Srednicki §87 标准模型：规范与 Higgs 扇区

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现在把前面建立的规范理论用于标准模型（Standard Model）。它的规范群和物质表示先作为模型的输入给定，再由规范不变性限制相互作用。本节从电弱规范场与Higgs场开始：Higgs真空决定哪些矢量场获得质量，剩下的无质量组合则与电磁作用相联系。随后将所有规范动能改写到这个质量基中，就能得到适于树级计算的拉格朗日量。

模型的场内容和Higgs真空

标准模型取规范群 $SU(3)\times SU(2)\times U(1)$ 。一代左手Weyl场处于表示

\begin{aligned} R_{\mathrm{one}} ={}&(1,2,-\tfrac12)\oplus(1,1,+1) \oplus(3,2,+\tfrac16)\\ &\oplus(\bar3,1,-\tfrac23)\oplus(\bar3,1,+\tfrac13), \end{aligned} \tag{87.1}

这样的物质场有三代，另有一个 $(1,2,-1/2)$ 复标量。每个三元组的前两个位置指定色群和弱群的表示，最后一个位置是 $U(1)$ 生成元的本征值，称为超荷（hypercharge）。两个 $\bar3$ 是色反三重态，须与色基本三重态区分。物质内容、三代重复和超荷的选择共同定义了所讨论的模型，随后各章再说明它们怎样描述轻子与夸克。

拉格朗日量包含与这些场相容、满足Lorentz和规范不变性且质量量纲不超过4的项。这限定了四维可重整化模型的范围。其电弱部分也称为Glashow–Weinberg–Salam模型；以下从 $SU(2)\times U(1)$ 规范场和Higgs双重态 $\varphi$ 开始。

Higgs场对色群为单态。它的电弱生成元和协变导数为

\begin{aligned} T^a&=\frac{\sigma^a}{2},\qquad Y=-\frac12I_2,\\ D_\mu\varphi&=(\partial_\mu-iC_\mu)\varphi,\qquad C_\mu=g_2A_\mu^aT^a+g_1B_\mu Y . \end{aligned} \tag{87.2}

$A_\mu^a$ 是三个弱规范场， $B_\mu$ 是超荷规范场； $g_2$ 与 $g_1$ 是两个独立的正耦合。将三个Pauli矩阵逐个代入，得到显式连接矩阵

C_\mu=\frac12 \begin{pmatrix} g_2A_\mu^3-g_1B_\mu&g_2(A_\mu^1-iA_\mu^2)\\ g_2(A_\mu^1+iA_\mu^2)&-g_2A_\mu^3-g_1B_\mu \end{pmatrix}. \tag{87.3}

这里 $g_1$ 直接乘超荷 $Y$ ，其归一与第84节讨论GUT匹配时另行归一的生成元不同。

取势

V(\varphi)=\frac{\lambda}{4} \left(\varphi^\dagger\varphi-\frac{v^2}{2}\right)^2, \qquad \lambda>0,\quad v>0 . \tag{87.4}

它在 $\varphi^\dagger\varphi=v^2/2$ 处达到最低值。所有这样的双重态都可以旋转到上分量。事实上，若 $\varphi_0=vn/\sqrt2$ ， $n=(a,b)^T$ 、 $|a|^2+|b|^2=1$ ，则

\begin{aligned} U_n&=\begin{pmatrix}a^*&b^*\\-b&a\end{pmatrix}, &U_nn&=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},\\ U_n^\dagger U_n&=I,&\det U_n&=1 . \end{aligned} \tag{87.5}

两个行向量的内积为零，范数均为1，乘上 $n$ 又使第二分量为 $-ba+ab=0$ ，所以这个 $SU(2)$ 矩阵已经完成所需的旋转。选取这个规范代表，真空值便是 $\langle0|\varphi(x)|0\rangle=v(1,0)^T/\sqrt2$ 。以下先以这个经典真空值求树级质量。

从质量矩阵找出W、Z和光子

令 $u=(1,0)^T$ 。真空是常数，因而 $D_\mu\varphi_0=-ivC_\mu u/\sqrt2$ 。标准复场动能 $-(D_\mu\varphi)^\dagger D^\mu\varphi$ 给

\begin{aligned} C_\mu u&=\frac12 \begin{pmatrix} g_2A_\mu^3-g_1B_\mu\\ g_2(A_\mu^1+iA_\mu^2) \end{pmatrix},\\ \mathcal L_{\mathrm{mass}} &=-\frac{v^2}{2}u^\dagger C^\mu C_\mu u\\ &=-\frac{v^2}{8} \left[g_2^2(A^1\cdot A^1+A^2\cdot A^2) +(g_2A^3-g_1B)^2\right]. \end{aligned} \tag{87.6}

下分量与其复共轭相乘时， $A^1\cdot A^2$ 的两个交叉项相消。其中 $C^\mu C_\mu$ 同时包含连接的矩阵乘法和Lorentz收缩。

将四个实规范场依次排为 $(A^1,A^2,A^3,B)$ ，按 $-\tfrac12A^AM^2_{AB}A^B$ 读取质量平方矩阵，得到

M^2=\frac{v^2}{4} \begin{pmatrix} g_2^2&0&0&0\\ 0&g_2^2&0&0\\ 0&0&g_2^2&-g_1g_2\\ 0&0&-g_1g_2&g_1^2 \end{pmatrix}. \tag{87.7}

前两个场已经对角，而且质量相同。提出共同因子 $v^2/4$ 后，中性两场的矩阵是 $(g_2,-g_1)^T$ 与其转置的外积：它作用于 $(g_2,-g_1)^T$ 给 $g_1^2+g_2^2$ 倍原向量，作用于 $(g_1,g_2)^T$ 则为零。因此定义弱混合角（weak mixing angle）

\begin{aligned} \tan\theta_W&=\frac{g_1}{g_2},\qquad s_W=\frac{g_1}{\sqrt{g_1^2+g_2^2}},\quad c_W=\frac{g_2}{\sqrt{g_1^2+g_2^2}},\\ Z_\mu&=c_WA_\mu^3-s_WB_\mu,\qquad A_\mu=s_WA_\mu^3+c_WB_\mu,\\ A_\mu^3&=c_WZ_\mu+s_WA_\mu,\qquad B_\mu=-s_WZ_\mu+c_WA_\mu . \end{aligned} \tag{87.8}

这给出了中性场的旋转及其逆变换。 $Z$ 沿着正质量方向， $A$ 沿着零方向。旋转矩阵正交，所以两个场的标准动能归一也保持不变。

对于简并的 $A^1,A^2$ ，取复组合

\begin{aligned} W_\mu^\pm&=\frac{A_\mu^1\mp iA_\mu^2}{\sqrt2},\\ A_\mu^1&=\frac{W_\mu^++W_\mu^-}{\sqrt2},\qquad A_\mu^2=\frac{i(W_\mu^+-W_\mu^-)}{\sqrt2},\\ A^1\cdot A^1+A^2\cdot A^2&=2W^+\cdot W^- . \end{aligned} \tag{87.9}

由于旧场实， $W^-=(W^+)^\dagger$ ，它们合起来仍是两个实场的自由度。代入质量二次型，得到

\begin{aligned} \mathcal L_{\mathrm{mass}} &=-M_W^2W_\mu^+W^{-\mu} -\frac12M_Z^2Z_\mu Z^\mu,\\ M_W&=\frac{g_2v}{2},\qquad M_Z=\frac{v}{2}\sqrt{g_1^2+g_2^2} =\frac{M_W}{c_W},\qquad M_A=0 . \end{aligned} \tag{87.10}

复 $W$ 质量项前没有额外的 $1/2$ ，因为两个实场已经合在其中；实 $Z$ 仍保留 $1/2$ 。这些质量项都含两份连接，是式（87.6）在新基底中的同一个二次型。

例如取中译本的近似质量输入 $M_W=80.4$ GeV、 $M_Z=91.2$ GeV，便得 $c_W=67/76\simeq0.882$ 和 $s_W^2\simeq0.223$ 。这个角的定义取决于重整化方案：树级时耦合比和质量比确定同一个角，圈阶时则必须说明采用哪个定义。例如

c_{W,\mathrm{OS}}=\frac{M_W^{\mathrm{phys}}}{M_Z^{\mathrm{phys}}}, \qquad \tan\theta_{W,\overline{\mathrm{MS}}}(\mu) =\frac{g_{1,\overline{\mathrm{MS}}}(\mu)} {g_{2,\overline{\mathrm{MS}}}(\mu)} . \tag{87.11}

中译本另取 $s_W^2=0.231$ 作为 $\overline{\mathrm{MS}}$ 角在 $\mu=M_Z$ 的示例输入。它与质量比角的数值差来自圈修正。若 $g_1,g_2$ 另由指定的重整化条件定义，它们与在壳角的树关系会有圈修正；也可以反过来以电荷和在壳角定义相应耦合，此时被选作定义的关系按定义成立。下面的拉格朗日量先使用共同的树级关系。

电弱参数和费米常数

中译本习题87.2取 $\alpha(M_Z)=1/127.9$ 、 $s_W^2=0.231$ 。同时取 $M_W=80.4$ GeV，先用电磁耦合确定 $e$ ，再由混合角分开两个规范耦合，最后用矢量质量确定真空值。

依次代入

\begin{aligned} e&=\sqrt{4\pi\alpha} =\sqrt{\frac{4\pi}{127.9}},\\ g_2&=\frac{e}{s_W} =\frac{e}{\sqrt{0.231}},\qquad g_1=\frac{e}{c_W} =\frac{e}{\sqrt{1-0.231}},\\ v&=\frac{2M_W}{g_2}. \end{aligned} \tag{87.35}

计算得到 $e=0.313451$ 、 $g_1=0.357443$ 、 $g_2=0.652174$ 和 $v=246.560$ GeV。前三个量无量纲，最后一个与 $M_W$ 同量纲。由这组参数算出的树级质量为 $M_W/c_W=91.684$ GeV。中译本另给的 $M_Z=91.2$ GeV来自质量输入；这里按题意把运行角用于树级估计。

在树级定义费米常数。将 $e/s_W=g_2$ 代入，再使用 $M_W=g_2v/2$ ，得到

\begin{aligned} G_F&:=\frac{e^2}{4\sqrt2\,s_W^2M_W^2} =\frac{g_2^2}{4\sqrt2\,M_W^2}\\ &=\frac{g_2^2}{4\sqrt2\,(g_2^2v^2/4)} =\frac1{\sqrt2\,v^2} =1.16316\times10^{-5}\ {\rm GeV}^{-2}. \end{aligned} \tag{87.36}

所以 $G_F$ 的质量量纲为 $-2$ ，由对称性破缺尺度的平方倒数决定。第88节将积分掉低能过程中的重 $W$ 内线，得到以 $G_F$ 为系数的四费米作用。

未破缺生成元和电荷归一

无质量中性场意味着真空保留一个连续规范方向。它的生成元由保持真空的条件求出。设 $Q=q_aT^a+q_YY$ ，厄米性要求 $q_a,q_Y$ 为实数。保持真空不动的条件给

Qu=\frac12 \begin{pmatrix}q_3-q_Y\\q_1+iq_2\end{pmatrix}=0 \quad\Longrightarrow\quad q_1=q_2=0,\qquad q_3=q_Y . \tag{87.12}

因此只剩 $T^3+Y$ 这一个方向。以质子电荷作为单位固定整体比例，就取 $Q=T^3+Y$ 。在本Higgs双重态上， $Q=\operatorname{diag}(0,-1)$ ；所选上分量真空的电荷确实为零。

这个生成元也直接出现在无质量场的连接中。对于任意给定的电弱表示，将式（87.8）代入原连接，有

\begin{aligned} g_2A_\mu^3T^3+g_1B_\mu Y ={}&A_\mu(g_2s_WT^3+g_1c_WY)\\ &+Z_\mu(g_2c_WT^3-g_1s_WY)\\ ={}&eA_\mu Q+\frac{g_2}{c_W} Z_\mu(T^3-s_W^2Q),\\ e&=g_2s_W=g_1c_W>0 . \end{aligned} \tag{87.13}

第二个等号中的 $Z$ 系数可这样整理：将 $Y=Q-T^3$ 代入， $T^3$ 的系数为 $g_2c_W+g_1s_W=g_2/c_W$ ， $Q$ 的系数为 $-g_1s_W=-(g_2/c_W)s_W^2$ 。因而同一个光子 $A_\mu$ 确实以共同耦合 $e$ 乘各场的电荷 $Q$ 。

从这里开始使用正的 $e$ 。前面QED各章将电子本身的电荷记成负的 $e_{\mathrm{QED}}$ ；两者满足 $e=-e_{\mathrm{QED}}$ ，电子在现在的记法中取 $Q=-1$ 。这使 $W^+$ 、 $W^-$ 的电荷可以由 $Q$ 的符号直接标明，下面从规范场强还会得到相同的耦合。

幺正规范中剩下的Higgs场

质量矩阵有三个正本征值，因而四个实标量中的三个轨道方向与 $W^\pm,Z$ 的第三个偏振相配，留下一个径向标量。对真空附近 $v+H>0$ 的局部片，使用幺正规范写

\varphi(x)=\frac1{\sqrt2} \begin{pmatrix}v+H(x)\\0\end{pmatrix},\qquad H=H^\dagger . \tag{87.14}

四个实标量加四个无质量规范场原有 $4+4\times2=12$ 个物理自由度；现在三个有质量矢量给9个、光子给2个、 $H$ 给1个，总数仍是12。幺正规范让这组物理粒子在树级作用量中直接出现。

径向场进入势的方式与第85节相同，但现在它属于电弱双重态。先算 $\varphi^\dagger\varphi-v^2/2=vH+H^2/2$ ，再平方，得到

\begin{aligned} V(H)&=\frac{\lambda v^2}{4}H^2 +\frac{\lambda v}{4}H^3+\frac{\lambda}{16}H^4,\\ m_H^2&=\frac{\lambda v^2}{2},\qquad \lambda=\frac{2m_H^2}{v^2}. \end{aligned} \tag{87.15}

实标量质量项按 $-\tfrac12m_H^2H^2$ 读取，势中 $\lambda/4$ 的归一由此进入质量公式。质量公式来自势在径向上的曲率；数值大小仍由模型参数 $\lambda,v$ 决定。

令 $r=v+H$ 。协变导数为 $(u\,\partial_\mu H-irC_\mu u)/\sqrt2$ 。在动能的共轭乘积中，两项交叉贡献分别正比于 $+ir\,u^\dagger C_\mu u\,\partial^\mu H$ 和它的负值，因为 $C_\mu$ 厄米而相消。因此

\begin{aligned} -(D_\mu\varphi)^\dagger D^\mu\varphi &=-\frac12(\partial H)^2-\frac{(v+H)^2}{2} u^\dagger C^\mu C_\mu u\\ &=-\frac12(\partial H)^2 -\left(M_W^2W^+\cdot W^-+\frac12M_Z^2Z^2\right) \left(1+\frac Hv\right)^2 . \end{aligned} \tag{87.16}

于是 $H$ 已经标准归一，质量项中的 $v^2$ 也确实整体变成 $(v+H)^2$ 。同一个式子固定了 $HWW,HZZ$ 及两个Higgs插入的耦合；规范粒子的质量越大，它与径向场的耦合也越强。

实标量、戈德斯通方向和质量基

将第86节的一般构造应用于这个双重态。固定实分量的次序为

\varphi=\frac1{\sqrt2} \begin{pmatrix}\phi_1+i\phi_3\\\phi_2+i\phi_4\end{pmatrix}, \qquad \phi=(\phi_1,\phi_2,\phi_3,\phi_4)^T,\qquad \phi_0=(v,0,0,0)^T. \tag{87.37}

前两个分量是全部实部，后两个是全部虚部，这与实表示的构造的排列相同。

若复厄米生成元分解为 $T_R=A+iB$ ，则由 $\delta\varphi=-i\alpha T_R\varphi$ 分别取实、虚部，有 $\delta x=\alpha(Bx+Ay)$ 、 $\delta y=\alpha(-Ax+By)$ 。因此作用在 $\phi$ 上的厄米生成元为 $\mathsf T=i\left(\begin{smallmatrix}B&A\\-A&B\end{smallmatrix}\right)$ 。在 $T^1,T^3,Y$ 中， $B=0$ ，只需将实矩阵放入两个非对角块； $T^2$ 则只有虚部 $B=\left(\begin{smallmatrix}0&-1\\1&0\end{smallmatrix}\right)/2$ ，放入两个对角块。四个结果是

\begin{aligned} \mathsf T^1&=\frac i2 \begin{pmatrix} 0&0&0&1\\ 0&0&1&0\\ 0&-1&0&0\\ -1&0&0&0 \end{pmatrix},& \mathsf T^2&=\frac i2 \begin{pmatrix} 0&-1&0&0\\ 1&0&0&0\\ 0&0&0&-1\\ 0&0&1&0 \end{pmatrix},\\ \mathsf T^3&=\frac i2 \begin{pmatrix} 0&0&1&0\\ 0&0&0&-1\\ -1&0&0&0\\ 0&1&0&0 \end{pmatrix},& \mathsf Y&=\frac i2 \begin{pmatrix} 0&0&-1&0\\ 0&0&0&-1\\ 1&0&0&0\\ 0&1&0&0 \end{pmatrix}. \end{aligned} \tag{87.38}

每个矩阵都纯虚且反对称，故仍为厄米矩阵；相应的有限变换 $e^{-i\alpha\mathsf T}$ 却是实正交的。第86节已经证明这个实化映射保持乘法与对易关系，因此它们满足 $[\mathsf T^a,\mathsf T^b]=i\epsilon^{abc}\mathsf T^c$ 及 $[\mathsf T^a,\mathsf Y]=0$ 。

用第86节的定义 $\tau^a=ig_a\mathsf T^a$ 、 $F_{ai}=(\tau^a\phi_0)_i$ ，前三行的耦合是 $g_2$ ，超荷一行的耦合是 $g_1$ 。因为背景只有第一分量非零，只须取上面四个矩阵的第一列，再乘 $ig_av$ 。例如 $\mathsf T^2$ 的第一列是 $(0,i/2,0,0)^T$ ，给 $F_{2i}=(0,-g_2v/2,0,0)$ ；超荷的第一列是 $(0,0,i/2,0)^T$ ，给 $F_{Yi}=(0,0,-g_1v/2,0)$ 。全部四行组成

F=\frac v2 \begin{pmatrix} 0&0&0&g_2\\ 0&-g_2&0&0\\ 0&0&g_2&0\\ 0&0&-g_1&0 \end{pmatrix}. \tag{87.39}

三个非零列互相独立，故 $F$ 的秩为3。它的第一列为零，正对应未被规范轨道占据的径向Higgs方向。

按行作内积， $FF^T$ 就得到式（87.7）。它的中性二阶块行列式为零，迹为 $(g_1^2+g_2^2)v^2/4$ ；完整本征值为 $M_W^2,M_W^2,M_Z^2,0$ 。

这个 $F$ 还直接给出标量方向。按下面的顺序取新场：

\begin{aligned} \widetilde A_\mu&=(A_\mu^1,A_\mu^2,Z_\mu,A_\mu)^T=S^TA_{\mathrm{old},\mu},\\ \chi&=(\phi_1-v,\phi_2,\phi_3,\phi_4)^T,\\ \widetilde\chi&=(\phi_4,-\phi_2,\phi_3,\phi_1-v)^T=R\chi,\\ S^TFR^T&=\operatorname{diag}(M_W,M_W,M_Z,0),\\ RH_\xi R^T&=\operatorname{diag}(\xi M_W^2,\xi M_W^2, \xi M_Z^2,m_H^2). \end{aligned} \tag{87.40}

前三个标量沿真空的规范轨道，最后一个是径向方向。第二个标量分量的负号使第二个奇异值为正；中性规范旋转则把第三、第四行合成 $M_Z$ 和零。于是 $R_\xi$ 规范中的三个戈德斯通质量、三个有质量鬼场的质量及非物理矢量极点，都由已经求出的 $M_W,M_Z$ 决定。幺正规范将前三个标量置零，回到式（87.14）的一个径向场。

把规范曲率写成带电和中性场

标量部分已经齐备，现在处理规范动能

\mathcal L_{\mathrm{gauge}} =-\frac14F_{\mu\nu}^aF^{a\mu\nu} -\frac14B_{\mu\nu}B^{\mu\nu}. \tag{87.17}

弱群的结构常数是 $\epsilon^{abc}$ 。对固定的 $a$ ，其余两个不同指标各有一个排列，符号相反，所以三个分量分别为

\begin{aligned} F_{\mu\nu}^1 &=\partial_\mu A_\nu^1-\partial_\nu A_\mu^1 +g_2(A_\mu^2A_\nu^3-A_\nu^2A_\mu^3),\\ F_{\mu\nu}^2 &=\partial_\mu A_\nu^2-\partial_\nu A_\mu^2 +g_2(A_\mu^3A_\nu^1-A_\nu^3A_\mu^1),\\ F_{\mu\nu}^3 &=\partial_\mu A_\nu^3-\partial_\nu A_\mu^3 +g_2(A_\mu^1A_\nu^2-A_\nu^1A_\mu^2),\\ B_{\mu\nu}&=\partial_\mu B_\nu-\partial_\nu B_\mu . \end{aligned} \tag{87.18}

超荷群阿贝尔，最后一行没有二次连接项。

先组成 $F^1-iF^2$ 。它的导数部分为 $\sqrt2(\partial_\mu W_\nu^+-\partial_\nu W_\mu^+)$ ，二次部分则可按 $A^3$ 的位置合并成

\begin{aligned} &g_2\left[ A_\mu^2A_\nu^3-A_\nu^2A_\mu^3 -iA_\mu^3A_\nu^1+iA_\nu^3A_\mu^1\right]\\ &\qquad=-ig_2\left[ A_\mu^3(A_\nu^1-iA_\nu^2) -A_\nu^3(A_\mu^1-iA_\mu^2)\right]\\ &\qquad=-i\sqrt2g_2 (A_\mu^3W_\nu^+-A_\nu^3W_\mu^+). \end{aligned} \tag{87.19}

第二行中的 $(-i)(-i)=-1$ 给 $-A_\mu^3A_\nu^2$ ，正好与第一行的相应项相同。于是定义

\begin{aligned} C_\mu^{\mathrm n} &=g_2A_\mu^3=e(A_\mu+\cot\theta_WZ_\mu),\\ D_\mu&=\partial_\mu-iC_\mu^{\mathrm n},\qquad D_\mu^*=\partial_\mu+iC_\mu^{\mathrm n},\\ W_{\mu\nu}^+ &:=\frac{F_{\mu\nu}^1-iF_{\mu\nu}^2}{\sqrt2} =D_\mu W_\nu^+-D_\nu W_\mu^+,\\ W_{\mu\nu}^- &:=\frac{F_{\mu\nu}^1+iF_{\mu\nu}^2}{\sqrt2} =D_\mu^*W_\nu^--D_\nu^*W_\mu^- . \end{aligned} \tag{87.20}

最后一行也可以由前一行取复共轭得到。这里的星号表示取电荷共轭，导数仍为 $+\partial_\mu$ 。

式（87.20）还直接表明： $W^+$ 的光子连接是 $\partial_\mu-ieA_\mu$ ，正对应 $Q=+1$ 。也可直接看规范代数，令 $T^\pm=T^1\pm iT^2$ ，则

\begin{aligned} A_\mu^1T^1+A_\mu^2T^2 &=\frac1{\sqrt2}(W_\mu^+T^++W_\mu^-T^-),\\ \relax[Q,T^\pm]&=[T^3,T^\pm]=\pm T^\pm . \end{aligned} \tag{87.21}

这与前面由双重态稳定子得到的电荷归一一致。

第一、第二曲率分量的平方现在可以相加。复组合的归一给 $(F^1)^2+(F^2)^2=2W^-_{\mu\nu}W^{+\mu\nu}$ ；再将两个反对称差各自展开，四个乘积两两相同，于是

\begin{aligned} -\frac14\big[(F^1)^2+(F^2)^2\big] &=-\frac12W^-_{\mu\nu}W^{+\mu\nu}\\ &=-(D^{*\mu}W^{-\nu})(D_\mu W_\nu^+) +(D^{*\mu}W^{-\nu})(D_\nu W_\mu^+). \end{aligned} \tag{87.22}

例如第一、第四个乘积交换 $\mu,\nu$ 后相等，第二、第三个乘积也如此；前面的 $1/2$ 被每组的两个相同项消去。这就是最终拉格朗日量中两个带电矢量动能结构的来由。

中性曲率还含一个带电双线性。利用式（87.9）的逆变换，

\begin{aligned} A_\mu^1A_\nu^2-A_\nu^1A_\mu^2 &=\frac i2\left[ (W_\mu^++W_\mu^-)(W_\nu^+-W_\nu^-) -(\mu\leftrightarrow\nu)\right]\\ &=-i(W_\mu^+W_\nu^--W_\nu^+W_\mu^-) =:-iX_{\mu\nu}. \end{aligned} \tag{87.23}

同号的两个 $W$ 乘积在反对称差中消去，异号的两个乘积各出现两次。因此负的 $i$ 由复基的定义固定。再记

\begin{aligned} F_{\mu\nu}&=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu,\qquad Z_{\mu\nu}=\partial_\mu Z_\nu-\partial_\nu Z_\mu,\\ N_{\mu\nu}&=s_WF_{\mu\nu}+c_WZ_{\mu\nu},\\ F_{\mu\nu}^3&=N_{\mu\nu}-ig_2X_{\mu\nu},\qquad B_{\mu\nu}=c_WF_{\mu\nu}-s_WZ_{\mu\nu}. \end{aligned} \tag{87.24}

$Z_{\mu\nu}$ 表示 $Z$ 场的旋度； $Z$ 与 $W$ 的相互作用由 $X$ 和带电连接给出。

现在把两份中性曲率平方相加，以下 $F^2,B^2,(F^3)^2$ 均表示两个曲率指标的完整收缩：

\begin{aligned} -\frac14\big[(F^3)^2+B^2\big] &=-\frac14F^2-\frac14Z_{\mu\nu}Z^{\mu\nu}\\ &\quad+\frac{ig_2}{2}N^{\mu\nu}X_{\mu\nu} +\frac{g_2^2}{4}X^{\mu\nu}X_{\mu\nu},\\ N^{\mu\nu}X_{\mu\nu} &=2N^{\mu\nu}W_\mu^+W_\nu^-,\\ X^{\mu\nu}X_{\mu\nu} &=2\left[ (W^+\cdot W^+)(W^-\cdot W^-) -(W^+\cdot W^-)^2\right]. \end{aligned} \tag{87.25}

平方相加时， $FZ$ 的交叉项因正交旋转相消，而 $(-ig_2X)^2=-g_2^2X^2$ 与外面的 $-1/4$ 相乘给正号。随后的 $NX$ 收缩用了 $N^{\mu\nu}$ 的反对称性。最后把 $X$ 的两个乘积各自相乘：两个同向配对给 $(W^+)^2(W^-)^2$ ，两个交叉配对给 $(W^+\cdot W^-)^2$ ，后者带负号。所有四次项的相对号和因子2由此确定。

完整电弱拉格朗日量和残余规范变换

将带电动能、中性曲率平方以及Higgs部分合在一起，再用 $g_2=e/s_W$ 、 $\lambda=2m_H^2/v^2$ ，便得到完整电弱密度：

\begin{aligned} \mathcal L_{\mathrm{EW},H}={}& -\frac14F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} -\frac14Z_{\mu\nu}Z^{\mu\nu}\\ &-(D^{*\mu}W^{-\nu})(D_\mu W_\nu^+) +(D^{*\mu}W^{-\nu})(D_\nu W_\mu^+)\\ &+ie(F^{\mu\nu}+\cot\theta_WZ^{\mu\nu})W_\mu^+W_\nu^-\\ &-\frac{e^2}{2s_W^2} \left[(W^+\cdot W^-)^2 -(W^+\cdot W^+)(W^-\cdot W^-)\right]\\ &-\left(M_W^2W^+\cdot W^-+\frac12M_Z^2Z^2\right) \left(1+\frac Hv\right)^2\\ &-\frac12(\partial H)^2-\frac12m_H^2H^2 -\frac{m_H^2}{2v}H^3-\frac{m_H^2}{8v^2}H^4, \end{aligned} \tag{87.26}

其中 $D_\mu=\partial_\mu-ie(A_\mu+\cot\theta_WZ_\mu)$ 已经在式（87.20）中求出。第三行来自 $N^{\mu\nu}X_{\mu\nu}$ ，给带电矢量在最小耦合之外的场强耦合；第四行则保留了弱群曲率的四 $W$ 相互作用。

这个作用量的电磁规范不变性现在可以逐项看出。取任意局部参数 $\Gamma(x)$ ，

\begin{aligned} A_\mu'&=A_\mu-\partial_\mu\Gamma,\qquad W_\mu^{\pm\prime}=e^{\mp ie\Gamma}W_\mu^\pm,\\ Z_\mu'&=Z_\mu,\qquad H'=H,\\ D_\mu'W_\nu^{+\prime} &=\bigl[\partial_\mu-iC_\mu^{\mathrm n} +ie\partial_\mu\Gamma\bigr] e^{-ie\Gamma}W_\nu^+\\ &=e^{-ie\Gamma}D_\mu W_\nu^+ . \end{aligned} \tag{87.27}

导数作用于相位所生的 $-ie\partial_\mu\Gamma$ 与连接变化相消。于是两个带电动能因子共轭相乘时相位消去， $F_{\mu\nu}$ 和 $Z_{\mu\nu}$ 本身不变，所有 $W^+W^-$ 组合也不变。幺正规范固定的是破缺的三个方向，保留了这个电磁方向；完整 $SU(2)\times U(1)$ 结构则通过各耦合之间的关系体现在式（87.26）中。

为作当前的树级计算，可以直接使用这些物理场。若将计算推进到圈阶，就回到前两章所建立的 $R_\xi$ 量子化和相应测度处理。

从作用量读出费曼规则

沿用第86节的办法，对每条外腿所对应的场取一次导数，再乘作用量中的 $i$ 。所有动量都指向顶点，傅里叶因子取 $e^{ipx}$ ，因而 $\partial_\mu$ 给 $ip_\mu$ 。以下顶角的Lorentz下指标与相应的上指标矢量场相接。

自由 $W$ 场是两个实Proca场的复组合；将第85节的质量换成 $M_W$ 便得到它的传播子。 $Z$ 取 $M_Z$ ， $H$ 取标量传播子。光子的剩余规范自由度另用费曼规范固定，即加入 $-(\partial\cdot A)^2/2$ 。以下括号表示协变时间编序 $T^*$ 的自由二点傅里叶核，也是实际内部线因子：

\begin{aligned} \langle W_\mu^+W_\nu^-\rangle_0(k) &=-i\,\frac{g_{\mu\nu}+k_\mu k_\nu/M_W^2} {k^2+M_W^2-i0},\\ \langle Z_\mu Z_\nu\rangle_0(k) &=-i\,\frac{g_{\mu\nu}+k_\mu k_\nu/M_Z^2} {k^2+M_Z^2-i0},\\ \langle A_\mu A_\nu\rangle_0(k) &=-i\,\frac{g_{\mu\nu}}{k^2-i0},\qquad \langle HH\rangle_0(k)=-i\,\frac1{k^2+m_H^2-i0}. \end{aligned} \tag{87.28}

$W^+W^+$ 与 $W^-W^-$ 的自由收缩为零，这也可将两个等质量实场的收缩直接代入复组合验证。每条外部矢量腿乘相应偏振矢量，入射为 $\varepsilon_\mu$ ，出射为 $\varepsilon_\mu^*$ ；实标量外腿在当前树级归一下给1。有质量矢量有三个物理偏振，光子有两个。传播子分子中含有 $k_\mu k_\nu/M^2$ 的理由已在Proca核的求逆中给出。

先看不含导数的Higgs相互作用。 $HWW$ 项为 $-2M_W^2HW^+\cdot W^-/v$ ，两条 $W$ 腿可区分； $HZZ$ 项为 $-M_Z^2HZ^2/v$ ，但两次 $Z$ 场微分带来 $2!$ 。两者因此有相同的质量依赖：

\begin{aligned} iV_{H W^+_\alpha W^-_\beta} &=-\frac{2iM_W^2}{v}g_{\alpha\beta},& iV_{H Z_\alpha Z_\beta} &=-\frac{2iM_Z^2}{v}g_{\alpha\beta},\\ iV_{HH W^+_\alpha W^-_\beta} &=-\frac{2iM_W^2}{v^2}g_{\alpha\beta},& iV_{HH Z_\alpha Z_\beta} &=-\frac{2iM_Z^2}{v^2}g_{\alpha\beta},\\ iV_{HHH}&=-\frac{3im_H^2}{v},& iV_{HHHH}&=-\frac{3im_H^2}{v^2}. \end{aligned} \tag{87.29}

第二行的两个 $H$ 再给 $2!$ ；在 $HHZZ$ 中，它与两个 $Z$ 的 $2!$ 共同乘原密度的 $-M_Z^2/(2v^2)$ 。最后一行则分别由 $3!$ 、 $4!$ 乘 $-m_H^2/(2v)$ 、 $-m_H^2/(8v^2)$ 而来。三点耦合质量维数为1，四点为0，与四维场的量纲一致。

规范三点顶角需要保留导数作用在哪一条腿上。为同时处理光子和 $Z$ ，记 $V=A$ 或 $Z$ ，相应耦合为 $q_A=e$ 、 $q_Z=e\cot\theta_W$ 。在式（87.26）的两个带电动能中各取一次连接，再加上中性曲率项，得到

\begin{aligned} \mathcal L_{3,V}=iq_V\big[& V_\mu(\partial^\mu W^{-\nu})W_\nu^+ -V^\mu W^{-\nu}\partial_\mu W_\nu^+\\ &-V_\nu(\partial^\mu W^{-\nu})W_\mu^+ +V^\mu W^{-\nu}\partial_\nu W_\mu^+\\ &+(\partial^\mu V^\nu-\partial^\nu V^\mu) W_\mu^+W_\nu^-\big]. \end{aligned} \tag{87.30}

取三条腿依次为 $(W^{+\alpha},p)$ 、 $(W^{-\beta},q)$ 、 $(V^\rho,k)$ 。第一行的两个导数给 $i q^\mu$ 和 $i p_\mu$ ，与前面的 $i$ 相乘后，密度系数是 $q_V(p-q)_\rho g_{\alpha\beta}$ 。第二行依次给 $q_Vq_\alpha g_{\beta\rho}$ 和 $-q_Vp_\beta g_{\alpha\rho}$ 。最后一行的导数作用于中性腿，给 $q_V(-k_\alpha g_{\beta\rho}+k_\beta g_{\alpha\rho})$ 。将三组相加，再乘作用量的 $i$ ，便得

\begin{aligned} iV_{\alpha\beta\rho}^{W^+W^-V}(p,q,k) =iq_V\big[& (p-q)_\rho g_{\alpha\beta} +(q-k)_\alpha g_{\beta\rho}\\ &+(k-p)_\beta g_{\rho\alpha}\big], \qquad p+q+k=0 . \end{aligned} \tag{87.31}

中性曲率项补上的正是含 $k$ 的两个结构。因此完整三点顶角的动量组合由非阿贝尔规范动能共同确定，同时包含带电动能和中性曲率平方的贡献。

两条中性腿的四点作用来自两个协变导数各取一次连接。前一个带电动能给 $-(C^{\mathrm n})^2W^+\cdot W^-$ ，后一个给 $(C^{\mathrm n}\cdot W^+)(C^{\mathrm n}\cdot W^-)$ ，合起来是

\mathcal L_{C^2} =-(C^{\mathrm n}\cdot C^{\mathrm n})(W^+\cdot W^-) +(C^{\mathrm n}\cdot W^+)(C^{\mathrm n}\cdot W^-). \tag{87.32}

令四条腿依次为 $W^{+\alpha},W^{-\beta},V^\rho,V'^\sigma$ 。第一项中两条中性腿分配给两个 $C^{\mathrm n}$ ，两种分配都给 $-q_Vq_{V'}g_{\alpha\beta}g_{\rho\sigma}$ ；第二项的两种分配分别给 $q_Vq_{V'}g_{\alpha\rho}g_{\beta\sigma}$ 和 $q_Vq_{V'}g_{\alpha\sigma}g_{\beta\rho}$ 。所以

iV_{\alpha\beta\rho\sigma}^{W^+W^-VV'} =-iq_Vq_{V'}\left[ 2g_{\alpha\beta}g_{\rho\sigma} -g_{\alpha\rho}g_{\beta\sigma} -g_{\alpha\sigma}g_{\beta\rho}\right]. \tag{87.33}

它包括 $AA,AZ,ZZ$ 三种情况。若两种中性腿相同，两种分配就是两次相同场微分；若不同，它们来自连接平方的交叉项。因此通式中已经包含两种情形所需的组合因子。

最后处理四 $W$ 项。给两条正电荷腿指标 $\alpha,\rho$ ，两条负电荷腿指标 $\beta,\sigma$ 。 $(W^+\cdot W^-)^2$ 有两种跨电荷配对，每种在两个相同括号中的分配数为2； $(W^+\cdot W^+)(W^-\cdot W^-)$ 则有 $2!\,2!=4$ 种分配。乘上原密度中的 $-g_2^2/2$ 及相对负号，得到

iV_{\alpha\beta\rho\sigma}^{W^+W^-W^+W^-} =ig_2^2\left[ 2g_{\alpha\rho}g_{\beta\sigma} -g_{\alpha\beta}g_{\rho\sigma} -g_{\alpha\sigma}g_{\rho\beta}\right]. \tag{87.34}

交换两条 $W^+$ 或两条 $W^-$ 时，这个张量保持不变，正如相同玻色子所要求的那样。三、四矢量顶角的量纲分别为1和0，也与前面的Higgs顶角相合。

Higgs 衰变成两个有质量矢量

取 $m_H>2M_Z$ ，使 $W^+W^-$ 和 $ZZ$ 两条通道都能产生实在壳粒子。对任一通道暂记矢量质量为 $M_V$ ，初态Higgs动量为 $p=k_1+k_2$ ，有

\begin{aligned} p^2&=-m_H^2,\qquad k_1^2=k_2^2=-M_V^2,\\ k_1\cdot k_2 &=\frac12(p^2-k_1^2-k_2^2) =M_V^2-\frac{m_H^2}{2}. \end{aligned} \tag{87.41}

由 $HVV$ 顶角，对指定的两个出射偏振，

\mathcal T_{r_1r_2} =-\frac{2M_V^2}{v}\, \varepsilon_{r_1}^{*\mu}(k_1) \varepsilon_{r_2\mu}^*(k_2). \tag{87.42}

两个顶角在 $W$ 、 $Z$ 情形有相同形式，是因为 $HZZ$ 的相同场因子已经在读取顶角时算过。现在求未分辨偏振的衰变率，需要对三个物理偏振求和。用有质量矢量的完备关系 $\sum_r\varepsilon_r^\mu(k)\varepsilon_r^{*\nu}(k)=g^{\mu\nu}+k^\mu k^\nu/M_V^2$ ，得到

\begin{aligned} \sum_{r_1,r_2}|\mathcal T_{r_1r_2}|^2 &=\frac{4M_V^4}{v^2} \left(g^{\mu\nu}+\frac{k_1^\mu k_1^\nu}{M_V^2}\right) \left(g_{\mu\nu}+\frac{k_{2\mu}k_{2\nu}}{M_V^2}\right)\\ &=\frac{4M_V^4}{v^2} \left[4+\frac{k_1^2}{M_V^2}+\frac{k_2^2}{M_V^2} +\frac{(k_1\cdot k_2)^2}{M_V^4}\right]\\ &=\frac{4M_V^4}{v^2} \left[2+\left(1-\frac{m_H^2}{2M_V^2}\right)^2\right]\\ &=\frac{m_H^4}{v^2}(1-4x_V+12x_V^2), \qquad x_V:=\frac{M_V^2}{m_H^2}. \end{aligned} \tag{87.43}

中间两个收缩各给 $-1$ ，这是当前度规下 $k_i^2=-M_V^2$ 的直接结果。最后一行展开平方，并把 $4M_V^4$ 乘入；常数 $12M_V^4$ 由前一行中的 $2+1$ 共同产生。

偏振求和后的振幅只依赖质量，在初态静止系中各向同性。将第11节两体相空间的已积结果用于 $\sqrt s=m_H$ 、两个相同质量 $M_V$ ，出射动量大小为 $|\mathbf k|=\sqrt{m_H^2-4M_V^2}/2$ 。于是

\begin{aligned} \int d{\rm LIPS}_2 &=\frac{|\mathbf k|}{4\pi m_H} =\frac1{8\pi}\sqrt{1-4x_V},\\ \Gamma_V &=\frac{1}{2m_HS_V} \left(\sum_{r_1,r_2}|\mathcal T_{r_1r_2}|^2\right) \int d{\rm LIPS}_2 . \end{aligned} \tag{87.44}

第一行中的 $4\pi$ 来自全角积分，径向能量 δ 函数的雅可比因子已在两体能量 δ 函数的积分中求出；这里的新代入是 $E_1=E_2=m_H/2$ 。第二行前的 $1/(2m_H)$ 来自单个初态的归一。 $W^+$ 、 $W^-$ 有不同电荷，所以 $S_W=1$ ；两个 $Z$ 相同，有序的 $(k_1,r_1),(k_2,r_2)$ 把同一末态数了两次，所以 $S_Z=2!$ 。这与顶角中对 $Z$ 场求导产生的 $2!$ 各有自己的来源。

代入后两条宽度为

\begin{aligned} \Gamma(H\to W^+W^-) &=\frac{m_H^3}{16\pi v^2} \sqrt{1-4x_W}\,(1-4x_W+12x_W^2),\\ \Gamma(H\to ZZ) &=\frac{m_H^3}{32\pi v^2} \sqrt{1-4x_Z}\,(1-4x_Z+12x_Z^2). \end{aligned} \tag{87.45}

宽度的量纲是1。接近各通道阈值时，偏振多项式保持有限，宽度由相空间的平方根趋于零；在 $m_H^2\gg M_V^2$ 时，多项式和平方根都趋于1，因此两通道宽度之比趋于2。这一极限下两个纵向偏振贡献最大：在Higgs静止系取它们沿相反动量方向，内积为 $1-m_H^2/(2M_V^2)$ ，其平方正是式（87.43）第三行中的大项。两个偏振矢量各带一个能量与质量之比，因而抵消了顶角的 $M_V^2$ 抑制，最后使宽度按 $m_H^3/v^2$ 增长。

按中译本习题87.5，设想 $m_H=200$ GeV，并用上面的 $v=246.560$ GeV及中译本分别给出的 $M_W=80.4$ GeV、 $M_Z=91.2$ GeV，计算为

通道	$x_V$	$\sqrt{1-4x_V}$	$1-4x_V+12x_V^2$	$\Gamma$ ／GeV
$W^+W^-$	0.161604	0.594629	0.666974	1.03832
$ZZ$	0.207936	0.410190	0.687105	0.368938

按输入的精度，可写 $\Gamma_{WW}\simeq1.04$ GeV、 $\Gamma_{ZZ}\simeq0.369$ GeV。这是中译本设定质量为200 GeV的树级算例。这里将 $W,Z$ 按零宽度近似放在壳上；阈值以下的通道则由离壳矢量衰变成费米子的多体末态描述。

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