Srednicki §52 汤川理论中的 beta 函数

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上一节的圈图给出了自能和顶角，也告诉我们应当怎样选择反项，使质量、留数和耦合满足预定的归一条件。现在换一个问题：若用不同的重整化能标描述同一个理论，耦合常数应当怎样变化？计算所需的信息已经包含在那些反项中。我们只须保持裸作用量不变，就能从紫外极点求出两个耦合的beta函数。与第28节相比，这里的新特点是 $g$ 和 $\lambda$ 同时参与重整化；一个反项对两个耦合的依赖都必须计入尺度微分。

以下沿用上一节的赝标量相互作用 $ig\varphi\bar\Psi\gamma_5\Psi$ ，并采用第28节的 $\overline{\mathrm{MS}}$ 方案。两章之间有限归一条件的转换将在计算中说明。

从裸作用量确定耦合关系

先把场的归一化从相互作用系数中分离出来。裸场的动能取通常的单位系数，而重整化场的动能带有 $Z_\varphi$ 或 $Z_\Psi$ 。因此

\begin{gathered} \varphi_0=Z_\varphi^{1/2}\varphi,\qquad \Psi_0=Z_\Psi^{1/2}\Psi,\qquad \bar\Psi_0=Z_\Psi^{1/2}\bar\Psi,\\ \mathcal L_{0,\mathrm{int}} =ig_0\varphi_0\bar\Psi_0\gamma_5\Psi_0 -\frac{\lambda_0}{4!}\varphi_0^4. \end{gathered} \tag{52.1}

汤川项中有一条标量腿、两条旋量腿，代入场的关系后，它的系数为 $g_0Z_\varphi^{1/2}Z_\Psi$ 。四标量项则带有 $Z_\varphi^2$ 。逐项与上一节的重整化拉格朗日量比较，便得到

\begin{aligned} g_0&=Z_\varphi^{-1/2}Z_\Psi^{-1}Z_g \widetilde\mu^{\varepsilon/2}g,\\ \lambda_0&=Z_\varphi^{-2}Z_\lambda \widetilde\mu^\varepsilon\lambda . \end{aligned} \tag{52.2}

其中 $d=4-\varepsilon$ ， $g,\lambda$ 无量纲，裸耦合的质量维数分别为 $\varepsilon/2$ 和 $\varepsilon$ 。这些工程维数决定了两个不同的尺度因子。我们仍取 $\mu^2=4\pi e^{-\gamma_E}\widetilde\mu^2$ ，所以对 $\ln\mu$ 和对 $\ln\widetilde\mu$ 求导相同，但有限对数里的两个尺度不能直接互换。

还有一项归一条件需要接清楚。上一节把 $m,M$ 定义为极点质量，把单粒子留数归一为一，并在零外动量处定义 $g,\lambda$ 。以下把这组参数记为下标 $o$ ，把 $\overline{\mathrm{MS}}$ 参数记为下标 $r$ 。对于上一节已算出的每个反项，可写成

Z_j^{o}=1+\frac{a_j}{\varepsilon}+f_j+\text{更高圈}, \qquad Z_j^{r}=1+\frac{a_j}{\varepsilon}+\text{更高圈}. \tag{52.3}

$a_j$ 是简单极点的残数， $f_j$ 是上一节归一条件要求的有限部分。第二个等式规定了这里的最小减除方案。两个方案描述同一个裸作用量，于是把它们分别代入式（52.2），再展开到一圈，极点相消后给出

\begin{aligned} g_r&=g_o\left(1+f_g-\tfrac12f_\varphi-f_\Psi\right) +\text{更高圈},\\ \lambda_r&=\lambda_o+f_{\delta\lambda} -2\lambda_o f_\varphi+\text{更高圈}, \qquad f_{\delta\lambda}:=\lambda_o f_\lambda . \end{aligned} \tag{52.4}

右边的有限项全部用 $o$ 方案的参数评价。这里各个负号来自裸耦合关系中的逆场归一因子，例如 $(1+f_\varphi)^{-1/2}=1-f_\varphi/2+\cdots$ 。四价耦合用加性形式书写，因而 $\lambda_o=0$ 时仍然适用。这些有限项的具体表达式留在本节最后与尺度微分一起使用；求beta函数本身只需要简单极点。以下省去 $r$ 下标， $g,\lambda,m,M$ 均指 $\overline{\mathrm{MS}}$ 参数。

两个极点函数

最小减除的反项只有 $\varepsilon$ 的负幂。把裸耦合中的几个 $Z$ 因子合并并取对数，可以把后面的链式微分写得更紧凑。定义

\begin{aligned} G(g,\lambda,\varepsilon) &:=\ln\!\left(Z_\varphi^{-1/2}Z_\Psi^{-1}Z_g\right) =\sum_{n\geq1}\frac{G_n(g,\lambda)}{\varepsilon^n},\\ L(g,\lambda,\varepsilon) &:=\ln\!\left(Z_\varphi^{-2}Z_\lambda\right) =\sum_{n\geq1}\frac{L_n(g,\lambda)}{\varepsilon^n}. \end{aligned} \tag{52.5}

$n$ 表示极点次数，每个 $G_n,L_n$ 本身还要按圈数展开。对数仍只有极点，是因为 $\ln(1+u)=u-u^2/2+\cdots$ 中的 $u$ 没有有限部分； $u^2$ 至少含二重极点。特别地， $\ln Z$ 和 $Z-1$ 的简单极点相同。上一节的四个有关残数为

\begin{aligned} a_\varphi&=-\frac{4g^2}{16\pi^2},& a_\Psi&=-\frac{g^2}{16\pi^2},\\ a_g&=\frac{2g^2}{16\pi^2},& a_\lambda&=\frac{3\lambda-48g^4/\lambda}{16\pi^2}. \end{aligned} \tag{52.6}

最后一项来自三种标量泡图与六种费米盒图。这里使用的是上一节四标量顶角中已经由顶角次数确定的 $\lambda^2$ 贡献。按式（52.5）中的幂次相加，得到

\begin{aligned} G_1 &=-\tfrac12a_\varphi-a_\Psi+a_g+\text{更高圈} =\frac{(2+1+2)g^2}{16\pi^2}+\text{更高圈},\\ L_1 &=-2a_\varphi+a_\lambda+\text{更高圈} =\frac{3\lambda+8g^2-48g^4/\lambda}{16\pi^2} +\text{更高圈}. \end{aligned} \tag{52.7}

汤川顶角的反项只给出了第一个残数中的最后一项；场归一化还贡献 $2+1$ 。这说明，顶角的紫外修正虽然直接改变相互作用，却不能独自决定耦合的尺度变化。把相互作用写成归一化场的系数后，外腿的归一化也进入裸耦合关系。

固定裸耦合的尺度微分

现在令 $t=\ln\mu$ ，在固定裸参数和 $\varepsilon$ 的条件下求导。在 $g,\lambda$ 非零的定号区间，裸耦合关系可写成

\begin{aligned} \ln|g_0| &=\ln|g|+\frac{\varepsilon}{2}\ln\widetilde\mu +\sum_{n\geq1}\frac{G_n}{\varepsilon^n},\\ \ln|\lambda_0| &=\ln|\lambda|+\varepsilon\ln\widetilde\mu +\sum_{n\geq1}\frac{L_n}{\varepsilon^n}. \end{aligned} \tag{52.8}

有量纲的量在取对数前可各除以一个固定单位；这个选择不影响以下导数。绝对值则使同一推导也适用于负 $\lambda$ 的定号区间。在耦合的零点，我们稍后直接对加性裸关系求导。

记 $B_g=dg/dt$ 、 $B_\lambda=d\lambda/dt$ 。因为每个极点函数都依赖两个耦合，其导数为 $dG_n/dt=B_g\partial_gG_n+B_\lambda\partial_\lambda G_n$ ；对 $L_n$ 也一样。裸耦合不变，分别乘回 $g$ 和 $\lambda$ 后便有

\begin{aligned} 0={}&B_g+\frac{\varepsilon g}{2} +g\sum_{n\geq1} \frac{B_g\partial_gG_n+B_\lambda\partial_\lambda G_n}{\varepsilon^n},\\ 0={}&B_\lambda+\varepsilon\lambda +\lambda\sum_{n\geq1} \frac{B_g\partial_gL_n+B_\lambda\partial_\lambda L_n}{\varepsilon^n}. \end{aligned} \tag{52.9}

为看清 $B_g,B_\lambda$ 对调节参数的依赖，把它们写成一个矩阵方程：

\begin{gathered} \left[I+\sum_{n\geq1}\frac{\mathcal A_n}{\varepsilon^n}\right] \begin{pmatrix}B_g\\B_\lambda\end{pmatrix} =-\varepsilon\begin{pmatrix}g/2\\\lambda\end{pmatrix},\\ \mathcal A_n= \begin{pmatrix} g\partial_gG_n&g\partial_\lambda G_n\\ \lambda\partial_gL_n&\lambda\partial_\lambda L_n \end{pmatrix}. \end{gathered} \tag{52.10}

左边矩阵为单位阵加圈修正。按圈数展开其逆矩阵，第一项是 $I$ ，其它每一项都至少含一个 $\varepsilon^{-1}$ 。再乘右边的 $-\varepsilon$ ，树项给出工程维数的贡献，其余各项至多含 $\varepsilon^0$ ，不会产生新的正幂。重整化参数的尺度导数须在 $\varepsilon\to0$ 时逐阶有限，于是负幂系数全部相消，剩下

B_g=-\frac{\varepsilon}{2}g+\beta_g(g,\lambda), \qquad B_\lambda=-\varepsilon\lambda+\beta_\lambda(g,\lambda). \tag{52.11}

其中 $\beta_g,\beta_\lambda$ 就是四维的尺度导数。这个结论用到了纯极点方案和有限性两项条件：前者限定了可能出现的 $\varepsilon$ 次幂，后者消去了负幂。第28节对一个耦合所作的论证，在这里成为同一个形式逆矩阵的展开。

将工程维数的两项合并，定义微分算符

\mathscr E:=\frac{g}{2}\frac{\partial}{\partial g} +\lambda\frac{\partial}{\partial\lambda}. \tag{52.12}

例如 $B_g\partial_gG_n+B_\lambda\partial_\lambda G_n$ 等于 $-\varepsilon\mathscr EG_n+ (\beta_g\partial_g+\beta_\lambda\partial_\lambda)G_n$ 。将此式代入式（52.9），单独提出 $n=1$ 的有限项，再把其余工程项的下标从 $n$ 换成 $n+1$ ，得到

\begin{aligned} 0={}&\beta_g-g\mathscr EG_1\\ &+g\sum_{n\geq1} \frac{(\beta_g\partial_g+\beta_\lambda\partial_\lambda)G_n -\mathscr EG_{n+1}}{\varepsilon^n},\\ 0={}&\beta_\lambda-\lambda\mathscr EL_1\\ &+\lambda\sum_{n\geq1} \frac{(\beta_g\partial_g+\beta_\lambda\partial_\lambda)L_n -\mathscr EL_{n+1}}{\varepsilon^n}. \end{aligned} \tag{52.13}

这里的有限贡献有一个很直接的来源：工程项中的 $\varepsilon$ 恰好约去简单极点中的 $1/\varepsilon$ 。比较有限项便得到双耦合的beta函数公式

\boxed{\displaystyle \beta_g=g\mathscr EG_1,\qquad \beta_\lambda=\lambda\mathscr EL_1.} \tag{52.14}

其余负幂系数也必须为零，因此

\begin{aligned} \mathscr EG_{n+1} &=(\beta_g\partial_g+\beta_\lambda\partial_\lambda)G_n,\\ \mathscr EL_{n+1} &=(\beta_g\partial_g+\beta_\lambda\partial_\lambda)L_n, \qquad n\geq1 . \end{aligned} \tag{52.15}

这些关系约束多重极点，保证不同圈阶的反项能够共同消除发散。它们并不提供尚未计算的高圈简单极点；因而知道一圈 $G_1,L_1$ ，仍然只能确定一圈beta函数。要推进到更高圈，还需相应的简单极点作为新的独立输入。

一圈结果及其物理含义

式（52.7）中只出现 $g^2,\lambda,g^4/\lambda$ 三种结构。 $\mathscr E$ 对它们的作用可以直接算出：

\mathscr E g^2=g^2,\qquad \mathscr E\lambda=\lambda,\qquad \mathscr E\frac{g^4}{\lambda} =\frac{g}{2}\frac{4g^3}{\lambda} +\lambda\left(-\frac{g^4}{\lambda^2}\right) =\frac{g^4}{\lambda}. \tag{52.16}

最后一项同时依赖两个耦合，对 $\lambda$ 的导数少算一次，费米盒图对beta函数的贡献就会多出一倍。三项的权重都是一，所以代入式（52.14）后有

\begin{aligned} \beta_g(g,\lambda) &=\frac{5g^3}{16\pi^2}+\text{更高圈},\\ \beta_\lambda(g,\lambda) &=\frac{3\lambda^2+8\lambda g^2-48g^4}{16\pi^2} +\text{更高圈}. \end{aligned} \tag{52.17}

四价耦合的第一项来自标量圈，第二项来自标量场归一化，第三项来自费米盒图。在 $g=0$ 时，后两项消失，此时 $\beta_\lambda=3\lambda^2/(16\pi^2)$ ，正是四维实四次理论的一圈结果。对于非零 $g$ ，即使在某个能标把 $\lambda$ 取为零，其尺度导数仍为 $-3g^4/\pi^2$ 。因此 $\lambda=0$ 不能在改变能标时一直保持，四标量相互作用会被费米圈生成。

上述结论在 $\lambda=0$ 处是有限的，虽然用于中间计算的 $L_1$ 含有 $g^4/\lambda$ 。为了直接看到这一点，把裸耦合写成加性形式：

\begin{aligned} g_0&=\widetilde\mu^{\varepsilon/2} \left[g+\frac{b_g}{\varepsilon}+\cdots\right], & b_g&=\frac{5g^3}{16\pi^2},\\ \lambda_0&=\widetilde\mu^\varepsilon \left[\lambda+\frac{b_\lambda}{\varepsilon}+\cdots\right], & b_\lambda&=\frac{3\lambda^2+8\lambda g^2-48g^4}{16\pi^2}. \end{aligned} \tag{52.18}

省略号包括更高圈的简单极点和多重极点。对第一式求尺度导数时，显式的 $\widetilde\mu^{\varepsilon/2}$ 乘 $b_g/\varepsilon$ 留下 $b_g/2$ ；反项的耦合导数则由工程项给出 $-\mathscr Eb_g$ 。第二式中的相应两项是 $b_\lambda$ 和 $-\mathscr Eb_\lambda$ 。因此一圈有限部分满足

\beta_g=(\mathscr E-\tfrac12)b_g,\qquad \beta_\lambda=(\mathscr E-1)b_\lambda. \tag{52.19}

$b_g$ 的权重为 $3/2$ ， $b_\lambda$ 的每一项权重均为二，所以仍得到式（52.17）。这次推导只用了多项式，在耦合的零点同样有效。 $L_1$ 中的分母来自把加性反项除以 $\lambda$ ，并不表示四价顶角在零耦合处发生新的发散。

一圈近似要求 $g^2/(16\pi^2)$ 和 $|\lambda|/(16\pi^2)$ 都小。更高圈会带来额外的 $g^2$ 或 $\lambda$ 因子及相应圈因子；它们在接近强耦合时不能继续忽略。在这一范围内，第一条beta函数已经能说明汤川耦合的变化方向。取参考能标 $\mu_\star$ 及 $g_\star=g(\mu_\star)$ ，则 $d(g^{-2})/d\ln\mu=-5/(8\pi^2)$ ，积分得到

g^2(\mu)= \frac{g_\star^2} {1-\dfrac{5g_\star^2}{8\pi^2}\ln(\mu/\mu_\star)} \qquad\text{（一圈演化）}. \tag{52.20}

因而 $|g|$ 随能标升高而增大。若把这个解外推，分母会在某个有限能标为零；在到达该处以前，耦合已进入一圈计算不再可靠的区域。四价耦合还受到三个不同号的贡献，其演化须与 $g$ 一起求解，不能单凭 $\beta_g$ 的正号判断。

从有限归一条件理解同一尺度变化

为了把这一结果与上一节接起来，现在具体计算式（52.4）中的有限项。这也给出另一种理解beta函数的办法：固定上一节定义的质量和零动量耦合，考察相应的 $\overline{\mathrm{MS}}$ 参数怎样随 $\mu$ 变化。以下右边全部使用 $m_o>0,\ 0<M_o<2m_o$ 及 $g_o,\lambda_o$ 。

令 $a=x(1-x)$ 。在上一节的标量质量壳上，费米泡图的参数分母为 $D_s=m_o^2-aM_o^2>0$ 。对未减除自能关于 $k^2$ 求导，取 $k^2=-M_o^2$ 并去掉极点，得到波函数反项的有限部分

\begin{aligned} f_\varphi &=\frac{g_o^2}{4\pi^2} \left[-\frac16+\int_0^1dx \left(3a\ln\frac{D_s}{\mu^2} +\frac{a(m_o^2-3aM_o^2)}{D_s}\right)\right],\\ D_s&=m_o^2-aM_o^2 . \end{aligned} \tag{52.21}

其中 $-1/6$ 来自自能的显式 $k^2/6$ 项；积分的第一项来自对对数前面的多项式求导，第二项来自对分母中的 $k^2$ 求导。标量蝌蚪图不依赖 $k^2$ ，所以不进入 $f_\varphi$ 。费米子一边则须以 $z=\slashed p$ 为变量，同时使用 $p^2=-z^2$ 。在 $z=-m_o$ 处，参数分母是 $D_f=x^2m_o^2+(1-x)M_o^2$ ，对其对数的导数为 $2am_o/D_f$ 。连同分子的导数，给出

\begin{aligned} f_\Psi &=\frac{g_o^2}{16\pi^2}\int_0^1dx \left[(1-x)\ln\frac{D_f}{\mu^2} +\frac{2x^2(1-x)m_o^2}{D_f}\right],\\ D_f&=x^2m_o^2+(1-x)M_o^2 . \end{aligned} \tag{52.22}

这两个有限项正是上一节单位留数条件的结果。它们的质量比依赖保留在有限参数积分中，而尺度变化只作用于显式的对数。零外动量顶角的有限部分也已在上一节算出：

\begin{aligned} f_g&=-\frac{g_o^2}{16\pi^2} \mathcal L(m_o^2,M_o^2;\mu^2),\\ f_{\delta\lambda} &=-\frac{3\lambda_o^2}{32\pi^2}\ln\frac{M_o^2}{\mu^2} +\frac{3g_o^4}{2\pi^2}\ln\frac{m_o^2}{\mu^2},\\ \mathcal L(A,B;\mu^2) &=\frac{A\ln(A/\mu^2)-B\ln(B/\mu^2)}{A-B}-1 \quad(A\ne B),\\ \mathcal L(A,A;\mu^2)&=\ln(A/\mu^2). \end{aligned} \tag{52.23}

$\mathcal L$ 的积分评价与等质量极限见上一节的零动量顶角；此处用花体字母以区别极点函数 $L$ 。现在固定 $o$ 参数，每个 $\ln(D/\mu^2)$ 的导数都是 $-2$ 。由于 $\int_0^1a\,dx=1/6$ 、 $\int_0^1(1-x)\,dx=1/2$ ，有限项的导数化为

\begin{aligned} \frac{\partial f_\varphi}{\partial\ln\mu}\bigg|_o &=-\frac{4g_o^2}{16\pi^2},& \frac{\partial f_\Psi}{\partial\ln\mu}\bigg|_o &=-\frac{g_o^2}{16\pi^2},\\ \frac{\partial f_g}{\partial\ln\mu}\bigg|_o &=\frac{2g_o^2}{16\pi^2},& \frac{\partial f_{\delta\lambda}}{\partial\ln\mu}\bigg|_o &=\frac{3\lambda_o^2-48g_o^4}{16\pi^2}. \end{aligned} \tag{52.24}

把这些导数代入有限转换关系，就得到

\begin{aligned} \frac1{g_o}\frac{dg_r}{d\ln\mu} &=\frac{\partial}{\partial\ln\mu} (f_g-\tfrac12f_\varphi-f_\Psi)\bigg|_o =\frac{5g_o^2}{16\pi^2},\\ \frac{d\lambda_r}{d\ln\mu} &=\frac{\partial}{\partial\ln\mu} (f_{\delta\lambda}-2\lambda_o f_\varphi)\bigg|_o =\frac{3\lambda_o^2+8\lambda_o g_o^2-48g_o^4}{16\pi^2} \end{aligned} \tag{52.25}

到这一圈，把右边的 $o$ 参数换成 $r$ 参数只改变更高阶，所以结果与极点提取完全一致。同一个裸理论可以用固定的极点质量和零动量耦合描述，也可以用随能标变化的最小减除参数描述。 beta函数正是后一组参数为保持同一理论而必须满足的变化律。

质量与场的反常量纲

耦合的尺度导数确定后，同一方法也能用于质量和场。质量项和动能项各有自己的反项，因此先写出它们与裸量的关系。上一节的质量系数分别为 $Z_m m$ 和 $Z_M M^2$ ，再除去场归一化便有

m_0=\frac{Z_m}{Z_\Psi}m,\qquad M_0^2=\frac{Z_M}{Z_\varphi}M^2,\qquad \Psi_0=Z_\Psi^{1/2}\Psi,\qquad \varphi_0=Z_\varphi^{1/2}\varphi . \tag{52.26}

沿第28节的定义， $\gamma_m=d\ln m/d\ln\mu$ 、 $\gamma_M=d\ln M/d\ln\mu$ 。场的反常量纲则定义为

\gamma_\Psi=\frac12\frac{d\ln Z_\Psi}{d\ln\mu},\qquad \gamma_\varphi=\frac12\frac{d\ln Z_\varphi}{d\ln\mu},\qquad \frac{d\Psi}{d\ln\mu}=-\gamma_\Psi\Psi,\qquad \frac{d\varphi}{d\ln\mu}=-\gamma_\varphi\varphi . \tag{52.27}

后两个等式是固定裸场后对前面的场关系求导得到的，负号由此确定。这里的 $m,M$ 仍为 $\overline{\mathrm{MS}}$ 参数，所以它们可以随能标变化。

一圈的有限尺度导数只需让工程项 $B_g=-\varepsilon g/2+\cdots$ 、 $B_\lambda=-\varepsilon\lambda+\cdots$ 作用于简单极点。若 $Z_j=1+a_j/\varepsilon+\cdots$ ，那么 $d\ln Z_j/d\ln\mu$ 的这一有限项为 $-\mathscr Ea_j$ ，其中 $\mathscr E=(g/2)\partial_g+\lambda\partial_\lambda$ 。用前面的 $a_\Psi=-g^2/(16\pi^2)$ 和 $a_\varphi=-g^2/(4\pi^2)$ ，立刻得到

\gamma_\Psi=-\frac12\mathscr Ea_\Psi =\frac{g^2}{32\pi^2},\qquad \gamma_\varphi=-\frac12\mathscr Ea_\varphi =\frac{g^2}{8\pi^2} \qquad\text{（一圈）}. \tag{52.28}

费米子质量由两个反项之比决定。上一节给出 $a_m=-g^2/(8\pi^2)$ ，于是 $\ln(Z_m/Z_\Psi)$ 的简单极点为 $(a_m-a_\Psi)/\varepsilon=-g^2/(16\pi^2\varepsilon)$ 。固定 $m_0$ 求导，有

0=\gamma_m-\mathscr E(a_m-a_\Psi)+\text{更高圈}, \qquad \gamma_m=-\frac{g^2}{16\pi^2}+\text{更高圈}. \tag{52.29}

这里的 $m$ 有质量维数一；我们求的是有量纲参数本身的对数导数，因此没有另加工程项 $-1$ 。若改求 $m/\mu$ 的尺度导数，才得到 $-1+\gamma_m$ 。

标量的情形多出一个质量混合项。根据上一节， $a_M=\lambda/(16\pi^2)-g^2m^2/(2\pi^2M^2)$ 。在裸关系中乘回 $M^2$ ，便得到在 $M^2=0$ 处仍然有限的加性形式：

M_0^2=M^2+ \frac{(\lambda+4g^2)M^2-8g^2m^2}{16\pi^2\varepsilon} +\text{更高圈}. \tag{52.30}

其中 $4g^2M^2$ 来自 $Z_\varphi^{-1}$ ， $-8g^2m^2$ 来自费米泡图的质量反项。固定裸质量求尺度导数时， $g^2$ 与 $\lambda$ 的工程导数分别为 $-\varepsilon g^2$ 与 $-\varepsilon\lambda$ ，正好消去这一简单极点中的分母。质量参数的尺度导数本身从一圈起始，它们再作用于反项会进入更高圈，因而不贡献当前的有限项。于是

\begin{aligned} \beta_{M^2}:=\frac{dM^2}{d\ln\mu} &=\frac{(\lambda+4g^2)M^2-8g^2m^2}{16\pi^2} +\text{更高圈},\\ \gamma_M &=\frac{\lambda+4g^2-8g^2m^2/M^2}{32\pi^2} +\text{更高圈} \qquad(M^2>0). \end{aligned} \tag{52.31}

第二式比第一式多除以 $2M^2$ ，因为 $\gamma_M$ 对应的是 $M$ 的对数导数。在 $M^2=0$ 处应当使用第一式；此时尺度变化仍会由 $m^2$ 生成标量质量项。把两个质量平方放在一起，结果可写为

\frac{d}{d\ln\mu} \begin{pmatrix}m^2\\M^2\end{pmatrix} =\frac1{16\pi^2} \begin{pmatrix} -2g^2&0\\ -8g^2&\lambda+4g^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}m^2\\M^2\end{pmatrix} +\text{更高圈}. \tag{52.32}

每个矩阵元无量纲，右边的质量维数因此仍为二。在 $g=0$ 时，费米子质量和两种场没有这一圈的变化，标量质量则满足 $\gamma_M=\lambda/(32\pi^2)$ ，与实四次理论的结果相同。反过来，只要费米质量非零，标量质量的运行就不必正比于 $M^2$ 。

这些变化也能从两个方案的有限转换中看出。令 $f_m,f_M$ 为上一节质量反项的有限部分，由同一裸量相等可得

\begin{aligned} \Psi_r&=(1+\tfrac12f_\Psi)\Psi_o,& \varphi_r&=(1+\tfrac12f_\varphi)\varphi_o,\\ m_r&=m_o(1+f_m-f_\Psi),& M_r^2&=M_o^2(1+f_M-f_\varphi) \qquad\text{（到一圈）}. \end{aligned} \tag{52.33}

固定 $o$ 方案的质量与场，第一行的显式对数导数就是 $-\gamma_\Psi$ 和 $-\gamma_\varphi$ 。质量转换中的两个差值则由上一节质量壳上的自能有限部分给出。仍用前面的 $a=x(1-x)$ 、 $D_s=m_o^2-aM_o^2$ 、 $D_f=x^2m_o^2+(1-x)M_o^2$ ，有

\begin{aligned} f_m-f_\Psi &=\frac{g_o^2}{16\pi^2}\int_0^1dx\,x\ln\frac{D_f}{\mu^2},\\ M_o^2(f_M-f_\varphi) &=-\frac{g_o^2}{4\pi^2} \left[m_o^2-\frac{M_o^2}{6} -\int_0^1dx\,(m_o^2-3aM_o^2)\ln\frac{D_s}{\mu^2}\right]\\ &\quad+\frac{\lambda_oM_o^2}{32\pi^2} \left(1-\ln\frac{M_o^2}{\mu^2}\right). \end{aligned} \tag{52.34}

第一式的 $x$ 来自费米自能分子在 $z=-m_o$ 处变为 $xm_o$ 。第二式就是标量自能在 $k^2=-M_o^2$ 处的有限值；求 $f_M$ 时原有的波函数导数项在减去 $f_\varphi$ 后恰好消失。对两个等式的显式对数求导，利用 $\int_0^1x\,dx=1/2$ 和 $\int_0^1a\,dx=1/6$ ，得到

\begin{aligned} \frac{\partial(f_m-f_\Psi)}{\partial\ln\mu}\bigg|_o &=-\frac{g_o^2}{16\pi^2},\\ M_o^2\frac{\partial(f_M-f_\varphi)}{\partial\ln\mu}\bigg|_o &=-\frac{g_o^2}{2\pi^2} \left(m_o^2-\frac{M_o^2}{2}\right) +\frac{\lambda_oM_o^2}{16\pi^2}. \end{aligned} \tag{52.35}

将它们代入式（52.33），就恢复了前面求出的 $\gamma_m$ 和 $\beta_{M^2}$ 。因此，最小减除质量的运行是在重新表示同一固定极点质量时产生的；有限归一条件与固定裸量的计算给出了同一变化。

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