Srednicki §45 狄拉克场的费曼规则

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将自由传播子、有源生成泛函和 LSZ 公式用于汤川相互作用，可以直接求出树级散射振幅。源微分确定连通图的旋量缩并与费米交换号，外腿约化再给出电子、正电子和标量的外线因子。本节依次计算电子与标量散射、正电子与标量散射、对湮灭以及两条费米线的散射。

汤川理论与联合生成泛函

所讨论的汤川理论含质量为 $m$ 的狄拉克场与质量为 $M$ 的实标量场。两种场通过局部三次项相互作用；取实耦合 $g$ ，拉氏密度为

\begin{aligned} \mathcal L_0 &=-\frac12\partial^\mu\varphi\,\partial_\mu\varphi -\frac12M^2\varphi^2 +i\bar\Psi\slashed\partial\Psi-m\bar\Psi\Psi,\\ \mathcal L_1&=g\varphi\bar\Psi\Psi . \end{aligned} \tag{45.1}

相互作用使标量耦合于费米子的双线性量 $\bar\Psi\Psi$ 。这一双线性量是厄米的，因而实 $g$ 使作用量保持厄米。在四维时空中，动能项分别固定 $[\varphi]=1$ 、 $[\Psi]=3/2$ ，相互作用项于是给出 $[g]=4-1-3=0$ 。这个耦合是无量纲的，单凭外动量的增大或减小便不能判断相互作用会变强还是变弱，属于第12节所讨论的重要情形。以下先求最低树阶的贡献，重整化因子和反项在这一阶暂可略去。

加入相互作用后，区分粒子与反粒子的守恒荷仍然存在。全局相位变换 $\Psi\mapsto e^{-i\alpha}\Psi$ 、 $\bar\Psi\mapsto\bar\Psi e^{i\alpha}$ 使 $\bar\Psi\Psi$ 不变， $\varphi$ 也不变；汤川项又不含场的导数，因此原来的诺特流及其守恒方程为

j^\mu=\bar\Psi\gamma^\mu\Psi,\qquad \partial_\mu j^\mu=0,\qquad Q=N_b-N_d . \tag{45.2}

这一守恒性也直接体现在场方程中。由 $(i\slashed\partial-m+g\varphi)\Psi=0$ 和 $i(\partial_\mu\bar\Psi)\gamma^\mu+(m-g\varphi)\bar\Psi=0$ 计算 $\partial_\mu(\bar\Psi\gamma^\mu\Psi)$ 时，来自两个方程的质量项和耦合项分别抵消，留下零。把 $b$ 粒子称为电子 $e^-$ ，把 $d$ 粒子称为正电子 $e^+$ 。若采用通常的电荷单位 $e>0$ ，物理电荷算符便是 $-eQ$ ，而实标量不带电。这种标量与费米双线性量的耦合也见于第88节的希格斯理论；这里先研究式（45.1）所给的实标量模型。

为计算散射，先把两类场的自由生成泛函合在一起。自由标量与自由狄拉克场彼此独立，积分可分别进行，故联合泛函是两者之积：

Z_0[\bar\eta,\eta,J] =\exp\!\left(i\bar\eta S\eta+\frac i2J\Delta_MJ\right), \tag{45.3}

这里的连续指标缩并同时包括时空积分，费米部分还包括旋量指标求和。两种核分别为

\begin{aligned} S(x-y) &=\int\frac{d^4p}{(2\pi)^4}\, e^{ip(x-y)}\frac{-\slashed p+m}{p^2+m^2-i0},\\ \Delta_M(x-y) &=\int\frac{d^4k}{(2\pi)^4}\, \frac{e^{ik(x-y)}}{k^2+M^2-i0}. \end{aligned} \tag{45.4}

下标 $M$ 强调这是标量质量；以下在含义明确时也将此核简写成 $\Delta$ ，省去下标。有了自由泛函，便可通过对源微分逐次插入相互作用。按照第43节的左微分规则，将 $\varphi,\bar\Psi,\Psi$ 依原来的次序替换成相应的插入算符，得到

\begin{aligned} \mathscr V &=\exp\!\left[ ig\int d^4w\, \left(\frac1i\frac{\delta}{\delta J(w)}\right) \left(i\frac{\delta^L}{\delta\eta_\alpha(w)}\right) \left(\frac1i\frac{\delta^L}{\delta\bar\eta_\alpha(w)}\right) \right],\\ Z[\bar\eta,\eta,J]&=\frac{\mathscr V Z_0}{(\mathscr VZ_0)[0,0,0]}, \qquad Z=\exp(iW). \end{aligned} \tag{45.5}

分母使零源处满足 $Z[0]=1$ ，再取对数即可选出连通贡献。第9节的连通分支计数在这里仍然成立：完整的相互作用顶点和费米链都是偶的，交换两个独立连通分支不带负号；同类分支的 $n!$ 计数仍将连通部分组合成指数。费米子的交换号则保留在各个连通分支内部，由奇源的排列决定。

从源图读出顶角和旋量线

把生成泛函画成图时，用虚线表示 $\Delta/i$ ，用带箭头的实线表示 $S/i$ ，它们分别是两类自由场的时间序关联函数。展开 $i\int\mathcal L_1$ 所得的汤川顶点带因子 $ig\delta_{\alpha\beta}$ 。由于每个顶点恰含一个 $\Psi$ 和一个 $\bar\Psi$ ，一条费米箭头必须进入，另一条必须离开；实标量则没有粒子与反粒子的区别。

箭头方向可直接从自由源项 $i\bar\eta(x)S(x-y)\eta(y)$ 读出：它从 $y$ 端的 $\eta$ 指向 $x$ 端的 $\bar\eta$ 。所以，箭头背离源圆点时，该端带 $i\int d^4y\,\eta(y)$ ；箭头指向源圆点时，该端带 $i\int d^4x\,\bar\eta(x)$ ，虚线源圆点则带 $i\int d^4z\,J(z)$ 。将端点因子与传播子的 $i$ 按上述规则相乘，便重现式（45.3）。两个相同标量源有两种等价标记，所以带 $1/2$ ，而有向费米源对的两端不同，不带这个因子。

至多四源的连通树图。圆点表示外源；实线箭头由 $\eta$ 端指向 $\bar\eta$ 端。两条费米链的整支交换使(d)带对称因子2。

接着看相互作用顶点怎样连接这些源。为了同时写清时空积分和旋量指标，先定义

\begin{aligned} \Phi_J(w)&=\int d^4z\,\Delta(w-z)J(z),\\ R(w)&=\int d^4x\,d^4y\, \bar\eta_\alpha(x)S_{\alpha\gamma}(x-w) S_{\gamma\beta}(w-y)\eta_\beta(y). \end{aligned} \tag{45.6}

其中 $\Phi_J$ 是标量在源作用下的位移， $R$ 则是自由场双线性量 $\bar\Psi\Psi$ 中含两个费米源的部分。它们都能从自由泛函直接求得。例如，在一个顶点处先插入 $\Psi_\gamma$ ，再插入 $\bar\Psi_\gamma$ ，左微分给出

i\frac{\delta^L}{\delta\eta_\gamma(w)} \left[\int d^4y\,S_{\gamma\beta}(w-y)\eta_\beta(y)\,Z_0\right] =\big[i\,\operatorname{tr}S(0)+R(w)\big]Z_0 . \tag{45.7}

右侧第一项来自同点收缩，须和其余表达式使用共同的调节。第二项保留两份外源，其中将 $\eta$ 移过 $\bar\eta$ 所生的负号，抵消了源微分的负号。取这一开口部分，再乘标量位移及顶点因子 $ig$ ，便得到三源树项：

\begin{aligned} (iW)_{\bar\eta\eta J} &=ig\int d^4w\,R(w)\Phi_J(w)\\ &=ig\int d^4x\,d^4w\,d^4y\,d^4z\, \bar\eta(x)S(x-w)S(w-y)\eta(y)\, \Delta(w-z)J(z). \end{aligned} \tag{45.8}

其中 $w$ 是顶点的积分坐标。也可沿图依次相乘：三个源给 $i^3$ ，两实一虚的三条传播线给 $(1/i)^3$ ，顶点给 $ig$ ，故总因子仍是 $ig$ 。旋量链从带横线的源端写起，顺次为 $S(x-w)S(w-y)$ ；两个核相邻的指标在顶点处缩并，不能任意调整矩阵次序。

式（45.7）的同点迹则给标量一点图。我们取 $\langle\varphi\rangle=0$ 的展开点，可以通过平移标量或在拉氏密度中加入线性项，使完整一点函数为零；依第9节的一点条件，附着在其它图上的蝌蚪分支也随之消去。这样，应用LSZ的标量场就具有零真空重叠。约化还使用稳定单粒子极点、非零留数和渐近散射态，具体条件沿第5节与第41节。

两种连通四点函数

二体散射接下来需要两类四点函数：一类含一条费米链和两条标量外腿，另一类含两条费米链。它们来自不同的四源树项，我们先将这两项写出，再用有序源微分取得外场。

在给定标量背景 $\varphi$ 下，费米二次核变为 $\mathscr D-g\varphi$ ，其中 $\varphi$ 作为坐标空间的乘法算符。背景可插在自由传播链上任意多次；将逆核按耦合逐阶展开，有

(\mathscr D-g\varphi)^{-1} =S+gS\varphi S+g^2S\varphi S\varphi S+\cdots . \tag{45.9}

将右侧左乘 $\mathscr D-g\varphi$ ，相邻两阶的非自由项逐项抵消，说明这一展开确实逐阶满足逆核关系。求含两个标量源的树项时，每个 $\varphi$ 都取其源位移 $\Phi_J$ ；若将两个 $\varphi$ 互相收缩，新增的标量线会与费米链形成一个圈，超出当前的树阶。因此，一条费米链上的四源贡献为

\begin{aligned} (iW)_{\bar\eta\eta JJ} =ig^2\int &d^4x\,d^4y\,d^4w_1\,d^4w_2\, \bar\eta(x)S(x-w_1)S(w_1-w_2)S(w_2-y)\eta(y)\\ &\times\Phi_J(w_1)\Phi_J(w_2). \end{aligned} \tag{45.10}

链的起端和终端已有区别，两个顶点在链上的先后位置也随之确定。展开相互作用指数所得的 $1/2!$ 被两个顶点的标号交换消去，因而上式没有额外的二分之一。

另一类四源树项由标量线连接两条费米链。可以先对标量完成平方，将它的总源写成 $J+gB$ ，其中 $B=\bar\Psi\Psi$ ，得到指数 $i(J+gB)\Delta(J+gB)/2$ 。其中的 $i g^2 B\Delta B/2$ 把两个双线性量连在一起；各取它们的两源树部分，就有

(iW)_{\bar\eta\eta\bar\eta\eta} =\frac{ig^2}{2}\int d^4w_1\,d^4w_2\, R(w_1)\Delta(w_1-w_2)R(w_2). \tag{45.11}

$R$ 是偶量，交换两条完整源链不改变表达式，所以此处保留 $1/2$ ，对应源图(d)的对称因子。连接两条链的标量线又使整个四源项连通，故这一项属于 $iW$ 。

还可以通过端点计数确认四外线树图恰需两个顶点，因而上述两种结构已经列全。设连通图含 $V$ 个汤川顶点、 $I_F$ 条内费米线及 $I_B$ 条内标量线，费米和标量外线数分别为 $E_F,E_B$ 。每条内线在顶点处有两个线端，每条外线只有一个，故

\begin{aligned} 2V&=2I_F+E_F,\qquad V=2I_B+E_B,\\ L&=I_F+I_B-V+1,\qquad V=E_F+E_B-2+2L . \end{aligned} \tag{45.12}

最后一个等式结合了连通图的圈数关系。四点函数在树级 $L=0$ 时恰有 $V=2$ ，而同一模型的下一阶是 $V=4$ ，即 $g^4$ ；这也确定了四点函数展开中余项的起始阶数。

现在从四源项取出外场。对式（45.10）作用导数链

\frac1i\frac{\delta^L}{\delta\bar\eta_\alpha(x)} \left(i\frac{\delta^L}{\delta\eta_\beta(y)}\right) \frac1i\frac{\delta}{\delta J(z_1)} \frac1i\frac{\delta}{\delta J(z_2)} . \tag{45.13}

两次普通源微分分别作用在两个 $\Phi_J$ 上，有两种指派，给出两个标量外点的配对。奇导数先作用在 $\eta$ 上，要越过它左边的 $\bar\eta$ ，产生一个负号；两个标量插入的 $(1/i)^2=-1$ 正好与之相消，而余下奇插入的数值因子为 $(1/i)i=1$ 。将源全部置零，得到

\begin{aligned} &\langle T\Psi_\alpha(x)\bar\Psi_\beta(y) \varphi(z_1)\varphi(z_2)\rangle_C\\ &\quad=ig^2\int d^4w_1\,d^4w_2\, [S(x-w_1)S(w_1-w_2)S(w_2-y)]_{\alpha\beta}\\ &\qquad\qquad\times \big[\Delta(z_1-w_1)\Delta(z_2-w_2) +\Delta(z_2-w_1)\Delta(z_1-w_2)\big] +O(g^4). \end{aligned} \tag{45.14}

总因子 $ig^2=(1/i)^5(ig)^2$ 对应两个顶点和五条尚未截除的传播线。两个标量外点互换时，两项彼此交换，整个关联函数保持不变。

两个标量外点的两种连接。内部 $w_1,w_2$ 是积分变量，互换它们会把图中的链次序改写成式（45.14）的次序；两个外点的交换项须一并保留。

四费米函数的区别在于，所有外场都由奇源微分产生，配对之间的符号也必须一并保留。固定场链及相应微分链，依次为

\begin{gathered} \Psi_{\alpha_1}(x_1)\bar\Psi_{\beta_1}(y_1) \Psi_{\alpha_2}(x_2)\bar\Psi_{\beta_2}(y_2),\\ (i^{-1}\delta^L_{\bar\eta_1})(i\delta^L_{\eta_1}) (i^{-1}\delta^L_{\bar\eta_2})(i\delta^L_{\eta_2}). \end{gathered}

为便于分辨端点配对，记

T_{ij}(w) =[S(x_i-w)S(w-y_j)]_{\alpha_i\beta_j}. \tag{45.15}

四个导数作用在 $R(w_1)R(w_2)$ 上时，两套带横线的源有两种指派，两套未加横线的源也有两种指派。保持导数次序不变，将这四种可能分别写出，得到

\begin{aligned} &T_{11}(w_1)T_{22}(w_2)+T_{11}(w_2)T_{22}(w_1)\\ &\quad-T_{12}(w_1)T_{21}(w_2)-T_{12}(w_2)T_{21}(w_1). \end{aligned} \tag{45.16}

保留每条链的原配对时，导数排列为偶；交叉指派两个 $y$ 端则要交换一次奇导数，因而带负号。若同时交换两条完整链，要交换四个奇因子，所得符号又为正。这些符号也可按第43节四源系数的计算逐项读出。

四项中还有顶点标号造成的重复。由于 $\Delta(w_1-w_2)=\Delta(w_2-w_1)$ ，每行两项在交换积分变量 $w_1,w_2$ 后相等，其重复次数恰好消去源项的 $1/2$ 。于是四费米连通函数为

\begin{aligned} &\langle T\Psi_{\alpha_1}(x_1)\bar\Psi_{\beta_1}(y_1) \Psi_{\alpha_2}(x_2)\bar\Psi_{\beta_2}(y_2)\rangle_C\\ &\quad=ig^2\int d^4w_1\,d^4w_2\, \Delta(w_1-w_2) \big[T_{11}(w_1)T_{22}(w_2)-T_{12}(w_1)T_{21}(w_2)\big] +O(g^4). \end{aligned} \tag{45.17}

这一次，交换两个同类费米外点及其旋量指标会使关联函数变号。标量例中的正和与这里的直接项减交换项，都由相应源导数的交换性质给出。

两条费米线的直接连接与交换连接。固定左端 $y_1,y_2$ ，右端交换一次产生相对负号；也可固定右端并交换左端。内部顶点坐标可重命名。

同一方法也适用于更多费米线：固定所有箭头起端的次序，再把终端配对写成一个排列。交换两个终端等价于交换两个同类奇源导数，因而贡献乘 $-1$ ；将任意排列分解为相邻交换，就得到它的奇偶号。也可固定终端，改由起端的排列确定符号，两种选法都给出相同的配对奇偶号。

这条规则给出了各图之间的相对号。要把它用于指定初、末福克态的矩阵元，还应由LSZ场链固定一个参考图的整体号。下面通过电子与标量的散射同时求出这个号和外旋量因子。

电子与标量的散射

先取入态 $|i\rangle=b_s^\dagger(\mathbf p)_{\rm in} a^\dagger(\mathbf k)_{\rm in}|0\rangle$ ，出态采用同样的产生次序；取厄米共轭成为左矢时，算符次序反转，故

\begin{aligned} \langle f|i\rangle &=\langle0|a(\mathbf k')_{\rm out}b_{s'}(\mathbf p')_{\rm out} b_s^\dagger(\mathbf p)_{\rm in}a^\dagger(\mathbf k)_{\rm in}|0\rangle,\\ \langle f|i\rangle_C &=(2\pi)^4\delta^4(p+k-p'-k')\,i\mathcal T_{e^-\varphi}. \end{aligned} \tag{45.18}

这里用正能在壳动量表示波包的平面波极限。未散射的波包内积仍按第41节保留， $\mathcal T$ 则取出其中的连通散射部分。对这一部分应用LSZ，四条外腿替换为

\begin{aligned} b_s^\dagger(\mathbf p)_{\rm in} &\longmapsto i\int d^4y\, \bar\Psi(y)\overleftarrow{\mathscr D}_y u_s(\mathbf p)e^{ipy},\\ b_{s'}(\mathbf p')_{\rm out} &\longmapsto i\int d^4x\, e^{-ip'x}\bar u_{s'}(\mathbf p')\mathscr D_x\Psi(x),\\ a^\dagger(\mathbf k)_{\rm in} &\longmapsto i\int d^4z_1\,e^{ikz_1}K_M\varphi(z_1),\\ a(\mathbf k')_{\rm out} &\longmapsto i\int d^4z_2\,e^{-ik'z_2}K_M\varphi(z_2),\\ \overleftarrow{\mathscr D}&=i\overleftarrow{\slashed\partial}+m, \qquad K_M=-\partial^2+M^2 . \end{aligned} \tag{45.19}

这里 $K_M\Delta_M=\delta^4$ ，因此标量外腿采用质量 $M$ 。中译本这两条标量约化式中的 $m^2$ 应改为 $M^2$ 。

四个LSZ前因子相乘为 $i^4=1$ 。将式（45.14）代入后， $\mathscr D_xS(x-w_1)$ 、 $S(w_2-y)\overleftarrow{\mathscr D}_y$ 以及两个 $K_M\Delta$ 各化成一个 $\delta$ 函数，恰好消去四条外传播子。再对 $x,y,z_1,z_2$ 积分，外腿只留下平面波相位和旋量，得到

\begin{aligned} \langle f|i\rangle_C =ig^2\int &d^4w_1\,d^4w_2\, \bar u_{s'}(\mathbf p')S(w_1-w_2)u_s(\mathbf p)\, e^{-ip'w_1+ipw_2}\\ &\times\big[e^{-ik'w_1+ikw_2} +e^{ikw_1-ik'w_2}\big]+O(g^4). \end{aligned} \tag{45.20}

方括号中的两个标量接法依次写成 $s$ 型和 $u$ 型。为求第一项，给内传播子引入傅里叶动量 $q$ ；余下的坐标依赖都是平面波，两个顶点的积分依次给出

\begin{aligned} &\int\frac{d^4q}{(2\pi)^4}\, \frac{-\slashed q+m}{q^2+m^2-i0} \int d^4w_1\,e^{i(q-p'-k')w_1} \int d^4w_2\,e^{i(p+k-q)w_2}\\ &\quad=\int\frac{d^4q}{(2\pi)^4}\, (2\pi)^4\delta^4(q-p'-k')\, (2\pi)^4\delta^4(p+k-q) \frac{-\slashed q+m}{q^2+m^2-i0}\\ &\quad=(2\pi)^4\delta^4(p+k-p'-k') \frac{-\slashed p-\slashed k+m}{(p+k)^2+m^2-i0}. \end{aligned} \tag{45.21}

对 $q$ 的 $\delta$ 积分消去一份 $(2\pi)^4$ ，留下的另一份乘着总动量守恒 $\delta$ 。第二项的计算仅改变两处标量相位，顶点指数中的动量组合成为 $q-p'+k$ 和 $p-k'-q$ ，因此内动量固定为 $q=p-k'=p'-k$ ，而总 $\delta$ 相同。定义 $s=-(p+k)^2$ 、 $u=-(p-k')^2$ ，截去这份总 $\delta$ ，便得到树级振幅：

\begin{aligned} i\mathcal T_{e^-\varphi} =ig^2\bar u_{s'}(\mathbf p')\left[ \frac{-\slashed p-\slashed k+m}{m^2-s-i0} +\frac{-\slashed p+\slashed k'+m}{m^2-u-i0} \right]u_s(\mathbf p)+O(g^4). \end{aligned} \tag{45.22}

现在可以从结果读出动量空间图的规则。四条外传播子消失以后，每条内线留下 $S/i$ ，两个顶点给 $(ig)^2$ ，所以总因子 $(1/i)(ig)^2=ig^2$ 与逐坐标约化的结果一致。入射电子带 $u$ ，出射电子带 $\bar u$ ，中间的矩阵按原费米链的缩并次序相乘。

电子与标量散射。内费米动量分别为 $p+k$ 和 $p-k'$ ；一条费米链上的两个标量接法给相对正号。

是否可以省去 $i0$ ，取决于内传播子是否会在所讨论的运动学区域内在壳。在 $m>0$ 、 $0<M<2m$ 的稳定外标量区间，分母确实不会为零，其运动学原因可直接看出。在 $p$ 的静止系中有 $p\cdot k'=-m k'^0\leq-mM$ ；另一方面，入射两粒子的质心总能量至少为 $m+M$ 。因而

s\geq(m+M)^2>m^2,\qquad u=m^2+M^2+2p\cdot k'\leq(m-M)^2<m^2 . \tag{45.23}

所以 $s$ 、 $u$ 两道的内动量都离开费米子的质量壳。同一质量条件也关闭了 $\varphi\to e^-e^+$ 的两体衰变；将标量用作外腿时，再结合前面说明的稳定极点及微扰条件，就得到此处约化所用的参数范围。

若离开这个范围，弹性运动学本身便不再排除极点。举例说，取 $M=3m$ 、 $s=25m^2$ ，质心系中的动量和两粒子能量为

\begin{aligned} p_*^2&=\frac{[s-(m+M)^2][s-(m-M)^2]}{4s} =\frac{189}{100}m^2,\\ E_f&=\frac{17}{10}m,\qquad E_\varphi=\frac{33}{10}m,\\ u&=m^2+M^2-2E_fE_\varphi-2p_*^2\cos\theta\\ &=-\frac{61}{50}m^2-\frac{189}{50}m^2\cos\theta . \end{aligned} \tag{45.24}

这里 $\theta$ 是初、末电子三动量的夹角。当 $\cos\theta=-37/63$ 时，上式给出 $u=m^2$ ，内费米子恰好在壳；不过质量为 $3m$ 的标量此时已经能衰变，不能再作为稳定的LSZ外粒子。无质量标量在非零能量处仍有 $p\cdot k'<0$ ，其软端点需要另取极限。为保留这些边界信息，以下仍写出 $i0$ ，在已知离壳的区域再将它省略。

正电子与标量的散射

接着把电子换成正电子。相应地将入射产生算符换成 $d^\dagger$ ，出射湮灭算符换成 $d$ ，而标量算符及整个矩阵元中的次序保持不变：

\langle f|i\rangle =\langle0|a(\mathbf k')_{\rm out}d_{s'}(\mathbf p')_{\rm out} d_s^\dagger(\mathbf p)_{\rm in}a^\dagger(\mathbf k)_{\rm in}|0\rangle . \tag{45.25}

标量腿因此沿用前面的替换，带电腿则改为

\begin{aligned} d_s^\dagger(\mathbf p)_{\rm in} &\longmapsto-i\int d^4x\,e^{ipx} \bar v_s(\mathbf p)\mathscr D_x\Psi(x),\\ d_{s'}(\mathbf p')_{\rm out} &\longmapsto-i\int d^4y\, \bar\Psi(y)\overleftarrow{\mathscr D}_y v_{s'}(\mathbf p')e^{-ip'y}. \end{aligned} \tag{45.26}

出射旋量的物理动量为 $p'$ ，所以平面波也必须取 $e^{-ip'y}$ 。

与电子情形相比，还须注意场的次序：上述替换产生 $T\bar\Psi(y)\Psi(x)\varphi(z_1)\varphi(z_2)$ 。要使用式（45.14），需先交换两份奇场，

T\bar\Psi_\beta(y)\Psi_\alpha(x) =-T\Psi_\alpha(x)\bar\Psi_\beta(y). \tag{45.27}

四条腿的数值因子仍是 $(-i)^2i^2=+1$ ，所以场的换序留下一个负号。截除外传播子后，可从式（45.20）出发，把外旋量换成 $\bar v_s(\mathbf p)$ 、 $v_{s'}(\mathbf p')$ ，费米相位换成 $e^{ipw_1-ip'w_2}$ ，并在整体乘 $-1$ 。

再确定两个接法的内动量。将入射标量接在 $w_1$ 处，顶点相位给 $q+p+k=0$ ；若接上出射标量，则给 $q+p-k'=0$ 。所以沿费米箭头的内动量分别为 $-p-k$ 、 $-p+k'$ 。按这些动量代入内核，并截去总动量 $\delta$ ，得到

\begin{aligned} i\mathcal T_{e^+\varphi} =-ig^2\bar v_s(\mathbf p)\left[ \frac{\slashed p-\slashed k'+m}{m^2-u-i0} +\frac{\slashed p+\slashed k+m}{m^2-s-i0} \right]v_{s'}(\mathbf p')+O(g^4). \end{aligned} \tag{45.28}

这里 $s,u$ 仍按上一小节定义。正电子本身的物理四动量仍是正能在壳动量，图上沿费米箭头所标的却是它的负值；这种区别正是反粒子外线规则的内容。

正电子与标量散射。沿费米箭头的内动量分别为 $-p-k$ 、 $-p+k'$ ；两个接法相对相加，振幅的公共整体号由外态次序确定。

式（45.28）的公共负号由既定福克次序产生。即使将两条正电子外腿中 $v,\bar v$ 各自所带的负号同时移去，它们的乘积仍为正，式（45.27）留下的单一负号也仍须保留。各图之间的相对号不受这种成对改写的影响，公共整体号则由所选外态和算符次序固定。

电荷共轭给出了理解这一号数的另一条途径。由于 $\bar\Psi\Psi$ 为 $C$ 偶，若 $\varphi$ 也取 $C$ 偶，汤川作用量便保持电荷共轭。使用第38节的 $v_s=\mathcal C\bar u_s^T$ 、 $\bar v_s=-u_s^T\mathcal C^{-1}$ ，并记 $\widetilde S(q)=(-\slashed q+m)/(q^2+m^2-i0)$ ，有

\begin{aligned} \mathcal C^{-1}\widetilde S(-q)\mathcal C &=\widetilde S(q)^T,\\ \bar v_s(\mathbf p)\widetilde S(-q)v_{s'}(\mathbf p') &=-u_s(\mathbf p)^T\widetilde S(q)^T\bar u_{s'}(\mathbf p')^T\\ &=-\bar u_{s'}(\mathbf p')\widetilde S(q)u_s(\mathbf p). \end{aligned} \tag{45.29}

这里是矩阵转置， $i0$ 并不取共轭。将第二式分别用于两个内动量，旋量换算给出的负号与正电子幅的整体负号相消，正好得到对应的电子幅，符合所选态相位下 $C$ 对称性的要求。单个顶点也呈现相同的符号： $\bar\Psi\Psi$ 的反粒子部分含 $d\,d^\dagger\bar v v$ ，正规序后成为 $-d^\dagger d\,\bar v v$ ，故正电子矩阵元为 $-\bar v_s v_{s'}$ 。

树图规则及矩阵的次序

两个散射例子已说明外腿如何消去，以及旋量、动量和换序号如何保留。现在将这些步骤归纳成树图规则。先为每个入、出粒子画出外线，再用两实一虚的汤川顶点将它们连接成所有拓扑不等价的树；每个顶点的费米箭头都须一入一出。

给内线选定动量方向后，在各个顶点施加守恒。对树图，切开任意一条内线都会将图分成两支，将其中一支的顶点守恒式相加，内部动量彼此消去，该内线动量就等于这一支全部外动量的有符号和。因此树上的内动量全由外腿固定。各种外线的方向和因子为

外粒子	费米箭头相对顶点	沿箭头动量	旋量或标量因子
入射电子	指向顶点	$p$	$u_s(\mathbf p)$
出射电子	离开顶点	$p'$	$\bar u_{s'}(\mathbf p')$
入射正电子	离开顶点	$-p$	$\bar v_s(\mathbf p)$
出射正电子	指向顶点	$-p'$	$v_{s'}(\mathbf p')$
入射标量	动量箭头指向顶点	$k$	$1$
出射标量	动量箭头离开顶点	$k'$	$1$

实标量的箭头只记录动量流，所以内部方向可以任选，但同一条线的两端须使用同一选择。与上述外线因子相配，顶点及内线的因子为

\begin{aligned} \text{顶角}:&\quad ig I_4,\\ \text{标量内线}:&\quad \frac{-i}{q^2+M^2-i0},\\ \text{费米内线}:&\quad \frac{-i(-\slashed q+m)}{q^2+m^2-i0}. \end{aligned} \tag{45.30}

写出这些因子以后，沿每条费米链进行矩阵乘法。从带横线的旋量端出发，逆着箭头行走，依遇到的次序从左向右写出顶点和传播子，最后接上未加横线的旋量。例如，含两个传播子的指标链为

\bar u_a(\mathbf p')\, \widetilde S_{ab}(q_2)\delta_{bc} \widetilde S_{cd}(q_1)u_d(\mathbf p) =\bar u(\mathbf p')\widetilde S(q_2)\widetilde S(q_1)u(\mathbf p). \tag{45.31}

共享的指标已经固定了矩阵的顺序；两个核中含不同的 $\slashed q$ ，通常不能交换。多条费米线要分别写出矩阵链，再由端点配对的排列奇偶确定相对号。图在纸上的交叉仅是布局：没有指定相互作用点就不增加顶点，也不另外产生一个符号。

全部外端点已有区分以后，三价树不再带原有源图的对称因子。具体地，从一个三价内点的三个分支各取一个外端点，连接它们的三条路径便确定该内点；固定全部外端点，就固定了每个内点和每条边。因此，保持外标签的树自同构只有恒等。对源求导时，等价的外标签指派恰好消去未标记源图的自同构因子，式（45.16）展示了最小的例子。相同末态的相空间除重因子仍由第11节的截面定义处理，不乘进此处的振幅。

最后，以指定福克态及其LSZ腿确定一个参考图的整体号，其余图按端点排列的相对号相加，就得到树级 $i\mathcal T$ 。电子与标量的例子已经完成了这一步，正电子的例子则说明参考图的号应和所用外态次序相配。下面再把同一规则用于三种二体过程。

湮灭为两个标量

先考虑 $e^-e^+\to\varphi\varphi$ 。取初态 $b_{s_1}^\dagger(\mathbf p_1)d_{s_2}^\dagger(\mathbf p_2)|0\rangle$ ，末态取 $a^\dagger(\mathbf k'_1)a^\dagger(\mathbf k'_2)|0\rangle$ 。两条入射费米腿给 $i(-i)=1$ ，两条出射标量腿给 $i^2=-1$ ；LSZ所得奇场的次序为 $\bar\Psi_1\Psi_2$ ，转成式（45.14）所用的 $\Psi_2\bar\Psi_1$ 又给 $-1$ ，这两个负号相消。

截腿后，从入射电子沿费米箭头走到第一个顶点。若先发射 $k'_1$ ，内动量便是 $q=p_1-k'_1$ ，另一顶点满足 $q+p_2=k'_2$ 。两个坐标积分因此给 $\delta^4(p_1-k'_1-q)\delta^4(q+p_2-k'_2)$ ；照式（45.21）积掉 $q$ ，只留下 $(2\pi)^4\delta^4(p_1+p_2-k'_1-k'_2)$ 。另一个接法先发射 $k'_2$ ，相应内动量为 $q=p_1-k'_2$ 。两项相加便得

\begin{aligned} i\mathcal T_{e^-e^+\to\varphi\varphi} =ig^2\bar v_{s_2}(\mathbf p_2)\left[ \frac{-\slashed p_1+\slashed k'_1+m}{m^2-t-i0} +\frac{-\slashed p_1+\slashed k'_2+m}{m^2-u-i0} \right]u_{s_1}(\mathbf p_1)+O(g^4),\\ t=-(p_1-k'_1)^2,\qquad u=-(p_1-k'_2)^2 . \end{aligned} \tag{45.32}

这一矩阵链的带横线的旋量来自入射正电子，未加横线的旋量来自入射电子。两图只是在同一条费米链上交换标量的附着位置，因此相对为正；互换两个末态标量的动量时，完整振幅保持不变。

电子正电子湮灭为两个标量。末态标量的动量标为 $k'_1,k'_2$ 。内线分别为 $p_1-k'_1$ 、 $p_1-k'_2$ 。

两个电子的散射

两个电子的散射含有两条费米线。取入态 $b_1^\dagger b_2^\dagger|0\rangle$ 和出态 $b_{1'}^\dagger b_{2'}^\dagger|0\rangle$ ，其中 $1$ 代表 $(s_1,\mathbf p_1)$ ，其它标号类似。出态取厄米共轭后，左矢为 $\langle0|b_{2'}b_{1'}$ 。四条电子LSZ腿的前因子给 $i^4=1$ ，剥离数值旋量，余下的奇场链可排列为

\Psi_{2'}\Psi_{1'}\bar\Psi_1\bar\Psi_2 =+\Psi_{1'}\bar\Psi_1\Psi_{2'}\bar\Psi_2 \quad\hbox{在同一个时间序中}. \tag{45.33}

最前面的场越过两个奇场，因而得到正号；重排后的次序正好可用式（45.17）。在直接配对中，两条矩阵链分别给 $\bar u_{1'}u_1$ 和 $\bar u_{2'}u_2$ 。上方电子在顶点失去动量 $p_1-p'_1$ ，这一动量经标量线流向另一顶点。为沿同一方向计算相位，将偶标量核写为

\Delta(w_1-w_2)=\int\frac{d^4q}{(2\pi)^4}\, \frac{e^{-iq(w_1-w_2)}}{q^2+M^2-i0}.

再将外费米腿的平面波代入，两个顶点的坐标积分便给出各自的动量守恒 $\delta$ 。完成内动量积分，有

\begin{aligned} &\int\frac{d^4q}{(2\pi)^4}\, \frac{(2\pi)^4\delta^4(p_1-p'_1-q) (2\pi)^4\delta^4(p_2-p'_2+q)} {q^2+M^2-i0}\\ &\qquad= \frac{(2\pi)^4\delta^4(p_1+p_2-p'_1-p'_2)} {(p_1-p'_1)^2+M^2-i0}. \end{aligned} \tag{45.34}

交换配对则将末电子 $1',2'$ 互换，内动量改为 $p_1-p'_2$ ，并保留式（45.17）中的负号。截去共同的总动量 $\delta$ ，两种配对合为

\begin{aligned} i\mathcal T_{e^-e^-} =ig^2\left[ \frac{(\bar u_{1'}u_1)(\bar u_{2'}u_2)}{M^2-t-i0} -\frac{(\bar u_{2'}u_1)(\bar u_{1'}u_2)}{M^2-u-i0} \right]+O(g^4),\\ t=-(p_1-p'_1)^2,\qquad u=-(p_1-p'_2)^2 . \end{aligned} \tag{45.35}

式中采用上述旋量缩写。交换两个末态电子的动量和自旋，两个分式互换，完整振幅随之变号；交换两个初态电子也有相同结果，正好对应产生算符所定义的反对称态。

两个电子的 $t$ 直接图与 $u$ 交换图。固定两个入射端，交换两个出射端一次，给出相对负号。

电子正电子的弹性散射

最后考虑电子正电子弹性散射。取初态 $b_1^\dagger d_2^\dagger|0\rangle$ 、末态 $b_{1'}^\dagger d_{2'}^\dagger|0\rangle$ ，故左矢为 $\langle0|d_{2'}b_{1'}$ 。四条腿的前因子仍是 $(-i)^2i^2=1$ ，奇场的原次序及其重排为

\bar\Psi_{2'}\Psi_{1'}\bar\Psi_1\Psi_2 =-\Psi_{1'}\bar\Psi_1\Psi_2\bar\Psi_{2'} \quad\hbox{在同一个时间序中}. \tag{45.36}

这里将最前面的场移到末端，需要三次奇场交换，所以相对于式（45.17）的场次序多一个整体负号。在这一次序下取直接配对，入、出电子接成一条线，入、出正电子接成另一条线，分子为 $(\bar u_{1'}u_1)(\bar v_2v_{2'})$ ；连接两线的标量从电子取得 $p_1-p'_1$ ，因而这是 $t$ 道。

另一种配对把初态电子和正电子接在同一顶点，流向内标量的动量便为 $p_1+p_2$ ，再由另一顶点产生末态对，分子为 $(\bar v_2u_1)(\bar u_{1'}v_{2'})$ 。它属于 $s$ 道，两种端点配对的相对号为负。截去总动量 $\delta$ 后，得到

\begin{aligned} i\mathcal T_{e^-e^+} =-ig^2\left[ \frac{(\bar u_{1'}u_1)(\bar v_2v_{2'})}{M^2-t-i0} -\frac{(\bar v_2u_1)(\bar u_{1'}v_{2'})}{M^2-s-i0} \right]+O(g^4),\\ s=-(p_1+p_2)^2,\qquad t=-(p_1-p'_1)^2 . \end{aligned} \tag{45.37}

电子正电子弹性散射的 $t$ 交换与 $s$ 湮灭。湮灭标量携带 $p_1+p_2$ ；图上相减表示两图的相对号。

湮灭图中的内线动量为 $p_1+p_2$ ，由 $s=-(p_1+p_2)^2$ 可知分母为 $M^2-s$ 。通道由动量守恒确定，而振幅的公共负号由式（45.36）的场重排确定；两者分别对应不同的计算步骤。

把前两图重画成箭头均朝右的形式。固定左端 $p_1,-p'_2$ ，右端从 $p'_1,-p_2$ 变为 $-p_2,p'_1$ ，恰好一次奇置换。

将图重画成箭头一致的形式，是为了直接比较外端点的排列；每条线连接的端点没有改变。两图中的标量传播子都是 $q$ 的偶函数，因此可以反选其动量方向。费米链却同时包含有序的旋量端点和分子，反转它时必须一并转换这些因子。

本过程的标量仅作内线，质量 $M$ 因此不受前面稳定外标量区间的限制。若 $M>2m$ ，物理 $s$ 能够接近 $M^2$ ，出现标量共振；此时应按第25节的方法在尖锐的树分母中纳入自能和宽度。远离共振区域，式（45.37）就是所需的最低阶结果。五个四点振幅也都具有零质量维数：每条外旋量的维数为 $1/2$ ，内费米核为 $-1$ ，内标量核为 $-2$ ，单费米链和双费米链分别组合成四维 $2\to2$ 振幅应有的量纲。

闭合费米圈的负号

每个闭合费米圈还带一个额外的 $-1$ 。在计算具体圈积分以前，可以先由上一节的有限格拉斯曼积分求出这个符号。把 $\varphi$ 暂作为固定背景，先积掉费米子，便有

\frac{Z_F[\varphi]}{Z_F[0]} =\frac{\det[-i(\mathscr D-g\varphi)]}{\det(-i\mathscr D)} =\det(1-gS\varphi). \tag{45.38}

所有核先采用同一有限调节，令 $A=S\varphi$ 。对数会将这一行列式展开成首尾相接的传播链。为求展开系数，先取一个可逆矩阵 $K(t)$ ，将行列式作一阶展开：

\begin{aligned} \det K(t+h) &=\det K(t)\det[1+hK(t)^{-1}K'(t)+O(h^2)]\\ &=\det K(t)\,[1+h\,\operatorname{Tr}(K^{-1}K')+O(h^2)] . \end{aligned} \tag{45.39}

在第二行，莱布尼茨公式的一次阶只能从单位矩阵的对角排列中取一个一阶对角元素，求和后即为迹。现在取 $K=1-tA$ ，用几何级数展开其逆，求对数导数后再从零积分，得到

\begin{aligned} \frac{d}{dt}\log\det(1-tA) &=-\operatorname{Tr}[(1-tA)^{-1}A] =-\sum_{r=1}^{\infty}t^{r-1}\operatorname{Tr}A^r,\\ \log\frac{Z_F[\varphi]}{Z_F[0]} &=-\sum_{r=1}^{\infty}\frac{g^r}{r} \operatorname{Tr}(S\varphi)^r . \end{aligned} \tag{45.40}

在有限维且 $\|gA\|<1$ 时，上述级数收敛，逐项微扰时也可直接使用其形式系数。恢复连续指标，把每次矩阵相乘写成核积分，第 $r$ 项成为

-\frac{g^r}{r}\int d^4x_1\cdots d^4x_r\, \operatorname{tr}\!\left[ S(x_1-x_2)\varphi(x_2)\cdots S(x_r-x_1)\varphi(x_1)\right]. \tag{45.41}

这里 $\operatorname{tr}$ 只对旋量指标取迹，而 $\operatorname{Tr}$ 还包括模式或时空指标。核的共享指标首尾相接，正好描出一条有向闭圈。按照原有图因子， $r$ 个顶点 $ig$ 与 $r$ 条内线 $S/i$ 相乘本应给 $g^r$ ，而式（45.41）还带着负号，这就是闭合费米圈所需的额外因子。

系数 $1/r$ 则来自沿圈选择起点的 $r$ 种等价方式。例如， $r=2$ 时，两份有标记的标量源有两种微分指派，消去 $1/2$ ，余下一个闭圈负号。多条闭圈各给一次这样的符号；具体动量积分和反项的处理见第51节。

标量与赝标量耦合的离散变换

第40节已经求出 $B_0=\bar\Psi\Psi$ 在 $P,T,C$ 下均为偶。因此相互作用 $g\varphi B_0$ 同时保持三个对称性时，实场应取

P^{-1}\varphi(x)P=\varphi(\mathcal Px),\qquad T^{-1}\varphi(x)T=\varphi(\mathcal Tx),\qquad C^{-1}\varphi(x)C=\varphi(x).

若改为 $g\varphi B_5$ ，其中 $B_5=\bar\Psi i\gamma_5\Psi$ ，则 $B_5$ 为厄米量。取 $B=\mathcal C\gamma_5$ ，相应矩阵变换是

\beta(i\gamma_5)\beta=-i\gamma_5,\qquad B^{-1}(i\gamma_5)^*B=-i\gamma_5,\qquad \mathcal C^{-1}(i\gamma_5)^T\mathcal C=i\gamma_5.

时间反演一式共轭了显式的 $i$ 。因此 $B_5$ 在 $P,T$ 下为奇，在 $C$ 下为偶；相互作用保持三种对称性时，应给实场相同的三个符号：

P^{-1}\varphi(x)P=-\varphi(\mathcal Px),\qquad T^{-1}\varphi(x)T=-\varphi(\mathcal Tx),\qquad C^{-1}\varphi(x)C=\varphi(x).

此时 $\varphi$ 为赝标量。自由作用中的场成对出现，附加负号相消；相互作用中的 $\varphi$ 与 $B_5$ 也同时变号，所以乘积仍为偶。

两正电子散射与逆向对产生

取标量耦合 $+g\varphi\bar\Psi\Psi$ ，所有外动量均为正能在壳动量，旋量缩写沿前面的树图规则。两个过程都只有两幅最低阶树图：一次交换两个同类费米端点，或一次交换两个标量端点。前一种交换带负号，后一种带正号。

先算 $e^+e^+\to e^+e^+$ ，固定 $|i\rangle=d_1^\dagger d_2^\dagger|0\rangle$ 、 $\langle f|=\langle0|d_{2'}d_{1'}$ 。四条正电子LSZ腿各给 $-i$ ，乘积为一；原场链 $\bar\Psi_{2'}\bar\Psi_{1'}\Psi_1\Psi_2$ 变为 $\Psi_1\bar\Psi_{1'}\Psi_2\bar\Psi_{2'}$ 共需四次交换，仍为正。因而可直接使用（45.17）的有序四点核。在直接图的第一个顶角，入射正电子沿费米箭头携带 $-p_1$ ，出射正电子沿箭头携带 $-p'_1$ ；标量线的动量平方为 $(p_1-p'_1)^2$ 。另一个顶角由整体动量守恒给同一平方。交换图把 $p'_1,p'_2$ 对调，故

\begin{aligned} i\mathcal T_{++} ={}&ig^2\left[ \frac{(\bar v_1v_{1'})(\bar v_2v_{2'})}{M^2-t-i0} -\frac{(\bar v_1v_{2'})(\bar v_2v_{1'})}{M^2-u-i0} \right]+O(g^4),\\ t={}&-(p_1-p'_1)^2,\qquad u=-(p_1-p'_2)^2 . \end{aligned}

前因子为两个顶角与一条标量线的乘积， $(ig)^2/i=ig^2$ 。交换两个入射或两个出射正电子时，两项互换并使振幅变号，符合所定福克态的反对称性。还可用 $\bar v_av_b=-\bar u_bu_a$ 作电荷共轭检查：每项中的两个双线性量各给一个负号，乘积恢复为正，于是与（45.35）的两电子振幅相符。

再算 $\varphi(k_1)\varphi(k_2)\to e^-(p'_1)e^+(p'_2)$ 。定义末态为 $b_{1'}^\dagger d_{2'}^\dagger|0\rangle$ ，所以左矢为 $\langle0|d_{2'}b_{1'}$ 。两条标量腿给 $i^2=-1$ ，费米腿给 $(-i)i=1$ ；把原场链 $\bar\Psi_{2'}\Psi_{1'}$ 换成 $\Psi_{1'}\bar\Psi_{2'}$ 再给一个负号，总号为正。若 $k_1$ 接在电子端顶角，沿费米箭头的内动量满足

q+k_1=p'_1,\qquad q=k_2-p'_2, \qquad p'_1+p'_2=k_1+k_2 .

第一式给 $q=p'_1-k_1$ ；另图把 $k_1,k_2$ 互换。两图中的矩阵从左端 $\bar u_{1'}$ 读向右端 $v_{2'}$ ，因此

\begin{aligned} i\mathcal T_{\varphi\varphi\to-+} ={}&ig^2\,\bar u_{1'}\left[ \frac{-\slashed p'_1+\slashed k_1+m} {(p'_1-k_1)^2+m^2-i0} +\frac{-\slashed p'_1+\slashed k_2+m} {(p'_1-k_2)^2+m^2-i0} \right]v_{2'}+O(g^4). \end{aligned}

交换两个入射标量后括号保持不变。标量作为渐近外态时沿正文取稳定的质量区间 $0<M<2m$ ；质心能量还须达到费米子对的阈值 $s\ge4m^2$ 。以上两个树级振幅保留了外态的动量和自旋标签。计算截面时再按实际初态自旋制备和末态相空间作求和或积分。

下一节从这些带自旋标签的振幅出发，计算模平方，并对实验中未分辨的自旋求和。

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