Srednicki §58 旋量电动力学

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前两节已经知道怎样描述自由光子，以及电磁场怎样响应给定的电流。现在让电子本身产生这个电流，便得到旋量电动力学（spinor electrodynamics），也就是含一个带电狄拉克场的量子电动力学（quantum electrodynamics，QED）。引入相互作用之后，电子场和电磁场的规范变换必须配合起来；由此可以将拉氏量写成规范不变的形式，并把已有的两类传播子组合成计算散射所需的费曼规则。 “量子电动力学”也可指电磁场与其他种类的带电量子场相互作用；这里用“旋量” 指出所选的物质场是狄拉克场。

电子电流与相互作用

狄拉克场在整体相位变换下的守恒流已经在第36节得到。乘上电子电荷，就成为电磁场的源。这里以 $e$ 表示电子电荷，它本身带负号：

\begin{aligned} j^\mu&=e\bar\Psi\gamma^\mu\Psi,\qquad j^0=e\Psi^\dagger\Psi,\\ Q&=\int d^3x\,{:j^0:}=e(N_b-N_d),\\ [Q,b_s^\dagger(p)]&=e\,b_s^\dagger(p),\qquad [Q,d_s^\dagger(p)]=-e\,d_s^\dagger(p). \end{aligned} \tag{58.1}

第二式用了 $\bar\Psi=\Psi^\dagger\gamma^0$ 和 $(\gamma^0)^2=1$ 。把模式展开代入空间积分，平面波给出动量 $\delta$ 函数，旋量归一抵消模式测度中的 $2\omega_{\mathbf p}$ ，两种频率之间的交叉项则由旋量正交性消失。第39节已逐项完成这个计算，并将 $dd^\dagger$ 正规序为 $-d^\dagger d$ ，减去真空荷后得到粒子数之差 $N_b-N_d$ 。现在只需乘上 $e$ ，故 $b^\dagger$ 所产生的电子带电荷 $e$ ， $d^\dagger$ 所产生的正电子带电荷 $-e$ 。采用亥维赛–洛伦兹单位制并令 $\hbar=c=1$ ，低能在壳电荷的数值例可取 $e\simeq-0.302822$ ，精细结构常数为 $\alpha_{\rm em}=e^2/(4\pi)\simeq1/137.036$ 。在壳方案与 $\overline{\mathrm{MS}}$ 方案的区别将在第62、63和66节讨论。第45节若以正的电荷单位表示电子电荷，这里的 $e$ 便是那个单位的负值。

取电流与势的局部线性耦合 $j^\mu A_\mu$ ，与自由作用量相加，得到

\begin{aligned} \mathcal L&=\mathcal L_0+\mathcal L_1,\\ \mathcal L_0&=-\frac14F^{\mu\nu}F_{\mu\nu} +i\bar\Psi\gamma^\mu\partial_\mu\Psi-m\bar\Psi\Psi,\\ \mathcal L_1&=eA_\mu\bar\Psi\gamma^\mu\Psi . \end{aligned} \tag{58.2}

四维作用量无量纲，两个动能项分别给出 $[A]=1$ 和 $[\Psi]=3/2$ ，于是 $[j]=3$ 、 $[e]=0$ 。电流与电磁势的耦合具有正确的质量维数。电流是厄米矢量， $e$ 为实数，故相互作用也为厄米。本节先求树级结果，拉氏量中的场归一因子与反项暂时省略。

这里遇到一个前两节没有的问题。给定的外电流可以事先要求满足 $\partial_\mu J^\mu=0$ ，电子电流的守恒却是运动方程的结果。为了看清所用条件，暂将两个狄拉克方程的左端写为

\begin{aligned} \mathcal E&=(i\gamma^\mu\partial_\mu +e\gamma^\mu A_\mu-m)\Psi,\\ \overline{\mathcal E} &=i(\partial_\mu\bar\Psi)\gamma^\mu -e\bar\Psi\gamma^\mu A_\mu+m\bar\Psi,\\ \overline{\mathcal E}\Psi+\bar\Psi\mathcal E &=i(\partial_\mu\bar\Psi)\gamma^\mu\Psi +i\bar\Psi\gamma^\mu\partial_\mu\Psi\\ &=i\partial_\mu(\bar\Psi\gamma^\mu\Psi),\\ \partial_\mu j^\mu &=-ie\bigl(\overline{\mathcal E}\Psi+\bar\Psi\mathcal E\bigr). \end{aligned} \tag{58.3}

两个质量项相消，两个含 $A_\mu$ 的项也相消；计算始终保持 $\bar\Psi$ 在左、 $\Psi$ 在右。满足 $\mathcal E=\overline{\mathcal E}=0$ 时电流自然守恒。路径积分还要对不满足这些方程的场构型积分，因而不能把每个构型中的 $j$ 都当作前两节的守恒外源来处理。解决这一问题，需要同时考察两种场的变换。

局域相位与协变导数

为电子场配上一个随位置变化的相位。令 $\Gamma(x)$ 为实函数，取

A'_\mu=A_\mu-\partial_\mu\Gamma,\qquad \Psi'=u\Psi,\qquad \bar\Psi'=\bar\Psi u^{-1},\qquad u(x)=e^{-ie\Gamma(x)} . \tag{58.4}

相位是格拉斯曼偶数，与场分量和 $\gamma$ 矩阵对易，所以 $j'{}^\mu=j^\mu$ ，质量项也不变。动能中却有导数作用到相位，利用 $\partial_\mu u=-ie(\partial_\mu\Gamma)u$ ，恰得到相互作用所需要的一项：

\begin{aligned} i\bar\Psi'\gamma^\mu\partial_\mu\Psi' &=i\bar\Psi u^{-1}\gamma^\mu \bigl[(\partial_\mu u)\Psi+u\partial_\mu\Psi\bigr]\\ &=i\bar\Psi\gamma^\mu\partial_\mu\Psi +j^\mu\partial_\mu\Gamma,\\ j'{}^\mu A'_\mu &=j^\mu A_\mu-j^\mu\partial_\mu\Gamma . \end{aligned} \tag{58.5}

新增的两项在每一点相消。这个抵消直接发生在拉氏量中，无须使用场方程。又因为偏导可交换， $F'_{\mu\nu}=F_{\mu\nu}$ ，麦克斯韦项也保持原样。因此完整作用量对于任意平滑局域相位都具有规范不变性。

将含 $A_\mu$ 的项与普通导数放在一起，拉氏量可以写得更简洁：

D_\mu=\partial_\mu-ieA_\mu,\qquad \mathcal L=-\frac14F^{\mu\nu}F_{\mu\nu} +\bar\Psi(i\gamma^\mu D_\mu-m)\Psi . \tag{58.6}

$D_\mu$ 称为协变导数（covariant derivative）。这个名称的含义是，它作用后的旋量与原旋量具有同一个局域相位。为验证这一点，将 $D'_\mu$ 作用于任意旋量函数 $uf$ ：

\begin{aligned} D'_\mu(uf) &=\bigl(\partial_\mu-ieA_\mu+ie\partial_\mu\Gamma\bigr)(uf)\\ &=u\partial_\mu f-ie(\partial_\mu\Gamma)uf -ieA_\mu uf+ie(\partial_\mu\Gamma)uf\\ &=uD_\mu f . \end{aligned} \tag{58.7}

取 $f=\Psi$ ，就确定了协变导数作用于电子场的变换。由于这个等式对任意 $f$ 成立，还可以把变换规律写成算符等式：

D'_\mu=uD_\mu u^{-1},\qquad D'_\mu\Psi'=uD_\mu u^{-1}u\Psi=uD_\mu\Psi . \tag{58.8}

这里的乘积按从右到左作用。例如 $uD_\mu u^{-1}$ 作用到 $f$ 时， $D_\mu$ 要微分整个 $u^{-1}f$ ；其乘积法则包含 $\partial_\mu f$ 。这样便完整保留了微分算符，同时自动计入相位的导数。

协变导数还把电磁场强包含在自身的代数中。连续作用两次，先保留各个导数项：

\begin{aligned} D_\mu D_\nu f ={}&\partial_\mu\partial_\nu f -ie(\partial_\mu A_\nu)f-ieA_\nu\partial_\mu f\\ &-ieA_\mu\partial_\nu f-e^2A_\mu A_\nu f . \end{aligned} \tag{58.9}

交换 $\mu,\nu$ 后相减，二阶偏导消去，两项含 $\partial f$ 的交叉项也消去。由于电磁势的乘法可交换，最后的 $e^2$ 项同样消失。因此

[D_\mu,D_\nu]f=-ieF_{\mu\nu}f,\qquad [D^\mu,D^\nu]=-ieF^{\mu\nu},\qquad F^{\mu\nu}=\frac{i}{e}[D^\mu,D^\nu] . \tag{58.10}

最后一式按非零电荷使用；第一式连同 $e=0$ 的自由极限仍然成立。对易子经过相减已经不含作用于 $f$ 的导数，右边就是乘以局部函数的算符。利用式（58.8），立刻得到

\begin{aligned} \relax[D'{}^\mu,D'{}^\nu] &=u[D^\mu,D^\nu]u^{-1},\\ F'{}^{\mu\nu} &=uF^{\mu\nu}u^{-1}=F^{\mu\nu}. \end{aligned} \tag{58.11}

这条途径与直接变换电磁势得到同一个场强不变性，并解释了场强为什么能由两个协变导数的对易子表示。

现在可以回过头来理解引入电磁场的理由。自由狄拉克作用量在整体变换

\Psi\longmapsto e^{-i\theta}\Psi,\qquad \bar\Psi\longmapsto\bar\Psi e^{i\theta},\qquad \theta=\text{常数} \tag{58.12}

下不变，这是整体 $U(1)$ 对称性。若允许 $\theta=e\Gamma(x)$ 随位置变化，普通导数会多出相位梯度。引入按式（58.4）变换的 $A_\mu$ ，并把 $\partial_\mu$ 替换为 $D_\mu$ ，就能抵消这个梯度。于是局域 $U(1)$ 对称性将光子与电子的相互作用联系到了一起。把整体对称性提升为局域对称性的这一做法，称为规范化（gauging）。

联合路径积分与费曼规范

有了逐构型成立的规范不变性，就可以处理联合路径积分中的冗余。先沿上一节的思路消去一个规范坐标，再对不同规范条件作加权平均，从而求出费曼规范的传播子。第71节将把这一方法用于非阿贝尔理论。

先不加外源。在选定边界并除去规范算符零模之后，可以局部写 $A_\mu=A_{T\mu}+\partial_\mu\chi$ ，再取 $\Gamma=\chi$ ，将势变为 $A_T$ 。同时令 $\Psi_T=e^{-ie\chi}\Psi$ 、 $\bar\Psi_T=\bar\Psi e^{ie\chi}$ ，作用量就化为 $S[A_T,\bar\Psi_T,\Psi_T]$ 。按照第44节的配对奇测度，有限组变量的线性代换给出逆行列式。记 $U=e^{ie\chi}$ ，则

\begin{aligned} \Psi&=U\Psi_T,\qquad \bar\Psi=\bar\Psi_TU^{-1},\\ d\Psi\,d\bar\Psi &=(\det U)^{-1}(\det U^{-1})^{-1} d\Psi_T\,d\bar\Psi_T =d\Psi_T\,d\bar\Psi_T . \end{aligned} \tag{58.13}

两个相位雅可比因子相消，表明沿规范轨道同时改变三种场，不产生额外的费米测度因子。将这个有限代数用于场积分时，取保留局域矢量 $U(1)$ 且与边界相容的共同调节定义。局域相位乘法会混合傅里叶模式，因而简单删去任意一部分模式未必保留上述变换；相容性须在调节定义中实现。

规范体积的分离可以直接使用第57节已经证明的实变量 $\delta$ 恒等式。取 $\mathcal F[A]=\partial^\mu A_\mu$ 、 $\mathcal M=-\partial^2$ ，在除去零模的有限规范参数空间有

\begin{aligned} \mathcal F[A^\Gamma]&=\mathcal F[A]+\mathcal M\Gamma,\\ 1&=|\det{}'\mathcal M| \int d\Gamma\,\delta\bigl(\mathcal F[A^\Gamma]-f\bigr). \end{aligned} \tag{58.14}

第二行来自变量代换 $y=\mathcal F[A]+\mathcal M\Gamma-f$ ，其雅可比因子为 $|\det{}'\mathcal M|$ 。把它插入零源积分，随后同时变换 $A,\Psi,\bar\Psi$ ，作用量与测度保持不变，只留下同一个规范体积。 $\mathcal M$ 与这些场无关，因此它的行列式也只是一个公共因子。它们都在归一化中消去，留下固定 $\mathcal F[A]=f$ 的积分。

还可以不选某一个 $f$ ，而对它作高斯平均。权重取 $\exp[-i\int d^4x\,f^2/(2\xi)]$ ，于是 $\delta$ 函数直接给出

\begin{aligned} &\int Df\,\delta\bigl(\mathcal F[A]-f\bigr) \exp\!\left[-\frac{i}{2\xi}\int d^4x\,f(x)^2\right]\\ &\hspace{15mm} =\exp\!\left[-\frac{i}{2\xi}\int d^4x\, (\partial^\mu A_\mu)^2\right],\\ \mathcal L_{\rm gf}&=-\frac1{2\xi}(\partial^\mu A_\mu)^2 . \end{aligned} \tag{58.15}

共同归一化所含的 $f$ 积分不依赖场。这里的高斯按第57节的真空解析积分路径理解；也可以先在 $\xi>0$ 的欧氏积分中平均，再作相同的解析延拓。这样定义了规范参数 $\xi$ 。它只改变积分中规范自由度的权重。

将这一项加入光子二次作用量。在傅里叶空间， $(\partial\cdot A)(k)=ik^\mu A_\mu(k)$ ，另一因子携带 $-k$ ，所以它们的乘积为 $k^\mu k^\nu A_\mu(-k)A_\nu(k)$ ，从而

\begin{aligned} S_{\gamma,\xi} &=-\frac12\int\frac{d^4k}{(2\pi)^4}\, A_\mu(-k)M_\xi^{\mu\nu}(k)A_\nu(k),\\ M_\xi^{\mu\nu}(k) &=k^2g^{\mu\nu}-(1-\xi^{-1})k^\mu k^\nu,\\ M_1^{\mu\nu}(k)&=k^2g^{\mu\nu}. \end{aligned} \tag{58.16}

取 $\xi=1$ 便是费曼规范。原来妨碍求逆的 $k^\mu k^\nu$ 项完全消去，四个分量可以按第57节给出的共同高斯处方积分。由于 $g^{\mu\nu}g_{\nu\rho}=\delta^\mu{}_\rho$ ，非类光处的逆核就是 $g_{\mu\nu}/k^2$ 。具体应用上一节的模式积分时，取四个方向的符号 $(-1,1,1,1)$ ，负范数方向沿相同复路径积分，各零源行列式在比值中消去，再将标量分母取为共同的 $k^2-i0$ 。因而费曼规范核来自规范固定后的二次作用量。计算电子场的关联函数时，不必再把式（58.3）当作对每个积分变量的约束。

相互作用生成泛函

在已经固定的规范中加入源，取源项的次序为

\mathcal L_{\rm source} =J^\mu A_\mu+\bar\eta\Psi+\bar\Psi\eta . \tag{58.17}

$J^\mu$ 是偶源， $\eta,\bar\eta$ 是相互独立的格拉斯曼奇源。这些源用来取得指定分量的格林函数，故此处可任意取值。规范已在加源以前固定，后续求导不会用到守恒外源的限制。

自由费米高斯沿第43、44节，光子高斯用式（58.16）。两者独立，归一生成泛函相乘：

\begin{aligned} Z_0[\bar\eta,\eta,J] ={}&\exp\!\left[ i\int d^4x\,d^4y\,\bar\eta(x)S(x-y)\eta(y)\right]\\ &\times\exp\!\left[ \frac i2\int d^4x\,d^4y\,J^\mu(x)\Delta_{\mu\nu}(x-y)J^\nu(y)\right],\\ S(x-y)&=\int\frac{d^4p}{(2\pi)^4}\, e^{ip(x-y)}\frac{-\slashed p+m}{p^2+m^2-i0},\\ \Delta_{\mu\nu}(x-y)&=\int\frac{d^4k}{(2\pi)^4}\, e^{ik(x-y)}\frac{g_{\mu\nu}}{k^2-i0}. \end{aligned} \tag{58.18}

光子核带下指标，与两个上指标的 $J$ 缩并；它的 $1/2$ 来自实场二次型的对称性。费米二次型的两个源彼此独立，因而没有这个半因子。继续沿用 $S=i\langle\mathrm T\Psi\bar\Psi\rangle_0$ 和 $\Delta_{\mu\nu}=i\langle\mathrm TA_\mu A_\nu\rangle_0$ 。求逆时先用同一可逆调节核，随后取所写的费曼边界值。

把 $\exp[i\int\mathcal L_1]$ 展开，就可以用源导数代替其中的场。由式（58.17）的排列，三个替换依次为

A_\mu\ \longleftrightarrow\ \frac1i\frac{\delta}{\delta J^\mu}, \qquad \bar\Psi_a\ \longleftrightarrow\ i\frac{\delta^L}{\delta\eta_a}, \qquad \Psi_b\ \longleftrightarrow\ \frac1i\frac{\delta^L}{\delta\bar\eta_b}. \tag{58.19}

中间一项的号来自左奇导数： $\delta^L(\bar\Psi_a\eta_a)/\delta\eta_a=-\bar\Psi_a$ 。它对源指数求导给 $-i\bar\Psi_a$ ，再乘 $i$ 才插入所需的场。对 $\bar\eta$ 求导时不必越过另一个奇量，所以最后一项的系数是 $1/i$ 。普通的 $J^\mu$ 导数则插入 $A_\mu$ 。

保持相互作用中 $\bar\Psi_a(\gamma^\mu)_{ab}\Psi_b$ 的顺序，得到

\begin{aligned} \mathscr V={}&\exp\!\left[ ie\int d^4w\, \left(\frac1i\frac{\delta}{\delta J^\mu(w)}\right) \left(i\frac{\delta^L}{\delta\eta_a(w)}\right) (\gamma^\mu)_{ab} \left(\frac1i\frac{\delta^L}{\delta\bar\eta_b(w)}\right) \right],\\ Z[\bar\eta,\eta,J] &=\frac{\mathscr VZ_0[\bar\eta,\eta,J]} {(\mathscr VZ_0)[0,0,0]},\qquad Z=e^{iW}. \end{aligned} \tag{58.20}

导数从最右端开始作用。零源分母使 $Z[0,0,0]=1$ ；取对数后，完整连通分支的指数计数与第9、45节相同， $iW=\log Z$ 便只保留连通图。至此，计算所需的泛函已经确定，下面从一次顶角的实际求导读出各个图因子。

从一次顶角求导读出图因子

先只看费米高斯，简记 $Z_F=\exp(i\bar\eta S\eta)$ ，并令 $r_b(w)=(S\eta)_b(w)$ 、 $\ell_a(w)=(\bar\eta S)_a(w)$ 。它们都是奇量。一次 $\bar\eta$ 导数和一次 $\eta$ 导数分别给 $\delta^L_{\bar\eta_b}Z_F=ir_bZ_F$ 、 $\delta^L_{\eta_a}Z_F=-i\ell_aZ_F$ 。因此同一顶角内的有序求导为

\begin{aligned} \left(i\frac{\delta^L}{\delta\eta_a}\right) \left(\frac1i\frac{\delta^L}{\delta\bar\eta_b}\right)Z_F &=i\frac{\delta^L}{\delta\eta_a}(r_bZ_F)\\ &=\bigl[iS_{ba}(0)-r_b\ell_a\bigr]Z_F\\ &=\bigl[iS_{ba}(0)+\ell_a r_b\bigr]Z_F . \end{aligned} \tag{58.21}

第二行在乘积法则中用了 $r_b$ 为奇数；最后一行把两个奇量交换次序，使 $\bar\eta$ 重新处于左端。这个计算与第45节的汤川顶角相同，但现在两个旋量指标之间还要插入 $\gamma^\mu$ 。

光子导数则给出偶量 $B_\mu(w)=\int d^4z\,\Delta_{\mu\nu}(w-z)J^\nu(z)$ 。乘上 $\gamma^\mu$ 并对顶角位置积分，式（58.20）的一阶连通部分为

\begin{aligned} (iW)_{\text{一次顶角}} ={}&ie\int d^4w\,B_\mu(w) \int d^4x\,d^4y\, \bar\eta(x)S(x-w)\gamma^\mu S(w-y)\eta(y)\\ &-e\int d^4w\,B_\mu(w)\, \operatorname{tr}\!\left[\gamma^\mu S(0)\right]. \end{aligned} \tag{58.22}

第一项是一条连接两个费米源的开链，再接一条光子线。第二项把同一顶角的两个费米端收缩在一起，是一个闭合费米圈。其系数可以逐项读为 $(-1)(ie)(1/i)=-e$ ：顶角给 $ie$ ，费米传播线给 $S/i$ ，闭圈另外带负号。同点迹按共同调节定义；在保持电荷共轭的真空中，这个单光子项由下文费里定理的选择律消失。求树级顶角时只需保留第一项。

再对开链项取三个外源导数，并把源置零。 $\eta$ 左导数越过 $\bar\eta$ 源给一个负号，三个场插入的数值系数为 $(1/i)i(1/i)=1/i$ ，于是

\begin{aligned} &\langle0|\mathrm T\Psi_a(x)\bar\Psi_b(y)A_\nu(z)|0\rangle_C^{(1)}\\ &\qquad=-e\int d^4w\, [S(x-w)\gamma^\mu S(w-y)]_{ab}\Delta_{\mu\nu}(w-z). \end{aligned} \tag{58.23}

这也可以写成三个自由时间序核与一个局部顶角的乘积，因为

\frac{S}{i}\,(ie\gamma^\mu)\, \frac{S}{i}\,\frac{\Delta_{\mu\nu}}{i} =-e\,S\gamma^\mu S\Delta_{\mu\nu}. \tag{58.24}

除去外传播子之后，剩下的顶角恰为 $ie\gamma^\mu$ 。拉氏量在该顶角含一个 $A$ 、一个 $\Psi$ 和一个 $\bar\Psi$ ，没有同种场的局部阶乘。在高阶展开中，顶角位置的标号置换抵消指数的 $1/V!$ ，余下的同图重数按第9节的图对称性处理。狄拉克动能只含一次 $D_\mu$ ，所以本模型也没有 $A^2\bar\Psi\Psi$ 四价接触项。

还可以用一个简单的电子矩阵元确定同一顶角的整体号。沿已定的 $|p,s\rangle=b_s^\dagger(p)|0\rangle$ 归一，模式中的 $b^\dagger b$ 项给

\begin{aligned} \langle p',s'|j^\mu(x)|p,s\rangle &=e\bar u_{s'}(p')\gamma^\mu u_s(p)e^{i(p-p')x},\\ \langle p',s'|S^{(1)}|p,s\rangle_A &=ie\int d^4x\, \bar u_{s'}(p')\gamma^\mu u_s(p)A_\mu(x)e^{i(p-p')x}. \end{aligned} \tag{58.25}

这是一阶外给电磁势中的跃迁。它的 $ie$ 直接来自 $i\int jA$ ，也固定了费曼图与既有福克态约定之间的共同相位。

外线、内线与矩阵链

电子的外线仍按第45节约化，光子的外线按第56节约化。把模式与相应单粒子态重叠，四类费米端是

\begin{aligned} \langle0|\Psi(x)|e^-(p,s)\rangle &=u_s(p)e^{ipx},\\ \langle e^-(p,s)|\bar\Psi(x)|0\rangle &=\bar u_s(p)e^{-ipx},\\ \langle0|\bar\Psi(x)|e^+(p,s)\rangle &=\bar v_s(p)e^{ipx},\\ \langle e^+(p,s)|\Psi(x)|0\rangle &=v_s(p)e^{-ipx}. \end{aligned} \tag{58.26}

因此入电子乘 $u$ ，出电子乘 $\bar u$ ，入正电子乘 $\bar v$ ，出正电子乘 $v$ 。所有 $p$ 都表示正能的物理动量。费米箭头约定与粒子流一致，所以入电子的箭头指向顶角，出电子的箭头离开顶角；正电子的箭头恰好相反，沿箭头标出的动量分别是 $-p$ 、 $-p'$ 。旋量 $v$ 的宗量仍是正能 $p$ ，不能把箭头动量的负号另外移进 $v$ 的宗量。

第55节的光子展开将 $\varepsilon^{\mu*}$ 与湮灭算符相配。沿第56节单位单光子重叠的归一，

\begin{aligned} \langle0|A^\mu(x)|\gamma(k,\lambda)\rangle &=\varepsilon_\lambda^{\mu*}(k)e^{ikx},\\ \langle\gamma(k',\lambda')|A^\mu(x)|0\rangle &=\varepsilon_{\lambda'}^\mu(k')e^{-ik'x}. \end{aligned} \tag{58.27}

所以入光子乘 $\varepsilon^{\mu*}$ 、出光子乘 $\varepsilon^\mu$ 。波浪线的箭头只表示动量：入射时 $k$ 指向顶角，出射时 $k'$ 离开顶角。它与实费米线用来区分粒子流向的箭头作用不同。此处使用上一节的物理横向偏振；光子内线则仍须对四维动量和全部洛伦兹指标缩并。

将外传播子约化后，内部仍保留自由时间序核。因此内线与顶角的统一字典是

\begin{aligned} C_F(p)&=\frac{\widetilde S(p)}i =\frac{-i(-\slashed p+m)}{p^2+m^2-i0},\\ C_{\mu\nu}(k)&=\frac{\widetilde\Delta_{\mu\nu}(k)}i =\frac{-ig_{\mu\nu}}{k^2-i0},\\ V^\mu&=ie\gamma^\mu . \end{aligned} \tag{58.28}

这套字典使光子核的两个下指标分别接到两个顶角的上指标。若把内光子线改写为上指标度规，相邻两个顶角应同时写成 $ie\gamma_\mu$ 、 $ie\gamma_\nu$ 。两种写法通过度规升降完全相等。例如一条交换光子线给出的旋量缩并含有

(\bar u_1\gamma^\mu u_2)\,g_{\mu\nu}\, (\bar u_3\gamma^\nu u_4) =(\bar u_1\gamma_\mu u_2)\,g^{\mu\nu}\, (\bar u_3\gamma_\nu u_4). \tag{58.29}

外偏振也必须以同样的指标规则连接，譬如入光子顶角为 $ie\gamma^\mu\varepsilon_\mu^*$ 。

沿一条费米线，矩阵乘法的次序由实际收缩固定。从共轭旋量的一端出发，逆着费米箭头读到 $u$ 或 $v$ 端，依次写出遇到的顶角和内线。例如一条含两个顶角的电子链为

\begin{aligned} &\bar u_a(p')\,(ie\gamma^\nu)_{ab} [C_F(q)]_{bc}(ie\gamma^\mu)_{cd}u_d(p) \\ &\qquad=\bar u(p')\,ie\gamma^\nu C_F(q)\,ie\gamma^\mu u(p). \end{aligned} \tag{58.30}

每个重复旋量指标都连接相邻的两个因子，因而这一顺序不能任意交换。若右端接入光子、左端接出光子，再乘 $\varepsilon_\mu^*(k)\varepsilon_\nu(k')$ ，便得到相应图的全部指标缩并。把某个电子端换为正电子端时，只需按式（58.26）换成相应的 $v$ 或 $\bar v$ ，并保持箭头动量和矩阵链的次序。

怎样组成树级散射振幅

每个QED顶角连接一条进入的费米箭头、一条离开的费米箭头及一条光子线。给定外粒子后，按这种顶角连接所有拓扑不同的树图。树图没有闭合路径，故所有内部动量都由外动量决定。具体地，顶角位置积分给

\int d^4x\,e^{i(p+k-p')x} =(2\pi)^4\delta^4(p+k-p') . \tag{58.31}

它表示箭头向内的动量之和等于向外的动量之和。一条含 $V$ 个顶角的连通树有 $I=V-1$ 条内线； $V$ 个顶角 $\delta$ 函数中有一个表示总动量守恒，其余 $V-1$ 个恰好消去全部内动量积分。也可以切开任意一条内线：树被分成两个连通部分，分别将其中的顶角守恒式相加，内部动量成对消去，只剩所切内线的动量等于这一部分外动量的带号总和。这就逐条确定了全部内线动量。

计数还能说明当前近似保留到哪一阶。设外线总数为 $E$ ，每个顶角三价，连通图的圈数为 $L=I-V+1$ ，则

3V=2I+E,\qquad V=E-2+2L,\qquad V_{\rm tree}=E-2 . \tag{58.32}

因此固定外线的树项带 $e^{E-2}$ ，下一圈从 $e^E$ 开始。树级规则保留前者，省去圈修正及相应反项。实际大小还取决于运动学，当后续计算出现大的对数时，单凭 $|e|$ 较小仍不足以保证固定阶近似有效。

多条费米线的相对负号沿第45节确定。把各条箭头都画成从左到右，固定左端外粒子的标号次序，再比较右端标号的置换；奇置换带负号。这个规则的代数来源是有序奇源导数，或等价地，反对易的外粒子产生算符。对两条线，固定外场次序后的两种配对总有如下结构：

\mathcal K_{11}\mathcal K_{22} -\mathcal K_{12}\mathcal K_{21}. \tag{58.33}

其中 $\mathcal K_{ij}$ 表示从固定的共轭端 $i$ 连到未共轭端 $j$ 的整条旋量链，其内部可以含 $\gamma$ 矩阵和光子连接。第二项将两个同类端点交换一次，故多一个负号；链内新增的偶矩阵不改变这个统计号。端点置换确定的是同一基准下各图之间的相对号。整体相位继续沿 $b_1^\dagger d_2^\dagger|0\rangle$ 及同类粒子的既有福克排列，并可用式（58.25）固定。

将每幅图的外线、顶角、内线、指标缩并及相对统计号相乘，再对所有图求和，得到连通散射振幅 $i\mathcal T$ ：

\begin{aligned} \langle f|i\rangle_C &=(2\pi)^4\delta^4(P_f-P_i)\,i\mathcal T_{fi},\\ i\mathcal T_{fi}&=\sum_{\text{连通树图}}\mathcal A_{\rm graph}. \end{aligned} \tag{58.34}

外态约化仍使用第45、56节的渐近通道与单位重叠条件。每幅图已经包含式（58.28）中的 $i$ ，图求和以后不再另加一个 $i$ 。

这些规则的符号还可以用纵向光子作一个代数检验。令 $\mathscr D(p)=\slashed p+m$ ，先取传播分母非零的动量；克利福德关系给 $(\slashed p+m)(-\slashed p+m)=p^2+m^2$ ，于是 $\mathscr D(p)\widetilde S(p)=1$ 。取 $q=p'-p$ ，则

\begin{aligned} q_\mu\,ie\gamma^\mu &=ie[\mathscr D(p')-\mathscr D(p)],\\ \widetilde S(p')\slashed q\,\widetilde S(p) &=\widetilde S(p')\mathscr D(p')\widetilde S(p) -\widetilde S(p')\mathscr D(p)\widetilde S(p)\\ &=\widetilde S(p)-\widetilde S(p'),\\ C_F(p')\,ie\slashed q\,C_F(p) &=e[C_F(p)-C_F(p')] . \end{aligned} \tag{58.35}

最后一行用了 $C_F=\widetilde S/i$ ，所以系数与顶角的正号相合。把一个纵向光子依次接到同一条费米线的相邻位置时，右边的两项成对抵消，只剩链的端点。电子外端满足 $(\slashed p+m)u(p)=0$ 及 $\bar u(p')(\slashed p'+m)=0$ ；正电子端则满足 $(-\slashed p+m)v(p)=0$ 。这说明完整树图集合怎样消去外偏振中的规范方向。最简单的一阶矩阵元直接给 $q_\mu\bar u(p')\gamma^\mu u(p)=(-m+m)\bar u(p')u(p)=0$ ，与电子电流守恒相合。

上述恒等式先在非奇异动量处建立，再按共同真空处方取边界值。若在中间保留传播子分母中的有限 $\epsilon$ 、同时保持分子原样，则实际有

\mathscr D(p)\widetilde S_\epsilon(p) =\frac{p^2+m^2}{p^2+m^2-i\epsilon} =1+\frac{i\epsilon}{p^2+m^2-i\epsilon}. \tag{58.36}

保留有限调节时可从共同调节的狄拉克算符及其逆核开始，沿第43节的次序取真空边界值。电磁相互作用的局域相位、传播子、顶角和在壳旋量由此接在同一套约定上。

电磁势与场强的离散变换

由电流的离散变换，可以确定电磁势应怎样变换，使完整拉格朗日量保持宇称、时间反演和电荷共轭对称性。先取不附加规范变换的势代表。

沿本节的电荷和度规约定，相互作用写成

\begin{aligned} j^\mu(x)&=e:\bar\Psi(x)\gamma^\mu\Psi(x):,\qquad e<0,\\ A^\mu&=(A^0,\mathbf A),\qquad A_\mu=(-A^0,\mathbf A),\\ \mathcal L_{\rm int}&=j^\mu A_\mu=-\rho A^0+\mathbf j\cdot\mathbf A, \qquad \rho=j^0. \end{aligned} \tag{58.37}

冒号表示第40节所用的同一自由福克正规序。它使真空荷的减除与离散变换相容；若把同点电流延拓为相互作用中的复合算符，也使用保持这些变换的共同调节与减除。取 $x=(t,\mathbf x)$ ，并记

\begin{aligned} \mathcal P&=\operatorname{diag}(1,-1,-1,-1), &x_P&=\mathcal Px=(t,-\mathbf x),\\ \mathcal T&=\operatorname{diag}(-1,1,1,1), &x_T&=\mathcal Tx=(-t,\mathbf x). \end{aligned} \tag{58.38}

$P,C$ 是态空间的幺正算符， $T$ 是反幺正算符。数值电荷共轭矩阵仍记作 $\mathcal C$ ，时间反演的旋量矩阵为 $B=\mathcal C\gamma_5$ 。在第40节的双线性变换中令数值矩阵为 $\gamma^\mu$ ，所需的矩阵恒等式为

\begin{aligned} \beta\gamma^0\beta&=\gamma^0,& \beta\gamma^i\beta&=-\gamma^i,\\ B^{-1}(\gamma^0)^*B&=\gamma^0,& B^{-1}(\gamma^i)^*B&=-\gamma^i,\\ \mathcal C^{-1}(\gamma^\mu)^T\mathcal C&=-\gamma^\mu. \end{aligned} \tag{58.39}

宇称的场相位在双线性量中相消。把 $P^{-1}\Psi(x)P=i\beta\Psi(x_P)$ 和 $P^{-1}\bar\Psi(x)P=-i\bar\Psi(x_P)\beta$ 代入电流，便得到

\begin{aligned} P^{-1}j^\mu(x)P &=e:\bar\Psi(x_P)\beta\gamma^\mu\beta\Psi(x_P):\\ &=\mathcal P^\mu{}_{\nu}j^\nu(x_P). \end{aligned} \tag{58.40}

时间反演还要共轭数值矩阵，所以相应计算为

\begin{aligned} T^{-1}j^\mu(x)T &=e:\bar\Psi(x_T)B^{-1}(\gamma^\mu)^*B\Psi(x_T):\\ &=-\mathcal T^\mu{}_{\nu}j^\nu(x_T). \end{aligned} \tag{58.41}

这里 $e$ 为实数，因而 $e^*=e$ ；但 $T^{-1}iT=-i$ ，不能把作用于任意含 $i$ 的表达式的时间反演当成普通矩阵相似变换。上两式都使电荷密度为偶、空间电流反向，坐标的反演位置则不同。

电荷共轭保持坐标不动，却交换带相反电荷的场。用 $C^{-1}\Psi C=\mathcal C\bar\Psi^T$ 和 $C^{-1}\bar\Psi C=\Psi^T\mathcal C$ ，先保持两个奇场的原次序，再在正规序内交换它们：

\begin{aligned} C^{-1}j^\mu C &=e:\Psi^T\mathcal C\gamma^\mu\mathcal C\bar\Psi^T:\\ &=-e:\bar\Psi(\mathcal C\gamma^\mu\mathcal C)^T\Psi:\\ &=e:\bar\Psi\mathcal C^{-1}(\gamma^\mu)^T\mathcal C\Psi: =-j^\mu. \end{aligned} \tag{58.42}

第二行的负号来自交换一次奇场，第三行使用 $\mathcal C^T=\mathcal C^{-1}=-\mathcal C$ 。同一正规序减除了未正规序交换所带的真空接触项。 $C$ 的幺正性意味着它既不共轭 $i$ ，也不把参数 $e$ 改成 $-e$ 。实际反转的是电荷算符：由 $Q=e(N_b-N_d)$ 及 $C$ 交换 $b,d$ ，有 $C^{-1}QC=-Q$ 。

现在要求相互作用 $-\rho A^0+\mathbf j\cdot\mathbf A$ 在这三种变换下保持不变。在宇称和时间反演下， $\rho$ 保持符号而 $\mathbf j$ 反向，故 $A^0$ 也须保持符号、 $\mathbf A$ 反向。电荷共轭使电流的四个分量都变号，势也须整体变号。于是相应的规范代表为

\begin{aligned} P^{-1}A^\mu(x)P&=\mathcal P^\mu{}_{\nu}A^\nu(x_P),\\ T^{-1}A^\mu(x)T&=-\mathcal T^\mu{}_{\nu}A^\nu(x_T),\\ C^{-1}A^\mu(x)C&=-A^\mu(x). \end{aligned} \tag{58.43}

例如宇称作用于耦合后，两个空间分量的负号相消；时间反演有同样的分量计算，只需将 $x_P$ 换为 $x_T$ 。电荷共轭则使两个四矢量的负号相消：

\begin{aligned} P^{-1}\mathcal L_{\rm int}(x)P &=-\rho(x_P)A^0(x_P) +[-\mathbf j(x_P)]\cdot[-\mathbf A(x_P)]\\ &=\mathcal L_{\rm int}(x_P),\\ T^{-1}\mathcal L_{\rm int}(x)T&=\mathcal L_{\rm int}(x_T),\\ C^{-1}\mathcal L_{\rm int}(x)C&=(-j^\mu)(-A_\mu) =\mathcal L_{\rm int}(x). \end{aligned} \tag{58.44}

还应检查由势构成的麦克斯韦项。第54节的场强约定给出

\begin{aligned} E_i&=F^{0i}=-\partial_iA^0-\partial_t A_i,\\ B_i&=\epsilon_{ijk}\partial_jA_k,\qquad\epsilon_{123}=+1. \end{aligned} \tag{58.45}

在宇称变换后的函数中， $\partial_i$ 作用于 $x_P$ 会产生一个负号，而时间导数不变。以 $x'$ 表示变换后的自变量，逐项代入可得

\begin{aligned} P^{-1}E_i(x)P &=-\partial_i A^0(x_P)+\partial_t A_i(x_P)\\ &=\bigl[\partial'_i A^0+\partial'_{t}A_i\bigr]_{x'=x_P} =-E_i(x_P),\\ P^{-1}B_i(x)P &=-\epsilon_{ijk}\partial_jA_k(x_P) =\epsilon_{ijk}\partial'_jA_k(x_P) =B_i(x_P). \end{aligned} \tag{58.46}

时间反演中恰好相反：空间导数不变，而 $\partial_t$ 作用于 $x_T$ 产生负号。场强定义中的系数都是实数，反幺正性不再带来额外的数值共轭号。因此

\begin{aligned} T^{-1}E_i(x)T &=-\partial_i A^0(x_T)+\partial_t A_i(x_T)\\ &=\bigl[-\partial'_i A^0-\partial'_{t}A_i\bigr]_{x'=x_T} =E_i(x_T),\\ T^{-1}B_i(x)T &=-\epsilon_{ijk}\partial_jA_k(x_T) =-B_i(x_T). \end{aligned} \tag{58.47}

电荷共轭不改变自变量，场强对势又是线性的，故

C^{-1}\mathbf E(x)C=-\mathbf E(x),\qquad C^{-1}\mathbf B(x)C=-\mathbf B(x). \tag{58.48}

这些结果也给出熟悉的物理区别：电场在空间反演下是极矢量，磁场是轴矢量；反转时间保持静电场，却反转由电流产生的磁场；把所有电荷换成相反电荷则同时反转两种场。由于降低一个时间指标会带来负号，麦克斯韦项为

\begin{aligned} F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}&=2(\mathbf B^2-\mathbf E^2),\\ \mathcal L_{\mathrm{EM}} &=-\frac14F^{\mu\nu}F_{\mu\nu} =\frac12(\mathbf E^2-\mathbf B^2). \end{aligned} \tag{58.49}

三种变换都保持这两个平方，因而只把拉氏密度移到相应的 $x_P$ 、 $x_T$ 或 $x$ 。配合耦合项的结果和第40节的自由狄拉克变换，便得到完整作用量的对称性。

势本身仍有规范自由度。记 $R$ 为上述任一离散变换；在未固定规范时，变换后的场还可作本节的联合规范变换

\begin{aligned} A_R^\mu&\longmapsto A_R^\mu-\partial^\mu\Lambda_R, &\Psi_R&\longmapsto e^{-ie\Lambda_R}\Psi_R,\\ \delta F_R^{\mu\nu} &=-(\partial^\mu\partial^\nu-\partial^\nu\partial^\mu)\Lambda_R=0. \end{aligned} \tag{58.50}

这里 $\Lambda_R$ 是与边界条件相容的实函数。固定规范以后，只保留该规范允许的补偿或残余变换。式（58.43）选择 $\Lambda_R=0$ ；它保持齐次库仑规范条件，也保持协变规范的平方项 $-(\partial_\mu A^\mu)^2/(2\xi)$ ：散度在 $P$ 下仅改坐标，在 $T,C$ 下还变号，平方均不变。场强的三个变换不依赖这一规范代表选择。

费里定理

上面的变换表明，电荷共轭将每个光子场插入变成它的负值。要据此求真空关联函数，还须选择实现这一对称性的真空。以下取零外电磁背景的QED，令相互作用真空 $|\Omega\rangle$ 满足

C|\Omega\rangle=e^{i\theta_C}|\Omega\rangle, \qquad C^\dagger C=I. \tag{58.51}

规范固定、调节器和复合算符减除也取为与 $C$ 相容。这使上面的场变换在量子理论中成立，并保证相互作用保持电荷共轭。

先直接考察时间序积。令 $A_r=A^{\mu_r}(x_r)$ ，用 $\Theta_\pi$ 表示把置换 $\pi$ 中的时间排为降序的阶跃函数乘积。所有光子场都是玻色场，时间排序不带费米交换号。由于 $C$ 不改变时间，也不改变算符乘积的次序，可以在每一个已排序的乘积中逐个插入 $CC^{-1}$ ：

\begin{aligned} \mathrm T(A_1\cdots A_N) &=\sum_{\pi\in S_N}\Theta_\pi A_{\pi(1)}\cdots A_{\pi(N)},\\ C^{-1}\mathrm T(A_1\cdots A_N)C &=\sum_{\pi\in S_N}\Theta_\pi (C^{-1}A_{\pi(1)}C)\cdots(C^{-1}A_{\pi(N)}C)\\ &=(-1)^N\mathrm T(A_1\cdots A_N). \end{aligned} \tag{58.52}

例如在时间互异处， $\Theta_\pi=\prod_{r=1}^{N-1} \theta(x^0_{\pi(r)}-x^0_{\pi(r+1)})$ 。在重合位置，这个等式通过同一 $C$ 相容的调节及接触项定义延拓。这里 $C$ 为幺正，因而没有时间反演所需的复共轭，也没有改变费曼边界值的 $i0$ 处方。

将式（58.52）夹在真空之间，式（58.51）中的相位在左右两边抵消，得到

\begin{aligned} G_N^{\mu_1\cdots\mu_N}(x_1,\ldots,x_N) &=\langle\Omega|\mathrm T(A_1\cdots A_N)|\Omega\rangle\\ &=\langle\Omega|C^{-1}\mathrm T(A_1\cdots A_N)C|\Omega\rangle\\ &=(-1)^N G_N^{\mu_1\cdots\mu_N}(x_1,\ldots,x_N). \end{aligned} \tag{58.53}

因此奇数光子关联函数为零。其连通部分同样为零：零源归一的生成泛函满足 $Z[J]=Z[-J]$ ，故在 $J=0$ 附近的形式展开中， $-i\ln Z[J]$ 也只含偶数阶项。第56节的光子约化对每个入、出插入施加线性的偏振投影、傅里叶积分和 $D_0=-\partial^2$ 。这些操作作用于零分布仍为零，所以在该节所说明的光子渐近态和约化条件下，奇数条外光子线的连通幅为零。

还可以直接在散射态上看出这里的“奇数”为什么同时包括入射与出射光子。将 $C^{-1}A_iC=-A_i$ 代入第56节的模式反解， $C$ 不共轭其中的 $i$ 、偏振或平面波，因此两类渐近模式都满足

\begin{aligned} C^{-1}a_{\lambda,{\rm in/out}}(\mathbf k)C &=-a_{\lambda,{\rm in/out}}(\mathbf k),\\ C^{-1}a^\dagger_{\lambda,{\rm in/out}}(\mathbf k)C &=-a^\dagger_{\lambda,{\rm in/out}}(\mathbf k). \end{aligned} \tag{58.54}

电荷共轭不反转时间，也就不交换入、出标签。为写出 $S$ 矩阵，把两组渐近态表示在同一个自由光子福克空间中，零光子态与 $|\Omega\rangle$ 相对应；以下 $|i\rangle,|f\rangle$ 均指这个共同表示中的态。每个产生算符提供一个负号。若初态有 $N_i$ 个光子、末态有 $N_f$ 个光子，便有

\begin{aligned} C|i\rangle&=e^{i\theta_C}(-1)^{N_i}|i\rangle,\\ C|f\rangle&=e^{i\theta_C}(-1)^{N_f}|f\rangle. \end{aligned} \tag{58.55}

在同一个受调节理论中，电荷共轭保持相互作用哈密顿量。由于 $C$ 为幺正，它也保持戴森展开中的 $-i$ 和时间排序，故 $C^{-1}SC=S$ 。于是完整散射矩阵元满足

\begin{aligned} \mathcal A_{fi}=\langle f|S|i\rangle &=\langle f|C^{-1}SC|i\rangle\\ &=\langle Cf|S|Ci\rangle =(-1)^{N_f+N_i}\mathcal A_{fi},\\ N_f+N_i\ \text{为奇数}\quad&\Longrightarrow\quad\mathcal A_{fi}=0. \end{aligned} \tag{58.56}

这就是费里定理（Furry's theorem）。外光子总数是 $N_i+N_f$ ；完整矩阵元中的未散射内积也包括在上述证明内。例如 $2\gamma\to3\gamma$ 共有五条外光子线，在这样的QED真空中其振幅为零。若外态含电子或正电子，电荷共轭通常把它变成另一组散射态，所得关系便是两个过程之间的关系。固定的带电介质或外电磁背景也会在 $C$ 下改变；这时应比较相反背景中的响应，不能把这里的零背景选择律直接移用过去。

下一节用这些费曼规则计算电子正电子湮灭。

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