Srednicki §5 LSZ 约化公式

散射实验在遥远过去准备彼此分离的入射粒子，在遥远未来测量出射粒子。LSZ（Lehmann–Symanzik–Zimmermann）约化公式把这些粒子态之间的散射振幅写成场的时间序关联函数：每约化一个外部粒子，就引入一次场插入和一个克莱因–戈登算符。下面从自由粒子的波包出发推导这一关系。

单粒子归一化与波包测度

先从自由理论中已经明确的单粒子态出发。沿用第3节的归一化，暂取 $\varphi$为自由实场，令 $|\mathbf k\rangle=a^\dagger(\mathbf k)|0\rangle$、 $a(\mathbf k)|0\rangle=0$、$\langle0|0\rangle=1$，于是

第一式由式（3.17）取共轭得到：因 $\partial_0e^{ikx}=-i\omega e^{ikx}$，右端等于 $\int e^{ikx}(\omega\varphi-i\Pi)$。求第二式时，将 $a^\dagger a$移到真空右侧就得到零，留下的模式CCR便决定单粒子态的归一化。

精确动量态遍布全空间。要描述局域于有限区域的粒子，用普通测度 $d^3k$把这些态叠加成波包：

这与第3节使用不变测度的写法有不同的权函数。把那里的振幅另记为 $F$，两种积分表示同一态时应有 $F(\mathbf k)=(2\pi)^3 2\omega_{\mathbf k}f(\mathbf k)$。因此，波包的归一化也须按本节的测度重新读出。将式（5.1）代入两包的内积，得

例如选择高斯包 $f(\mathbf k)=N\exp[-(\mathbf k-\mathbf k_1)^2/(4\sigma^2)]$。在窄包条件 $\sigma/\omega_1\ll1$下，能量可在 $\mathbf k_1$附近展开；线性项对中心对称的高斯积分为零，故

其中的常数来自 $\int d^3q\,e^{-\mathbf q^2/(2\sigma^2)}=(2\pi\sigma^2)^{3/2}$，且 $\omega_1=\sqrt{\mathbf k_1^2+m^2}$。宽度不小时，应直接用式（5.3）的加权积分确定精确的 $N$，保留能量在包内的变化。

动量宽度怎样反映为空间尺度，可以由场与波包态的矩阵元直接看出：

第一行只需一次模式收缩。第二行令 $\mathbf q=\mathbf k-\mathbf k_1$，将三维积分拆成三个一维高斯积分。每一维配方后都有

被积函数是整函数，平移积分路径时两端的高斯衰减使竖直边的积分消失。三个方向的结果相乘，再乘回 $Ne^{i\mathbf k_1\cdot\mathbf x}$，便得到式（5.5）。动量分布越窄，空间包络便越宽，其尺度约为 $\sigma^{-1}$。

散射初态通常不止一个粒子，所以还须处理全同粒子的交换。用CCR把两个湮灭算符依次移过两个产生算符，得到

两项分别来自原次序配对和交换配对。若两个单包分别归一且彼此正交，总态范数就是一；若它们有重叠，归一化两粒子态时还须除以 $\sqrt{1+|\langle f_1,f_2\rangle_{\rm pkt}|^2}$。

波包运动与渐近态

为了构造入射和出射态，还要看这些包怎样运动。自由波包的驻相点满足 $\mathbf x/t=\nabla_{\mathbf k}\omega_{\mathbf k} =\mathbf k/\omega_{\mathbf k}$。对窄包作一阶色散展开，包络中心沿 $\mathbf x=\mathbf v_1t$运动，其中 $\mathbf v_1=\mathbf k_1/\omega_1$；二阶项 $\partial_i\partial_j\omega=(\delta_{ij}-v_iv_j)/\omega$ 则引起展宽，沿运动方向与横向的曲率分别为 $m^2/\omega_1^3$和 $1/\omega_1$。这种二阶展开要求被略去的相位 $|t|\,O(\sigma^3\sup|\partial^3\omega|)$足够小，因此研究无穷时间的分离时，应直接估计完整相位积分。

取光滑、紧动量支撑且速度支撑不相交的两个包。令 $\mathbf x=t\mathbf v$，相位为 $t\Phi_{\mathbf v}(\mathbf k)$，其中 $\Phi_{\mathbf v}=\mathbf k\cdot\mathbf v-\omega_{\mathbf k}$。当 $\mathbf v$与包的速度支撑有正距离时，支撑上的 $|\nabla\Phi_{\mathbf v}|$有正下界，也就没有驻相点。利用这一点，定义

在动量积分中，把左侧的微分算符分部积分到光滑紧支撑的 $f$上，边界项为零。相应的形式转置为

散度同时作用于 $f$和相位系数，每作一次分部积分就取出一个 $1/t$。在满足共同下界 $|\boldsymbol\nabla\Phi_{\mathbf v}|\geq\delta>0$的速度区域中，其余系数及其导数有界；重复 $N$次便得到一致的 $O(|t|^{-N})$估计。因此，两个不交的速度支撑对应渐近分离的空间区域。对 $m>0$，映射 $\mathbf k\mapsto\mathbf k/\omega_{\mathbf k}$为单射，分离的紧动量支撑也给出分离的速度支撑。

在相互作用理论中，取唯一不变真空和稳定、孤立的质量 $m>0$单粒子壳，并选择与该粒子有非零重叠的场。把式（5.1）中的自由场换成这个相互作用场，所得投影记为 $A^\dagger[f;t]$。它随时间改变，入、出粒子则由其遥远过去和未来的渐近投影 $A^\dagger_{\rm in/out}[f]$产生：

约化计算在矩阵元中依次取渐近极限，并把场归一化为零真空期望、单位单粒子重叠。下文先用这些渐近关系求散射振幅，再由精确能谱说明场的归一化和时间平均怎样选出单粒子分量。

出入态内积就是散射振幅。将多粒子态的整体归一化吸收入波包权函数，使式（5.6）给出的入、出态范数各为一。以两入两出为例，

出态取共轭会反转两个算符的次序，而玻色出射湮灭算符彼此对易，所以可以采用上式顺序。若有更多出射粒子，只须增加相应产生链，并按多粒子内积归一化。这个内积同时包含散射和未散射的重叠，后面约化时需要保留两部分。

外腿投影的时间变化

目标是把渐近端点的粒子投影换成整个时空中的场插入。先固定有限端点 $t_-<t_+$，并定义 $F_f(x)=\int d^3k\,f(\mathbf k)e^{ikx}$。取 $f$为Schwartz函数或光滑紧支撑函数，使固定有限时间的空间边界操作可在适当涂抹的矩阵元上进行。再记 $D_m=-\partial^2+m^2=\partial_t^2-\nabla^2+m^2$，投影定义为

求端点之差可以先求时间导数。双向导数的两项各产生一个交叉项，恰好相消，只剩两份二阶时间导数：

核中的每个平面波都满足自由色散关系，因此 $\ddot F_f=\nabla^2F_f-m^2F_f$。把第二项中的拉普拉斯作两次空间分部积分，两个负号相消，得到 $\int(\nabla^2F_f)\varphi=\int F_f\nabla^2\varphi$。现在两份二阶导数都已作用于场，可以合并为

再按微积分基本定理对有限时间区间积分，就把瞬时投影的变化转成时空积分：

自由场满足 $D_m\varphi=0$，所以恢复第3节不随时间改变的投影。加入相互作用以后，右端由相互作用项决定。例如在自由真空附近作三次相互作用的微扰展开，取 $\mathcal L_1=g\varphi^3/6$，经典变分给出 $(\partial^2-m^2)\varphi+g\varphi^2/2=0$，即 $D_m\varphi=g\varphi^2/2$，其中 $1/2$来自 $3/3!$。量子计算中右端采用重整化后的复合场。纯三次势无全局下界，这里用它说明微扰公式的结构。

将式（5.13）移项，便可由晚端点表示早端点的产生算符；再取厄米共轭并移项，则可由早端点表示晚端点的湮灭算符：

两个方向都出现 $+i$。第一行只作了一次移项；第二行先由共轭把 $i$变成 $-i$，再由移项反转一次符号。出腿的核是 $F_f^*(x)=\int d^3k\,f(\mathbf k)^*e^{-ikx}$，所以不仅指数，波包权函数也要取共轭。实高斯满足 $f^*=f$，一般复波包则必须保留这一共轭。

在相应渐近极限存在时，有限时间公式就能连接入、出投影。在“出端点在左、入端点在右”的乘积中插入时间排序符号 $T$，算符次序不变。不过代入式（5.14）以后，某个产生算符已从早端点改到晚端点，把它移过其余算符就须计算对易子。它与出射湮灭算符的CCR给出式（5.3）中的波包内积，正是未散射项的来源。下一步将把这项与场插入一起算出。

将一个外部粒子换成场插入

为便于重复约化，令 $B=T\{\varphi(z_1)\cdots\varphi(z_r)\}$代表矩阵元中已有的场插入，各 $z_j^0$先固定在有限区间内。尚未约化的入、出粒子分别记作 $\alpha,\beta$，并定义

先选 $t_-$早于全部插入时间，$t_+$晚于全部插入时间。这样，时间序在两个端点分别把新场放到乘积的右端和左端，得到

对 $Q_f$求导，双向导数的交叉项相消，再作空间分部积分，得到 $\dot Q_f=-i\int d^3x\,F_fD_xG_B$。因此端点之差为

与前面的单场边界关系相比，这次微分的是整个时间序矩阵元。时间经过某个 $z_j^0$时，算符次序会改变，其贡献已经包含在 $D_xG_B$中，稍后将用两点函数具体说明。

令 $\beta=(h_1,\ldots,h_{n'})$。取端点极限后，晚端点的产生算符出现在出态左矢的右侧。将它依次移过各出射湮灭算符，每经过一次都产生一个波包内积，于是

完全移到最左端的产生算符湮灭真空左矢，而各次交换产生的内积项保留下来。将这个结果代回端点关系，就得到一个入射粒子的约化公式：

第一项使 $f$中的粒子直接进入某个出射包 $h_r$，其余粒子仍可继续散射；第二项把该粒子换成场插入，并附上 $iD_x$。因此，“约化一条外腿”同时产生一个直接配对项和一个场积分项。

出射腿用同一边界思路处理。改取投影 $+i\int F_h^*\overleftrightarrow{\partial_t}G_B$，晚端点成为 $A_{\rm out}[h]B$，早端点成为 $BA_{\rm in}[h]$。让早端点的湮灭算符作用于入态，便得

约化下一条腿时，已有插入的坐标先保持有限，最后完成相应的外层积分。式（5.18）的内积项保留了未散射的粒子。

时间序微分产生的接触项

约化关系中的 $D$作用于整个时间序乘积。用最简单的两个场展开时间序，就能看清为什么不能只对每个场分别使用运动方程：

第一次对 $x^0$求导，阶跃函数的导数乘上等时的 $[\varphi(x),\varphi(y)]$，这一项为零。第二次求导时，阶跃函数的导数改为乘场速度的对易子，因而

若 $\Pi=\dot\varphi$，等时CCR把最后一项化为 $-i\delta^4(x-y)$。于是完整的波算符作用给出

delta只在两个点重合时有支撑，因此称为接触项（contact term）。若动能改成 $Z_\varphi$倍，共轭动量就是 $\Pi=Z_\varphi\dot\varphi$；在保持正则CCR的有调节器模型中，接触项系数便相应改为 $-i/Z_\varphi$。

自由场可以把这项具体显示出来。固定空间动量以后，两点函数为 $g_\omega(t)=e^{-i\omega|t|}/(2\omega)$。在 $t\ne0$处，它满足 $(\partial_t^2+\omega^2)g_\omega=0$，但原点两侧有 $g_\omega'(0^+)=-i/2$、$g_\omega'(0^-)=+i/2$。一阶导数的跳变为 $-i$，所以二阶导数含有

再作空间傅里叶积分，便得到 $D_xG_2=-i\delta^4$。自由KG方程约束场在非重合点处的演化，时间序则在重合点引入了这个非零右端。因此外腿微分须保留在 $T$外面，逐场套用运动方程会漏掉接触项。

逐腿约化与完整的散射矩阵

单腿关系已把两种贡献分开，现在可以反复使用它。令 $F=(f_1,\ldots,f_n)$、$H=(h_1,\ldots,h_{n'})$，先按固定次序约化全部入射腿。每次应用式（5.19），该腿或者与一条尚未使用的出射腿配对，或者成为场插入。入射腿全部处理后，剩余入态为真空；再用式（5.20）约化剩余出射腿时，早端点湮灭算符作用于真空为零，于是只留下场积分。

将所有未配对外腿都换成场的结果记为

方括号中的运算按从左到右、从外层到内层嵌套：最先引入的 $x_1$积分在最外层，接着是其余入腿，最后才是出腿。求内层端点极限时，外层坐标保持有限；即使部分腿已经配对删去，也保留其余腿的相对次序。约定 $\mathcal R(\varnothing;\varnothing)=1$；若只剩单个场，则由零真空期望得到零。

完整内积还要把所有直接配对选择相加。记 $M$为入、出腿间的一个部分匹配，每条腿至多出现于一对中；以 $H_M,F_M$表示删去这些配对后剩下的波包，便有

其中空匹配给出 $\mathcal R(H;F)$。若共有 $k$对，可选择的匹配数为 $\binom{n'}k\binom nk k!$：先选两侧参与配对的腿，再选它们的一一对应。固定的入射约化顺序使每个匹配只出现一次，故式（5.25）不再带额外的粒子数阶乘。外腿的玻色交换对称性已由配对求和与时间序函数体现。

来看两个简单情形。稳定单粒子在入、出描述中是同一个精确能量本征态，选定一致相位后有 $S(h;f)=C(h,f)$。单腿公式也给出同样结果：单位重叠使 $\langle h|\varphi(x)|0\rangle=F_h(x)^*$，右端满足自由KG方程，积分项因此为零，即 $\mathcal R(h;f)=0$。所以对两入两出，式（5.25）化为

前两项正是两粒子恒等算符的矩阵元。在自由理论中，$A_{\rm out}=A_{\rm in}$，两次CCR就给出这两项，此时 $\mathcal R=0$、$S=1$。

粒子更多时，$S-1$还可含有未散射的旁观粒子，以及彼此独立的散射过程。例如四个粒子可分为两组，各自发生一次两粒子散射。连通振幅则要求全部外腿参与同一过程，计算时在式（5.24）中使用连通关联函数；它的图形组织将在费曼图章节展开。若入、出包间的所有 $C(h_r,f_s)$都为零，式（5.25）便只剩全部外腿的约化积分。

从波包转到确定动量的振幅

散射公式通常用确定动量的外态书写。先把波包振幅表示为动量振幅的积分，便能明确确定动量振幅是怎样的积分核：

动量本征态采用delta归一化，所以将 $f$换成 $\delta^3(\mathbf k-\mathbf k_s)$是在提取上述积分核。它与保持态范数为一的窄包极限不同。对单位范数高斯，由式（5.4）有 $N\propto\sigma^{-3/2}$，其普通积分却正比于 $N\sigma^3\propto\sigma^{3/2}\to0$，因此不会趋于delta函数。delta逼近应改取 $(4\pi\sigma^2)^{-3/2}\exp[-|\mathbf k-\mathbf k_s|^2/(4\sigma^2)]$，使普通积分保持为一；相应态范数平方按 $\sigma^{-3}$发散，正好反映精确动量态的非普通归一化。

按这个意义提取式（5.24）中的动量积分核，得到

所有外部动量都取正能在壳值。各因子的来源可以逐一对应前面的运算：每个 $i$来自端点移项，每个 $D$来自自由波包核的KG方程，出射指数的共轭来自出态取左矢。式中不再另有 $(2\pi)^3 2\omega$分母：本节波包采用普通 $d^3k$，反演投影已消去模式测度中的相应归一化。完整动量态内积仍须按式（5.25）补回直接配对项，只需把 $C$换成 $(2\pi)^3 2\omega\,\delta^3$。

LSZ由此将散射问题转成了时间序关联函数的计算。外腿投影所选出的粒子质量和场归一化，则由精确能谱确定。

插值场所见的精确谱

沿用前面有质量隙的标量理论，真空满足 $P^\mu|0\rangle=0$。先取没有束缚态、最低连续谱为双粒子态的情形。

单粒子壳之外是多粒子连续谱。双粒子谱的下边界是不变质量为 $2m$的双曲线，可以从能量最小化看出其原因。在固定总动量 $\mathbf P$下，两粒子的自由渐近能量为 $E(\mathbf q)=\sqrt{\mathbf q^2+m^2}+\sqrt{(\mathbf P-\mathbf q)^2+m^2}$。对相对动量求导，梯度为 $\mathbf q/\omega_{\mathbf q}-(\mathbf P-\mathbf q)/\omega_{\mathbf P-\mathbf q}$。在 $m>0$时，速度映射单射，驻点只有 $\mathbf q=\mathbf P/2$；每份能量的Hessian $(\delta_{ij}-v_iv_j)/\omega$又正定，所以这个驻点给出全局最低能量：

相对动量的连续变化给出阈值以上的连续谱。若存在束缚态，则须在连续谱下添加相应支线，并为它们分别选择插值场。

图5.1：按式（5.29）绘制的谱图。横轴是总动量沿固定方向的有符号截面，两个曲面在三维动量中具有旋转对称性。两轴均以 $m$ 为单位；真空位于原点，单粒子态构成孤立质量壳，阴影表示多粒子连续谱的支撑。

图像确定了可能的能谱分量，下面求场与这些分量的重叠。第2节的平移协变性给出

左右都取真空时，两个指数的作用均为一，真空期望 $v=\langle0|\varphi(x)|0\rangle=\langle0|\varphi(0)|0\rangle$ 因而与坐标无关。对厄米场，$v$还是实数。若将左矢改成四动量为 $p$的单粒子态，左指数就给出 $e^{-ipx}$，右指数仍给一，于是

重叠常数 $c$不依赖动量，还用到了自旋零、原点标量场和不变真空：正能质量壳上的任意两点都能由正规正时变换联系，在相对论态归一化下，相应矩阵元相同。若有自旋或物种混合，重叠就还须携带相应指标。

去掉真空重叠并选定单粒子留数

要让投影只挑出所需粒子，先须去掉真空分量。将非零常数 $v$代入式（5.10），可以直接求出 $v$对投影的贡献：

双向导数只剩 $-\dot F_fv$，而 $\dot F_f=-i\int d^3k\,\omega f e^{ikx}$，与外面的 $-i$相乘后给正号，空间积分再选出 $\mathbf k=0$。这个真空项不会随时间增大而衰减。虽然对满足 $f(\mathbf0)=0$的特殊包它不贡献，要对任意波包使用同一插值场，适合的选择仍是 $\varphi_{\rm shifted}=\varphi_{\rm old}-v$。这样移去真空期望以后，改写原拉格朗日量时应把旧变量代成 $\varphi_{\rm shifted}+v$，并相应展开各项。

接下来调节单粒子分量。将式（5.31）代入投影，空间积分选出 $\mathbf k=\mathbf p$，双向导数给出 $\omega_{\mathbf k}+p^0=2\omega_{\mathbf p}$，同时两个时间相位相消，因此

投影产生了所需的单粒子波包，只是带有一个额外的重叠常数 $c$。当 $c$非零且有限时，可以先选单粒子态的共同相位，使 $c>0$，再用实数重标度场，令 $\varphi_R=(\varphi_{\rm old}-v)/c$。新场仍厄米，并满足两个归一化条件：

此后省去下标 $R$，采用单位单粒子重叠。保留旧场时，每条LSZ外腿应带 $i/c$；代入 $\varphi_{\rm old}=c\varphi_R+v$以后，就恢复前文的 $i$。这种场尺度的选择也会改变拉格朗日量中的动能系数 $Z_\varphi$。

振荡如何消去多粒子矩阵元

真空和单粒子分量已经处理，点场仍一般会产生多粒子成分。记 $|p,n\rangle$为总四动量 $p$的广义态，$n$包括不变质量 $M$、相对动量等其余标签。再次应用平移协变性，有

其中 $A_n$可以依赖多粒子动量的洛伦兹不变组合。把测试态展开为

这里的 $\sum_n$同时包含连续谱积分及其规范化权重，并非只对整数粒子数求和。固定一个可归一化的多粒子测试态，再用它检测 $A^\dagger[f;t]|0\rangle$，代入前面的场矩阵元，便得到

对两个指数求时间导数，分别得到 $-ik^0e^{ikx}$和 $+ip^0e^{-ipx}$，所以 $-i e^{ikx}\overleftrightarrow{\partial_0}e^{-ipx} =(p^0+k^0)e^{i(k-p)x}$。空间积分随后产生 $(2\pi)^3\delta^3(\mathbf k-\mathbf p)$，将两份动量联系起来，得到

其中记 $G_n=(2\pi)^3(E_M+\omega)\psi_n^* f A_n$、 $\Delta_M(\mathbf p)=\sqrt{\mathbf p^2+M^2}-\sqrt{\mathbf p^2+m^2}$。两能量共用同一三动量，因此在 $M\geq2m>m$时有 $\Delta_M>0$。相位还随动量改变，由这一变化可以把积分改写成Riemann–Lebesgue引理所用的线性相位形式。

对满足 $\sum_n\int d^3p\,|G_n(\mathbf p)|<\infty$的矩阵元，连续标签按选定谱测度积分。对固定 $M>m$，令 $q=|\mathbf p|$，先作角积分，记 $g_n(q)=q^2\int d\Omega\,G_n(q\widehat{\mathbf p})$。当 $q>0$时，

因而 $u=\Delta_M(q)$把 $q\in(0,\infty)$一一映到 $u\in(0,M-m)$，但方向相反。连同Jacobian换元，积分成为

端点处虽然有 $q=0$的导数为零，以及 $q\to\infty$时导数趋零，换元后的密度仍满足 $\int du\,|\rho_n(u)|\leq\int dq\,q^2\int d\Omega\,|G_n|<\infty$。因此，原来假设的绝对可积性恰好转化为线性相位积分所需的可积性。

对这个可积密度，Riemann–Lebesgue结论也可直接证明。先用有限个区间上的常数函数 $s(u)$在 $L^1$中逼近 $\rho_n$。每个区间的振荡积分是 $(e^{itb}-e^{ita})/(it)$，故 $s$的积分趋于零；余差对任意 $t$都满足 $|\int(\rho_n-s)e^{itu}du|\leq\|\rho_n-s\|_1$。先让逼近足够好，再取 $|t|\to\infty$，便得到每个 $n$的极限为零。最后用最初可和的 $L^1$界控制连续及离散 $n$的积分，得 $\langle\psi|A^\dagger[f;t]|0\rangle\to0$。

不同能量的分量在固定测试态上的贡献通过振荡相互抵消。这给出矩阵元的弱极限。若在谱表示中，多粒子分量为平方可积的 $B_n(\mathbf p)e^{it\Delta_M(\mathbf p)}$，它本身的范数却是

其范数与时间无关。要使多粒子分量的范数也趋于零，可以给投影加上时间平均。取宽度为 $\tau$的归一化高斯，定义

对任一能量差 $\Delta$，这个积分给出

单粒子分量满足 $\Delta=0$，因而保持原值；多粒子分量则乘上衰减因子。取 $f$的动量支撑包含于 $|\mathbf p|\leq K$，由 $M\geq2m$可得共同下界

设某个 $\tau_0>0$的平均已使谱积分有限。对 $\tau\geq\tau_0$，

谱权重至多按能量的幂增长时，高斯因子保证右端的积分有限。这就直接给出了平均投影作用于真空时的单粒子范数极限。在散射构造中同时取 $t\to\pm\infty$、$\tau\to\infty$和 $\tau/|t|\to0$，平均区间相对于传播时间仍很短，速度支撑分离的波包保持在相应的渐近区域。多粒子渐近算符的构造及其与逐腿约化的联系，可进一步参看 Collins 的时间平均推导。

移场与重标度如何改变拉格朗日量

为挑出单粒子态所作的移场和重标度，也会改变拉格朗日量的系数。用三次模型可以具体说明这一点。暂以 $\varphi_0,m_0,g_0$表示旧场和旧参数，写成 $\mathcal L_0=-\tfrac12(\partial\varphi_0)^2 -\tfrac12m_0^2\varphi_0^2+g_0\varphi_0^3/6$。按前面的定义，旧场为 $\varphi_0=c\varphi+v$。动能中的常数导数为零，平方项与立方项则分别展开为 $c^2\varphi^2+2cv\varphi+v^2$和 $c^3\varphi^3+3c^2v\varphi^2+3cv^2\varphi+v^3$。把同次幂逐项合并，得到

最后两项与场无关，在当前平直背景并已指定能量零点的讨论中可另作调整，不进入场方程。再用物理质量 $m$以及由指定观测条件定义的耦合 $g$标记参数，便可把拉格朗日密度写成

逐项比较上述变量代换，系数为 $Z_\varphi=c^2$、 $Z_m m^2=c^2(m_0^2-g_0v)$、 $Z_g g=g_0c^3$、 $Y=c(-m_0^2v+g_0v^2/2)$。量子修正通过真空期望、场的单粒子重叠以及裸参数与物理参数的关系进入这些系数。物理质量 $m$由精确谱中的单粒子质量壳定义。

四项归一化条件各有作用：零真空期望去掉真空分量，单位单粒子重叠固定场尺度，质量壳位置定义 $m$，指定散射观测量定义 $g$。在微扰计算中，这些条件逐阶确定 $Y$和三个 $Z$。四维自然单位中 $[g]=1$、$[Y]=3$，各 $Z$无量纲，与上面的代数关系一致。

例如，可以用低能库仑散射截面的系数定义物理电荷 $e$，使其在指定的低能极限下具有库仑散射的形式。三次模型也通过选定散射过程和运动学条件来定义耦合 $g$。

选定这些归一化条件以后，散射振幅的计算归结为时间序关联函数。下一节从量子力学的路径积分建立计算方法，再将它推广到场论。

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