Srednicki §86 自发破缺的非阿贝尔规范理论

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上一节的 $R_\xi$ 规范把矢量场与角向标量的二次混合消去了，而保留下来的标量和鬼场使圈图计算具有方便的形式。一般规范理论中的问题相同，只是许多场可以互相混合：势决定一组标量质量，真空值又决定一组矢量质量，而我们还要使规范固定和鬼场与这两组质量相配。本节将看到，这些关系都可以由一个实矩形矩阵来组织。

把所有标量放在同一个实表示中

对于一般理论，标量既可以是实场，也可以是复场，还可以属于不同的群表示。先将每一个复场拆成实部和虚部，再把所得实场排成一列 $\phi_i$ ， $i=1,\ldots,N$ 。这样，规范变换就成为这个实向量空间中的旋转，所有标量动能可以用同一种记法写出。

为说明这个构造，取一个复酉表示 $R$ ，将它的厄米生成元分解为

\begin{aligned} T_R^a&=A^a+iB^a,\qquad A^{aT}=A^a,\quad B^{aT}=-B^a,\\ \varphi&=\frac{x+iy}{\sqrt2},\qquad \delta\varphi=-i\alpha^aT_R^a\varphi . \end{aligned} \tag{86.1}

$A^a,B^a,x,y$ 都是实的。将 $-i(A+iB)(x+iy)$ 相乘，实部为 $Bx+Ay$ ，虚部为 $-Ax+By$ ，因此

\begin{aligned} \delta\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} &=\alpha^a \begin{pmatrix}B^a&A^a\\-A^a&B^a\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} =-i\alpha^aT^a\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix},\\ T^a&=i\begin{pmatrix}B^a&A^a\\-A^a&B^a\end{pmatrix}, \qquad T^{aT}=-T^a,\quad T^{a\dagger}=T^a . \end{aligned} \tag{86.2}

由于 $-iT^a$ 实反对称，指数 $\exp(-i\alpha^aT^a)$ 是与单位元连通的实正交矩阵，行列式为1；这就是 $SO(N)$ 旋转。这个表示的像是 $SO(N)$ 的一个子群，物质表示可以是可约的。

还要确认，拆成实部和虚部没有改变生成元的代数。对任意复矩阵 $Z=X+iY$ 定义

\begin{aligned} \mathscr R(Z)&=\begin{pmatrix}X&-Y\\Y&X\end{pmatrix},\\ \mathscr R(Z)\mathscr R(W) &=\begin{pmatrix} XP-YQ&-(XQ+YP)\\ YP+XQ&XP-YQ \end{pmatrix} =\mathscr R(ZW),\qquad W=P+iQ . \end{aligned} \tag{86.3}

这里只用了保持原矩阵次序的块乘法。令 $t_R^a=-iT_R^a$ ，则 $[t_R^a,t_R^b]=f^{abc}t_R^c$ ；而式（86.2）给 $-iT^a=\mathscr R(t_R^a)$ 。因此

\begin{aligned} \relax[-iT^a,-iT^b] &=\mathscr R([t_R^a,t_R^b]) =f^{abc}(-iT^c),\\ [T^a,T^b]&=if^{abc}T^c . \end{aligned} \tag{86.4}

同一个变换作用于协变导数，所以

-(D_\mu\varphi)^\dagger D^\mu\varphi =-\frac12(D_\mu x)^TD^\mu x -\frac12(D_\mu y)^TD^\mu y . \tag{86.5}

复场分解中的 $1/\sqrt2$ 恰好给出标准实场动能的 $1/2$ 。将各个表示的实场依次并在一起，便可采用统一的拉格朗日量

\begin{aligned} \mathcal L&=-\frac12(D_\mu\phi)^TD^\mu\phi -V(\phi)-\frac14F_{\mu\nu}^aF^{a\mu\nu},\\ (D_\mu\phi)_i&=\partial_\mu\phi_i -ig_aA_\mu^a(T^a)_{ij}\phi_j . \end{aligned} \tag{86.6}

紧致群的酉表示和正定标量动能内积保证了上述正交形式。物质生成元取各自表示的归一。指标 $a$ 遍历全部规范生成元，同一简单因子共用一个非零耦合 $g_a$ ；阿贝尔动能也已选成标准对角形式，耦合非零。

势的零模和真空的规范轨道

选定一个使势取到极小值的常数背景 $v_i$ ，在所选真空及规范中记 $\langle0|\phi_i(x)|0\rangle=v_i$ ；本节用它的经典值求树级质量。在这个背景附近进行微扰展开，意味着把真空取向固定下来；上一节的阿贝尔圆周现在变成一般的规范轨道。如果 $T^av=0$ ，相应变换保持这个点不动；如果 $T^av\ne0$ ，它就沿着轨道移动。势在轨道上不变，所以沿这些切向的二阶变化应当为零。

将这一说法写成公式，需要先用势的精确不变性

V(e^{-i\alpha^aT^a}\phi)=V(\phi) \quad\Longrightarrow\quad V_j(\phi)(T^a)_{jk}\phi_k=0,\qquad V_j=\frac{\partial V}{\partial\phi_j}. \tag{86.7}

右式来自左式对 $\alpha^a$ 在零点求导。在线性阶，可以把指数写成 $1-i\alpha^aT^a$ ；精确不变性则应保留完整指数。再对 $\phi_i$ 求导，乘积法则给

V_{ij}(\phi)(T^a)_{jk}\phi_k +V_j(\phi)(T^a)_{ji}=0 . \tag{86.8}

第二项中的 $\phi_k$ 被求导成 $\delta_{ki}$ ，因而留下 $T^a_{ji}$ 。两项都只剩 $i$ 为自由标量指标，这也检查了生成元的指标顺序。

在 $\phi=v$ 处， $V_j(v)=0$ 。定义势的黑塞矩阵

\begin{aligned} H_{ij}&=V_{ij}(v),\qquad H^T=H,\qquad H\ge0,\\ H_{ij}(T^av)_j&=0,\qquad V(v+\chi)=V(v)+\frac12\chi^TH\chi+O(\chi^3). \end{aligned} \tag{86.9}

于是每一个独立的轨道切向量都是标量质量平方矩阵的零本征矢。这给出了势的戈德斯通零模。这里的独立性是切向量的独立性：不同生成元之差若属于未破缺代数，它们可以产生同一个切向量。由规范变换得到的独立零模数目等于轨道的维数，即群的维数减去稳定子群的维数。

接下来平移标量场，并把耦合与轨道切向量写成矩阵：

\begin{aligned} \phi&=v+\chi,\qquad \tau^a=ig_aT^a,\qquad \tau^{aT}=-\tau^a,\\ F_{ai}&=(\tau^av)_i,\qquad F\in\mathbb R^{n_g\times N},\qquad HF^T=0 . \end{aligned} \tag{86.10}

矩形 $F$ 的一行记录一个生成元在真空处产生的切向量，其中已包括该生成元的耦合。因此 $r=\operatorname{rank}F$ 就是破缺方向的数目。它与场强 $F_{\mu\nu}^a$ 是不同的对象，后者带有两个时空指标。

一个简单例子可以说明为什么应当数秩。取两个 $U(1)$ 场共同作用于一个复标量，实化后令

\begin{aligned} \tau^1&=g_1J,\qquad \tau^2=g_2J,\qquad J=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix},\qquad v_i=(v,0),\\ F&=v\begin{pmatrix}0&g_1\\0&g_2\end{pmatrix},\qquad FF^T=v^2\begin{pmatrix}g_1^2&g_1g_2\\g_1g_2&g_2^2\end{pmatrix}. \end{aligned} \tag{86.11}

两个单独的生成元都移动真空，但它们沿同一条切线，所以 $F$ 只有秩1。矩阵 $FF^T$ 作用于 $(g_1,g_2)^T$ 给 $v^2(g_1^2+g_2^2)$ 倍原向量，作用于 $(g_2,-g_1)^T$ 则为零；只有一个规范场组合获得质量。一般非阿贝尔情形中的混合也由同样的矩形矩阵控制。

势的这些零模目前仍是未规范固定的场坐标。加入规范固定后，这些场与有质量矢量的非物理分量相配；矢量的物理螺旋度零态则保留在物理谱中。

展开动能并求矢量质量

用刚才的记号，平移后的协变导数成为

(D_\mu\phi)_i =\partial_\mu\chi_i -A_\mu^a(F_{ai}+(\tau^a)_{ij}\chi_j). \tag{86.12}

真空是常数，所以没有 $\partial_\mu v$ 。把括号中的两项分别看作常数向量 $F_a$ 和线性向量 $\tau^a\chi$ ，动能平方的三个部分为

\begin{aligned} -\frac12(D\phi)^T(D\phi) ={}&-\frac12(\partial\chi)^2 +A_\mu^a(\partial^\mu\chi)^T(F_a+\tau^a\chi)\\ &-\frac12A_\mu^aA^{b\mu} (F_a+\tau^a\chi)^T(F_b+\tau^b\chi). \end{aligned} \tag{86.13}

最后一个括号中的两个线性项，在交换 $a,b$ 后相等，因此它们合起来消去前面的 $1/2$ 。余下两处转置则用 $\tau^{aT}=-\tau^a$ 处理：

\begin{aligned} (\partial_\mu\chi)^T\tau^a\chi &=-\chi^T\tau^a\partial_\mu\chi,\\ (\tau^a\chi)^T(\tau^b\chi) &=-\chi^T\tau^a\tau^b\chi . \end{aligned} \tag{86.14}

所以完整的标量动能展开是

\begin{aligned} \mathcal L_{\mathrm{kin}}={}& -\frac12(\partial\chi)^2 -\frac12(FF^T)_{ab}A_\mu^aA^{b\mu} +F_{ai}A_\mu^a\partial^\mu\chi_i\\ &-A_\mu^a\chi_i(\tau^a)_{ij}\partial^\mu\chi_j\\ &-A_\mu^aA^{b\mu}F_{ai}(\tau^b)_{ij}\chi_j\\ &+\frac12A_\mu^aA^{b\mu} \chi_i(\tau^a\tau^b)_{ij}\chi_j . \end{aligned} \tag{86.15}

导数三次项为负，最后一个四次项为正，这两个符号均由式（86.14）中的反对称矩阵转置确定。中间的 $AA F\tau\chi$ 项为负号。用上一节的单 $U(1)$ 模型检查，取 $\tau=gJ$ 、 $F=(0,gv)$ 、 $\chi=(h,b)^T$ ，这三项依次变为

gA^\mu(h\partial_\mu b-b\partial_\mu h),\qquad -g^2vhA_\mu A^\mu,\qquad -\frac{g^2}{2}(h^2+b^2)A_\mu A^\mu . \tag{86.16}

它们与式（85.26）一致，从而接上了已经推导的阿贝尔理论。

动能中的矢量二次项给出质量平方矩阵

M_V^2=FF^T,\qquad z^TM_V^2z=(F^Tz)^T(F^Tz)\ge0 . \tag{86.17}

它是实对称半正定矩阵，可以用正交变换对角化。若只处理这一矩阵，还不能同时说明标量与哪个矢量相配；为此需要把 $F$ 本身也化成对角形。这就是奇异值分解（singular value decomposition）。

该分解可以直接从质量矩阵构造。设 $r$ 个正本征值为 $M_a^2$ ，选择相应的正交单位本征矢 $u_a$ ，并定义标量空间中的向量

\begin{aligned} FF^Tu_a&=M_a^2u_a,\qquad u_a^Tu_b=\delta_{ab},\qquad M_a>0,\\ w_a&=\frac{F^Tu_a}{M_a},\\ w_a^Tw_b&=\frac{u_a^TFF^Tu_b}{M_aM_b} =\frac{M_b^2}{M_aM_b}\delta_{ab}=\delta_{ab},\\ Fw_a&=\frac{FF^Tu_a}{M_a}=M_au_a . \end{aligned} \tag{86.18}

若 $a\ne b$ ，正交性使第三行等于零；若 $a=b$ ，质量比等于1。即使正本征值简并，也可以先在简并空间选一组正交基。将 $u_a$ 补成规范空间的一组正交基，补入的向量位于 $\ker F^T$ ；将 $w_a$ 补成标量空间的一组正交基，补入的向量位于 $\ker F$ 。于是 $F$ 只把前 $r$ 个 $w_a$ 映为 $M_au_a$ ，而湮灭其余的 $w$ 。

以 $u_a$ 为列构成 $S$ ，以 $w_i^T$ 为行构成 $R$ ，便有

\begin{aligned} F&=S\Sigma R,\qquad S^TS=I_{n_g},\quad RR^T=I_N,\\ \Sigma_{ai}&=M_a\delta_{ai}\quad(a\le r),\qquad \Sigma_{ai}=0\quad(a>r),\\ \widetilde A&=S^TA,\qquad \widetilde\chi=R\chi,\\ S^TFF^TS&=\Sigma\Sigma^T,\qquad RF^TFR^T=\Sigma^T\Sigma . \end{aligned} \tag{86.19}

$\Sigma$ 始终是 $n_g\times N$ 矩形矩阵。后面将 $M_a=0$ 用于 $a>r$ 的未破缺规范方向，因而每个 $\widetilde A^a$ 都有确定质量。两个正交变换保持自由动能的归一；它们的方向已经由此固定，相互作用也按这个方向变换。

规范固定如何分开两类标量

式（86.15）中的 $F_{ai}A_\mu^a\partial^\mu\chi_i$ 仍把矢量和标量混在同一个二次核内。按照上一节的办法，对每一个规范方向选取

G^a=\partial^\mu A_\mu^a-\xi F_{ai}\chi_i,\qquad \mathcal L_{\mathrm{gf}}=-\frac1{2\xi}G^aG^a, \qquad 0<\xi<\infty . \tag{86.20}

将平方展开，得到

\mathcal L_{\mathrm{gf}} =-\frac1{2\xi}(\partial\cdot A^a)^2 +F_{ai}\chi_i\partial^\mu A_\mu^a -\frac{\xi}{2}\chi^TF^TF\chi . \tag{86.21}

其中间一项与动能混合之和为 $\partial^\mu(F_{ai}A_\mu^a\chi_i)$ 。在周期边界或场足够快衰减的边界条件下，它不贡献作用量，因而矢量和标量的自由核分开了。第一项还可改写成 $\partial_\mu A_\nu\partial^\nu A^\mu$ 的形式，所用的完整恒等式为

(\partial\cdot A)^2-\partial_\mu A_\nu\partial^\nu A^\mu =\partial_\mu\left[ A^\mu(\partial\cdot A)-A_\nu\partial^\nu A^\mu \right]. \tag{86.22}

展开右边后，含二阶导数的两项相消。这说明两种导数写法作为作用量密度只差一个全微分。

规范固定的最后一项给标量增加了质量平方。为区别两个不同空间中的矩阵，记

Q=F^TF,\qquad H_\xi=H+\xi Q,\qquad HQ=0,\quad QH=0 . \tag{86.23}

这里 $H$ 和 $Q$ 都是 $N$ 阶矩阵， $FF^T$ 则是 $n_g$ 阶矩阵。第一个乘积为零直接来自 $HF^T=0$ ；对它转置，再用 $H,Q$ 对称，便得第二个乘积也为零。这样，势和规范固定的质量贡献确实作用在互相正交的方向上。

更具体地，标量空间分解为

\begin{aligned} \mathbb R^N&=\operatorname{im}F^T\oplus\ker F,\\ Hw_a&=0,\qquad Qw_a=M_a^2w_a \quad(a=1,\ldots,r),\\ H_\xi w_a&=\xi M_a^2w_a . \end{aligned} \tag{86.24}

第一行的正交性来自 $(F^Tz)^Ty=z^TFy=0$ ，其中 $y\in\ker F$ ；两个空间的维数之和为 $N$ ，所以它们也穷尽整个空间。对前 $r$ 个方向，式（86.18）给 $Qw_a=M_a^2w_a$ ，而黑塞零模关系给 $Hw_a=0$ 。因此戈德斯通场的质量平方为 $\xi M_a^2$ ，质量为 $\sqrt\xi M_a$ 。

在剩下的 $\ker F$ 内， $Q$ 为零，只有势决定质量。这个空间在 $H$ 作用下仍保持不变，因为 $FH=0$ 。利用 $R$ 在其中尚可任意旋转的自由度，将 $H$ 的这一块对角化，便得到

RH_\xi R^T =\operatorname{diag}\bigl( \xi M_1^2,\ldots,\xi M_r^2, m_{r+1}^2,\ldots,m_N^2\bigr), \qquad m_I^2\ge0 . \tag{86.25}

后面 $N-r$ 个场是物理标量方向。黑塞矩阵在这里的正本征值给物理标量质量平方，零本征值则留下树级无质量标量。

现在自由传播子可以沿上一节逐个读出。矢量核和其逆为

\begin{aligned} K_a^{\mu\nu}(k) &=(k^2+M_a^2)g^{\mu\nu} -(1-\xi^{-1})k^\mu k^\nu,\\ \Delta_a^{\mu\nu}(k) &=\frac{g^{\mu\nu}}{k^2+M_a^2-i0} +\frac{(\xi-1)k^\mu k^\nu} {(k^2+M_a^2-i0)(k^2+\xi M_a^2-i0)} . \end{aligned} \tag{86.26}

这就是式（85.36）合并投影后的形式，代入时只将 $M$ 换成 $M_a$ ，并为规范指标加上 $\delta^{ab}$ 。两个因果边界值按上一节的二次核处方理解。对未破缺方向直接取 $M_a=0$ ，得到通常无质量 $R_\xi$ 传播子；这里没有使用含 $1/M_a^2$ 的幺正规范表达式。标量传播子则为

\Delta_{\widetilde\chi_i\widetilde\chi_j}(k) =\frac{\delta_{ij}}{k^2+\mu_i^2-i0}, \qquad \mu_i^2= \begin{cases} \xi M_i^2,&i\le r,\\ m_i^2,&i>r . \end{cases} \tag{86.27}

图中的内部线仍是 $\Delta/i$ 。当 $\xi=1$ 时，矢量传播子成为对角的 $g^{\mu\nu}/(k^2+M_a^2-i0)$ ，而戈德斯通场具有与相应矢量相同的质量，计算尤其简便。

质量谱也使自由度的去向清楚了：每个破缺方向使原来有两个物理偏振的规范粒子得到第三个偏振，并消去一个独立的标量外态。于是物理自由度总数为

3r+2(n_g-r)+(N-r)=2n_g+N . \tag{86.28}

这与破缺前相同。在幺正规范中，轨道方向的标量被置为零；在 $R_\xi$ 规范中它们仍进入内部计算，与非物理矢量分量和鬼场共同保证物理振幅的规范独立性。有质量矢量的物理螺旋度零态属于三个偏振之一，其质量为 $M_a$ ，并不随 $\xi$ 移动。

鬼场为何具有同一组规范质量

规范函数已经选好，鬼场作用量便由它对规范变换的响应决定。第71节的FP构造在这里给出规范固定与鬼项的组合

\mathcal L_{\mathrm{gf}}+\mathcal L_{\mathrm{gh}} =-\frac1{2\xi}G^aG^a -\bar c^a\frac{\delta G^a}{\delta\theta^b}c^b .

先把耦合的记号统一起来。前面势不变性中的 $\alpha^a$ 是群角，这里的 $\theta^a$ 则采用连接的参数归一。二者及伴随协变导数的关系为

\begin{aligned} \alpha^a&=g_a\theta^a,\qquad h^{abc}=g_af^{abc},\\ [\tau^a,\tau^b]&=-\frac{g_ag_b}{g_c}f^{abc}\tau^c =-h^{abc}\tau^c,\\ D_\mu^{ab}&=\delta^{ab}\partial_\mu+h^{acb}A_\mu^c . \end{aligned} \tag{86.29}

第二行由 $[T^a,T^b]=if^{abc}T^c$ 直接乘上两个 $i g$ 得到。非零 $f^{abc}$ 的三个指标在同一个简单因子内，那里 $g_a=g_b=g_c$ ；阿贝尔因子的 $f$ 为零。因此 $h$ 已包含正确的耦合，并在当前正交规范基中保持全反对称性。

使用第69节已推导的连接变换，标量和规范场的变化量是

\begin{aligned} \delta_\theta A_\mu^a&=-D_\mu^{ab}\theta^b,\\ \delta_\theta\chi_i&=-\theta^b(\tau^b)_{ij}(v+\chi)_j . \end{aligned} \tag{86.30}

第二式直接来自 $\delta\phi=-i\alpha^bT^b\phi$ ，其中 $v$ 作为展开所选的固定背景留在右边。这里列的是场的变化量 $\delta\chi$ ；变换后的场为 $\chi+\delta\chi$ 。

将这两个变化代入 $G^a$ ，第一项给 $-\partial^\mu(D_\mu^{ab}\theta^b)$ ，第二项中的两个负号相乘给正号。把参数的时空位置也写出，FP核便为

\begin{aligned} \mathcal M^{ab}(x,y) &=\frac{\delta G^a(x)}{\delta\theta^b(y)}\\ &=\left[-\partial_x^\mu D_\mu^{ab}(x) +\xi F_{aj}(\tau^b)_{jk}(v+\chi(x))_k \right]\delta^4(x-y)\\ &=\left[-\partial_x^\mu D_\mu^{ab}(x) +\xi(FF^T)_{ab} +\xi F_{aj}(\tau^b)_{jk}\chi_k(x) \right]\delta^4(x-y). \end{aligned} \tag{86.31}

最后一步用了 $(\tau^bv)_j=F_{bj}$ 。外层 $\partial_x^\mu$ 作用于右方整个 $D_\mu^{ab}\theta^b$ ，其中也包括连接的导数。行指标 $a$ 来自所选的规范函数，列指标 $b$ 来自变换参数；因而最后一项中的 $F_a$ 和 $\tau^b$ 不能交换。

按照第71节的FP行列式和Grassmann积分，将反鬼放在前面，得到

\begin{aligned} \mathcal L_{\mathrm{gh}} &=-\bar c^a\mathcal M^{ab}c^b\\ &=-(\partial^\mu\bar c^a)D_\mu^{ab}c^b -\xi(FF^T)_{ab}\bar c^ac^b -\xi F_{aj}(\tau^b)_{jk}\chi_k\bar c^ac^b . \end{aligned} \tag{86.32}

第一项只作普通的分部积分，没有让 $c$ 越过 $\bar c$ ，所以不会额外产生Grassmann负号。规范固定和行列式在所选真空附近的局部微扰规范片中使用，残余零模按第71、74章的办法处理。

鬼的质量平方矩阵正是 $\xi FF^T$ ，因此它和矢量质量矩阵用同一个 $S$ 对角化：

\begin{aligned} \widetilde c&=S^Tc,\qquad \widetilde{\bar c}=S^T\bar c,\\ \mathcal L_{\mathrm{gh},0} &=-\partial^\mu\widetilde{\bar c}^{\,a} \partial_\mu\widetilde c^{\,a} -\xi M_a^2\widetilde{\bar c}^{\,a}\widetilde c^{\,a},\\ \langle\widetilde c^{\,a}\widetilde{\bar c}^{\,b}\rangle_0(k) &=\frac1i\,\frac{\delta^{ab}}{k^2+\xi M_a^2-i0}. \end{aligned} \tag{86.33}

两个鬼变量虽独立，却须作相同的实正交变换，才能同时保持动能和对角质量。这样，戈德斯通、鬼与非物理矢量极点中的 $\xi M_a^2$ 都由同一个 $F$ 产生。物理振幅中这些规范依赖部分的消去，仍由第74节的BRST关系及上一节给出的规范参数独立性论证保证；所需的相容调节、无规范反常和物理外态条件不变。

将整个相互作用转到质量基

找出自由场之后，还要用同一组新场表达顶角。把已确定的旧场 $A=S\widetilde A$ 、 $\chi=R^T\widetilde\chi$ 直接代回协变导数，并左乘 $R$ 。式（86.12）成为

\begin{aligned} (RD_\mu\phi)_i ={}&\partial_\mu\widetilde\chi_i -\widetilde A_\mu^a\Big[ (S^TFR^T)_{ai}\\ &\hspace{37mm} +\sum_bS^{ba}(R\tau^bR^T)_{ij}\widetilde\chi_j \Big]. \end{aligned} \tag{86.34}

第一项之所以保持原样，是因为 $R$ 为常数。真空项中的矩阵来自 $R_{ij}S^{ba}F_{bj}$ ；线性项则同时有旧规范指标的 $S^{ba}$ 和旧标量向量的 $R^T$ 。因此新的系数为

\widetilde F=S^TFR^T=\Sigma,\qquad \widetilde\tau^a=\sum_bS^{ba}R\tau^bR^T . \tag{86.35}

第一式把真空作用矩阵变成 $M_a\delta_{ai}$ ，第二式则给出同时旋转规范指标和标量指标后的生成矩阵。正交变换仍保持 $\widetilde\tau^{aT}=-\widetilde\tau^a$ ，所以动能展开中的反对称性和顶角对称性不会改变。

规范自相互作用也可以直接从场强变换。将旧场代入并左乘 $S^T$ ，有

\begin{aligned} \widetilde F_{\mu\nu}^a &:=S^{da}F_{\mu\nu}^d\\ &=\partial_\mu\widetilde A_\nu^a -\partial_\nu\widetilde A_\mu^a +\widetilde h^{abc}\widetilde A_\mu^b\widetilde A_\nu^c,\\ \widetilde h^{abc} &=S^{da}S^{eb}S^{fc}h^{def}. \end{aligned} \tag{86.36}

场强的平方因 $S$ 正交而保持标准归一。三个规范指标都按同一方向旋转。当所有相关因子具有同一 $g$ 时，可以提出 $g$ 而只旋转 $f$ ；如果质量基混合了不同耦合的因子，就必须先组成 $h^{def}=g_df^{def}$ ，再作三个指标的旋转。下一节的中性规范场混合会用到这一点。

这个规则与物质表示的代数相容。将式（86.35）代入对易子，得到

\begin{aligned} \relax[\widetilde\tau^a,\widetilde\tau^b] &=-S^{da}S^{eb}h^{def}R\tau^fR^T,\\ \widetilde h^{abc}\widetilde\tau^c &=S^{da}S^{eb}S^{fc}h^{def} S^{\ell c}R\tau^\ell R^T\\ &=S^{da}S^{eb}h^{def}R\tau^fR^T . \end{aligned} \tag{86.37}

最后一行用了 $\sum_cS^{fc}S^{\ell c}=\delta^{f\ell}$ 。两个式子相比较，仍有 $[\widetilde\tau^a,\widetilde\tau^b]=-\widetilde h^{abc}\widetilde\tau^c$ 。因此规范、物质和鬼的相互作用共享同一组旋转后的系数。

势也要变成 $\widetilde V(\widetilde\chi)=V(v+R^T\widetilde\chi)$ 。至此，完整作用量就是式（86.6）中的规范场强和势，加上已展开的标量动能、规范固定及鬼项，并在其中统一使用 $F\to\Sigma$ 、 $\tau\to\widetilde\tau$ 、 $h\to\widetilde h$ 。例如新鬼标量相互作用为

\mathcal L_{\widetilde\chi\mathrm{gh}} =-\xi\Sigma_{aj}(\widetilde\tau^b)_{jk} \widetilde\chi_k \widetilde{\bar c}^{\,a}\widetilde c^{\,b}. \tag{86.38}

这项同时含真空作用矩阵和生成矩阵各一次；在阿贝尔例中，它就是 $-\xi g^2vh\bar cc$ 。

从质量基作用量读取顶角

现在从质量基作用量读取费曼规则。三类自由线已经求出；对于相互作用，可以按第72节的方法，对 $i\mathcal L_{\mathrm{int}}$ 接上所有有标签的外腿。以下全部用质量基，保留波浪以便辨认，并令所有外动量流入顶点。顶角的下指标 $\mu,\nu,\ldots$ 与外部的上指标规范场相接。

先将势在所选真空展开：

\begin{aligned} \widetilde V &=V(v)+\frac12\widetilde\chi^T(RHR^T)\widetilde\chi\\ &\quad +\sum_{n\ge3}\frac1{n!} \widetilde V_{i_1\cdots i_n} \widetilde\chi_{i_1}\cdots\widetilde\chi_{i_n},\\ \widetilde V_{i_1\cdots i_n} &=\left. \frac{\partial^n\widetilde V} {\partial\widetilde\chi_{i_1}\cdots\partial\widetilde\chi_{i_n}} \right|_0 . \end{aligned} \tag{86.39}

每一组有标签外腿有 $n!$ 种分配，消去Taylor系数的 $n!$ ，所以 $n$ 标量顶角为 $-i\widetilde V_{i_1\cdots i_n}$ 。若取四维可重整化的多项式势，和式止于 $n=4$ ；一般势的局部展开则按其实际高阶导数继续。

导数三次项为 $-\widetilde A_\mu^a\widetilde\chi_i (\widetilde\tau^a)_{ij}\partial^\mu\widetilde\chi_j$ 。接入 $\widetilde\chi_i(p)$ 和 $\widetilde\chi_j(q)$ 时，有两种分配。导数分别给 $iq^\mu$ 和 $ip^\mu$ ，故顶角为

\begin{aligned} \mathcal V\bigl(\widetilde A_\mu^a,\widetilde\chi_i(p), \widetilde\chi_j(q)\bigr) &=i\left[-i(\widetilde\tau^a)_{ij}q_\mu -i(\widetilde\tau^a)_{ji}p_\mu\right]\\ &=(\widetilde\tau^a)_{ij}(q-p)_\mu . \end{aligned} \tag{86.40}

交换两条标量外腿， $\tau$ 和动量差同时变号，顶角不变。阿贝尔例中 $(\tau)_{hb}=-g$ ，于是得到上一节的 $g(k_h-k_b)_\mu$ 。

对含两个规范场的三次项，两条规范外腿可交换，因而

\mathcal V\bigl(\widetilde A_\mu^a,\widetilde A_\nu^b, \widetilde\chi_k\bigr) =-ig_{\mu\nu} \left[\Sigma_{aj}(\widetilde\tau^b)_{jk} +\Sigma_{bj}(\widetilde\tau^a)_{jk}\right]. \tag{86.41}

若两条规范腿同类，这两项相等，但仍是两条有标签外腿的两种收缩，不能删去其中一项。对四次项，交换两条规范腿和两条标量腿共给四项；利用 $(\tau^a\tau^b)^T=\tau^b\tau^a$ ，可合并为

\begin{aligned} &\frac12\Big[ (\widetilde\tau^a\widetilde\tau^b)_{ij} +(\widetilde\tau^b\widetilde\tau^a)_{ij}\\ &\hspace{12mm} +(\widetilde\tau^a\widetilde\tau^b)_{ji} +(\widetilde\tau^b\widetilde\tau^a)_{ji}\Big] =\{\widetilde\tau^a,\widetilde\tau^b\}_{ij},\\ &\mathcal V\bigl(\widetilde A_\mu^a,\widetilde A_\nu^b, \widetilde\chi_i,\widetilde\chi_j\bigr) =ig_{\mu\nu}\{\widetilde\tau^a,\widetilde\tau^b\}_{ij}. \end{aligned} \tag{86.42}

在单 $U(1)$ 例中 $\tau^2=-g^2I$ ，式（86.41）和（86.42）分别给 $hAA$ 的 $-2ig^2v g_{\mu\nu}$ 及 $hhAA,bbAA$ 的 $-2ig^2g_{\mu\nu}$ ，与上一节完全相配。

鬼与反鬼是两种独立的有向外腿，所以鬼标量顶角没有交换它们所得的因子2。保持 $\bar c^a,c^b$ 次序，式（86.38）及鬼导数项给

\begin{aligned} \mathcal V\bigl(\widetilde\chi_k, \widetilde{\bar c}^{\,a},\widetilde c^{\,b}\bigr) &=-i\xi\Sigma_{aj}(\widetilde\tau^b)_{jk},\\ \mathcal V\bigl(\widetilde A_\mu^d, \widetilde{\bar c}^{\,a}(\ell),\widetilde c^{\,b}\bigr) &=\widetilde h^{adb}\ell_\mu . \end{aligned} \tag{86.43}

第二行来自 $i[-\widetilde h^{adb}(i\ell_\mu)]$ ，其中 $\ell$ 是反鬼的入顶动量。若改成第72节的反鬼出顶动量 $q=-\ell$ ，再用 $h^{adb}=-h^{dab}$ ，就得到该章的 $h^{dab}q_\mu$ 。每个闭合鬼圈仍另乘 $-1$ 。

最后，规范场的三次和四次密度只是第72节密度中的 $gf$ 换成 $\widetilde h$ 。该章已经分别展开六种和二十四种收缩，质量的引入没有改变这些分配。三点规则在全入顶记法中为

\begin{aligned} \mathcal V_{\mu\nu\rho}^{abc}(p,q,r) =-\widetilde h^{abc}\big[ &(q-r)_\mu g_{\nu\rho} +(r-p)_\nu g_{\rho\mu}\\ &+(p-q)_\rho g_{\mu\nu}\big], \qquad p+q+r=0 . \end{aligned} \tag{86.44}

共同负号来自式（72.10）的三个全出动量同时反号。四点规则没有动量，直接在式（72.15）中替换两个 $gf$ 即可：

\begin{aligned} \mathcal V_{\mu\nu\rho\sigma}^{abcd}=-i\big[ &\widetilde h^{abe}\widetilde h^{cde} (g_{\mu\rho}g_{\nu\sigma}-g_{\mu\sigma}g_{\nu\rho})\\ +&\widetilde h^{ace}\widetilde h^{dbe} (g_{\mu\sigma}g_{\rho\nu}-g_{\mu\nu}g_{\rho\sigma})\\ +&\widetilde h^{ade}\widetilde h^{bce} (g_{\mu\nu}g_{\sigma\rho}-g_{\mu\rho}g_{\sigma\nu})\big]. \end{aligned} \tag{86.45}

两类规则保留了玻色外腿交换的对称性；含 $\widetilde h$ 的各项也同时保留了原来的Jacobi关系。所有三次导数顶角有一个动量， $\Sigma\tau$ 顶角有一个质量量纲，四次规范标量顶角则无量纲，与四维作用量的量纲一致。

下一节对标准模型求出 $F$ 和中性规范场的质量基，再将这里的顶角转写为 $W^\pm$ 、 $Z$ 和光子的相互作用。

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