad \alpha=\frac{e^2}{4\pi}. \end{aligned} \tag{66.36}

质量则取决于 $Z_m/Z_2$ 。先相减两个对数，再固定 $m_0$ 求导：

\begin{aligned} \ln\frac{Z_m}{Z_2} &=-\frac{3e^2}{8\pi^2\varepsilon}+\cdots,\\ 0=\frac{d\ln m_0}{dt} &=\gamma_m+\frac{3e^2}{8\pi^2}+\cdots,\\ \gamma_m&=-\frac{3e^2}{8\pi^2} =-\frac{3\alpha}{2\pi} \qquad\text{（一圈）}. \end{aligned} \tag{66.37}

狄拉克质量在拉格朗日量中是一次的 $m$ ，这里没有再除以2。在弱耦合范围内，这一负号说明 $\overline{\mathrm{MS}}$ 质量随能标升高而减小。物理极点质量由传播子的极点位置定义，其尺度不变性还包含自能的显式标度依赖。

横向规范下的标量质量与场

取 $\xi=0$ 的朗道规范，使用横向光子核。仍将标量动能因子记作 $Z_\varphi$ ；它就是第65节的 $Z_2$ 。由该节各图的紫外极部，有

\begin{aligned} Z_\varphi&=1+\frac{3e^2}{8\pi^2\varepsilon}+\cdots,\\ Z_m&=1+\frac{\lambda}{8\pi^2\varepsilon}+\cdots,\\ Z_3&=1-\frac{e^2}{24\pi^2\varepsilon}+\cdots . \end{aligned} \tag{66.38}

标量质量项为 $-Z_m m^2\varphi^\dagger\varphi$ ，因而

\varphi_0=\sqrt{Z_\varphi}\varphi,\qquad A_0^\mu=\sqrt{Z_3}A^\mu,\qquad m_0^2=\frac{Z_m}{Z_\varphi}m^2 . \tag{66.39}

式（66.33）仍可使用，但这次标量的动能极点为正，所以场反常维数为负：

\begin{aligned} \gamma_\varphi &=-\frac12\mathcal D\left(\frac{3e^2}{8\pi^2}\right) =-\frac{3e^2}{16\pi^2},\\ \gamma_A &=-\frac12\mathcal D\left(-\frac{e^2}{24\pi^2}\right) =\frac{e^2}{48\pi^2}. \end{aligned} \tag{66.40}

场的这些系数是在指定规范中的结果。质量要同时考虑 $\lambda$ 和 $e$ 的工程权重： $\mathcal D\lambda=\lambda$ ， $\mathcal D e^2=e^2$ 。因此

\begin{aligned} \ln\frac{Z_m}{Z_\varphi} &=\frac{\lambda-3e^2}{8\pi^2\varepsilon}+\cdots,\\ 0=\frac{d\ln m_0^2}{dt} &=2\gamma_m-\frac{\lambda-3e^2}{8\pi^2}+\cdots,\\ \gamma_m&=\frac{\lambda-3e^2}{16\pi^2},\\ \frac{dm^2}{dt}&=\frac{\lambda-3e^2}{8\pi^2}m^2 \qquad\text{（一圈）}. \end{aligned} \tag{66.41}

这里出现 $1/2$ 是因为裸量关系涉及 $m^2$ 。当 $m^2=0$ 时，用最后一行的 $m^2$ 运行式即可，无须对零质量取对数。

积分质量方程时， $e$ 与 $\lambda$ 也按式（66.24）、（66.26）同时运行。

一般规范中的质量与电荷

第62节的一般规范计算已经从光子纵向核求出了任意 $R_\xi$ 规范的紫外系数。这里使用那些积分的结果，考察裸质量和裸电荷所需要的组合：

\begin{aligned} Z_1=Z_2&=1-\frac{\xi e^2}{8\pi^2\varepsilon}+\cdots,\\ Z_m&=1-\frac{(3+\xi)e^2}{8\pi^2\varepsilon}+\cdots,\\ Z_3&=1-\frac{e^2}{6\pi^2\varepsilon}+\cdots. \end{aligned} \tag{66.42}

先看质量。 $Z_m$ 和 $Z_2$ 中含 $\xi$ 的极点相同，作比之后已相消：

\begin{aligned} \ln\frac{Z_m}{Z_2} &=-\frac{[(3+\xi)-\xi]e^2}{8\pi^2\varepsilon}+\cdots =-\frac{3e^2}{8\pi^2\varepsilon}+\cdots,\\ \gamma_m&=-\frac{3e^2}{8\pi^2}+\cdots . \end{aligned} \tag{66.43}

固定 $m_0$ 作尺度微分，就得到与费曼规范相同的质量反常维数。

电荷的裸量关系包含两个费米场和一个光子场的归一化。在固定的 $e<0$ 支上用实对数 $\ln|e|$ ，有

\begin{aligned} e_0&=\widetilde\mu^{\varepsilon/2} e\,Z_3^{-1/2}Z_2^{-1}Z_1,\\ \ln|e_0|&=\frac{\varepsilon}{2}\ln\widetilde\mu +\ln|e|+\frac{F_1(e,\xi)}{\varepsilon}+\cdots,\\ F_1(e,\xi) &=\frac{e^2}{12\pi^2} +\frac{\xi e^2}{8\pi^2} -\frac{\xi e^2}{8\pi^2} =\frac{e^2}{12\pi^2}. \end{aligned} \tag{66.44}

$F_1$ 表示裸 $e$ 对数的极点，与式（66.5）中裸 $\alpha$ 对数的系数分别定义。对第二行求导，将 $B_e=-\varepsilon e/2+\beta_e$ 代入，工程项首先相消，有限的一圈项随即给出

\begin{aligned} 0&=\frac{\varepsilon}{2}+\frac{B_e}{e} +\frac{B_e}{\varepsilon}\,\partial_eF_1+\cdots,\\ 0&=\frac{\beta_e}{e}-\frac e2\,\partial_eF_1 \qquad\text{（一圈有限部分）},\\ \beta_e&=\frac{e^3}{12\pi^2}. \end{aligned} \tag{66.45}

规范参数没有进入最终结果，原因在微分之前就已显现：质量取 $Z_m/Z_2$ ，电荷取 $Z_1/Z_2$ ，相应的 $\xi$ 项分别相消。

固定裸规范参数与暂时固定重整化 $\xi$ 也须区分。从规范固定项的场重标度得到 $\xi_0=Z_3\xi$ ，因此

\frac{d\xi}{dt}=-\xi\frac{d\ln Z_3}{dt}=-2\xi\gamma_A, \qquad \gamma_\Psi=\frac{\xi e^2}{16\pi^2}+\cdots . \tag{66.46}

$d\xi/dt$ 从 $e^2$ 阶开始，它再作用于 $Z_2$ 的 $e^2/\varepsilon$ 系数属于更高圈。质量比和电荷比本来就没有一圈 $\xi$ 依赖。单个带电场的 $\gamma_\Psi$ 仍依赖规范，这与上述两个组合的相消相容。

跨过质量阈值的精细结构常数

对多种带电狄拉克场，把颜色数并入权重 $w_i=N_{c,i}Q_i^2$ 。活跃物种固定时，式（66.12）中的 $C_D$ 就是 $\sum_iw_i$ 。跨越质量阈值时，改用修正退耦减除（modified decoupling subtraction，DS）方案：当尺度低于 $m_i$ 时，把该场积掉，以下区间的贝塔函数便不再包含它。在各阈值作连续的领先对数匹配，并将 $m_i$ 作为固定阈值。

对 $0<\mu<M_W$ 及 $m_i<M_W$ ，第 $i$ 味真正参与运行的区间为 $\max(m_i,\mu)<\kappa<M_W$ ，故

\int_\mu^{M_W}\frac{d\kappa}{\kappa}\, \Theta(\kappa-m_i) =\ln\frac{M_W}{\max(m_i,\mu)} . \tag{66.47}

各味相加后得到

\frac1{\alpha_{\rm DS}(M_W)} =\frac1{\alpha_{\rm DS}(\mu)} -\frac2{3\pi}\sum_{m_i<M_W}w_i \ln\frac{M_W}{\max(m_i,\mu)} . \tag{66.48}

式（66.47）中的下限必须取 $\max(m_i,\mu)$ ：若 $\mu<m_i$ ，继续降低 $\mu$ 不能重新加回已积掉的场。在完整理论的 $\overline{\mathrm{MS}}$ 贝塔函数中，重场贡献不会自行消失；这里的停止运行来自阈值处更换有效理论及相应匹配。

低于电子质量时，这里所含的带电场全部退耦。用低能在壳电荷固定余下的麦克斯韦系数，即取 $\alpha_{\rm DS}(\mu<m_e)=\alpha_{\rm OS}$ 。这一低能匹配条件连同上式给出

\frac1{\alpha_{\rm DS}(M_W)} =137.036-\frac2{3\pi}\sum_{m_i<M_W} w_i\ln\frac{M_W}{m_i}. \tag{66.49}

低能常数由OS条件提供，而阈值积分决定它与高能参数之间的对数差。在领先对数精度下略去有限阈值修正和更高圈贡献。

采用第83节、第88节表内的质量，以及第87节的 $M_W$ ，作为这次估算的历史教学参数： $m_c=1.3\,{\rm GeV}$ 、 $m_b=4.3\,{\rm GeV}$ 、 $m_t=178\,{\rm GeV}$ ，作为相应标度下的近似 $\overline{\mathrm{MS}}$ 质量；带电轻子的质量取 $m_e=0.511\,{\rm MeV}$ 、 $m_\mu=105.7\,{\rm MeV}$ 、 $m_\tau=1777\,{\rm MeV}$ ，目标标度取 $M_W=80.4\,{\rm GeV}$ 。轻夸克统一取 $m_u=m_d=m_s=0.300\,{\rm GeV}$ ，表示强子效应开始重要时的有效退耦尺度，而非轻夸克的流质量。这些参数用于说明阈值积分的做法。

电子电荷取 $e<0$ ，因此这里的 $Q_i$ 与以正的质子电荷为单位的电荷数相差总负号，平方后给相同的 $w_i$ 。换成统一的GeV单位后，对数贡献如下。

味	$m_i\ ({\rm GeV})$	$w_i=N_{c,i}Q_i^2$	$w_i\ln(M_W/m_i)$
$e$	$0.000511$	$1$	$11.966155$
$\mu$	$0.1057$	$1$	$6.634165$
$u$	$0.300$	$4/3$	$7.454649$
$d$	$0.300$	$1/3$	$1.863662$
$s$	$0.300$	$1/3$	$1.863662$
$c$	$1.3$	$4/3$	$5.499533$
$\tau$	$1.777$	$1$	$3.812088$
$b$	$4.3$	$1/3$	$0.976133$

顶夸克质量高于 $M_W$ ，不属于此和；中微子的电荷为零，也没有贡献。总共是八种带电味，计入颜色后为十八份带电狄拉克场。三种轻夸克的权重合为 $2$ ，所以整个对数和可合写为

\begin{aligned} L\equiv\sum_iw_i\ln\frac{M_W}{m_i} ={}&\ln\frac{80.4}{0.000511} +\ln\frac{80.4}{0.1057} +\ln\frac{80.4}{1.777}\\ &+2\ln\frac{80.4}{0.300} +\frac43\ln\frac{80.4}{1.3} +\frac13\ln\frac{80.4}{4.3}\\ ={}&40.0700475611 . \end{aligned} \tag{66.50}

各比值的分子、分母均以GeV计，因而对数的宗量无量纲。代入式（66.49）便得

\begin{aligned} \alpha_{\rm DS}^{-1}(M_W) &=137.036-\frac2{3\pi}(40.0700475611)\\ &=137.036-8.5031281857 =128.5328718143,\\ \alpha_{\rm DS}(M_W)&=0.0077801109233 \simeq\frac1{128.5}. \end{aligned} \tag{66.51}

还可以不按粒子求和，而从最低阈值逐段向上积分。若区间 $[\mu_j,\mu_{j+1}]$ 的活跃权重为 $W_j$ ，连续匹配给

\alpha_{\rm DS}^{-1}(\mu_{j+1}) =\alpha_{\rm DS}^{-1}(\mu_j) -\frac2{3\pi}W_j\ln\frac{\mu_{j+1}}{\mu_j}. \tag{66.52}

从 $\alpha_{\rm DS}^{-1}(m_e)=137.036$ 开始，得到下表。这一积分方式按阈值区间组织贡献，独立检查了每种颜色加入运行的时刻。

区间下端至上端（GeV）	$W_j$	上端的 $\alpha_{\rm DS}^{-1}$
$0.000511\to0.1057$	$1$	$135.90451646$
$0.1057\to0.300$	$2$	$135.46177814$
$0.300\to1.3$	$4$	$134.21711258$
$1.3\to1.777$	$16/3$	$133.86336444$
$1.777\to4.3$	$19/3$	$132.67570915$
$4.3\to80.4$	$20/3$	$128.53287181$

两个计算给出相同的末值。若分别在 $\mu=m_e/2$ 和 $m_e/4$ 应用式（66.48），所得末值也相同。表中的多位小数用于复算；轻夸克的 $300\,{\rm MeV}$ 阈值本身是粗略模型，因此与模型精度相称的结果是 $\alpha(M_W)\simeq1/128.5$ 。它显示了真空极化的屏蔽效应：由低能向高能推进时，所测得的电磁耦合逐渐增强。

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