Srednicki §4 自旋–统计定理

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上一节通过实标量场的正则量子化得到了自由玻色子的哈密顿量。现在直接从粒子的产生、湮灭算符出发，分别采用对易关系和反对易关系，尝试加入局域、洛伦兹不变的相互作用。相互作用的时间排序会将这个要求转化为类空分离处的对易条件，并由此选出玻色统计。

自由模式与两支频率场

沿用第3节的 $c=\hbar=1$ 、 $g=(-,+,+,+)$ 、 $\omega_{\mathbf k}=\sqrt{\mathbf k^2+m^2}$ 和 $d\widetilde k=d^3k/[(2\pi)^3 2\omega_{\mathbf k}]$ 。为了在同一计算中比较两种统计，记 $[A,B]_\sigma=AB-\sigma BA$ ，以 $\sigma=+1$ 表示CCR、 $\sigma=-1$ 表示CAR。取自由哈密顿量和模式代数为

\begin{gathered} H_0=\int d\widetilde k\,\omega_{\mathbf k}a^\dagger_{\mathbf k}a_{\mathbf k},\\ [a_{\mathbf k},a_{\mathbf q}]_\sigma =[a^\dagger_{\mathbf k},a^\dagger_{\mathbf q}]_\sigma=0,\qquad [a_{\mathbf k},a^\dagger_{\mathbf q}]_\sigma =(2\pi)^3 2\omega_{\mathbf k}\delta^3(\mathbf k-\mathbf q). \end{gathered} \tag{4.1}

真空由所有 $a$ 湮灭。在有限盒中， $H_0=\sum_\alpha\omega_\alpha b^\dagger_\alpha b_\alpha$ ；玻色占据数为非负整数，费米占据数为0或1，因而两种选择都给出 $H_0\geq0$ 。这里直接规定了正规序的哈密顿量，与第3节在CAR下化为常数的对称排序 $H_{\rm sym}$ 是不同的选择。

要由这些模式组成场，先求它们的时间依赖。时间演化由 $H_0$ 的普通对易子决定：玻色情形沿用第3节，费米情形则使用恒等式 $[AB,C]=A\{B,C\}-\{A,C\}B$ 。取 $A=a^\dagger_{\mathbf q}$ 、 $B=a_{\mathbf q}$ 后，第一项因 $\{a,a\}=0$ 消失，第二项保留前面的负号。积分掉归一化delta，两种统计都给出

[H_0,a_{\mathbf k}]=-\omega_{\mathbf k}a_{\mathbf k},\qquad [H_0,a^\dagger_{\mathbf k}]=+\omega_{\mathbf k}a^\dagger_{\mathbf k}. \tag{4.2}

于是海森堡算符满足 $\frac{d}{dt}(e^{iH_0t}a_{\mathbf k}e^{-iH_0t}) =-i\omega_{\mathbf k}(e^{iH_0t}a_{\mathbf k}e^{-iH_0t})$ 。以 $a_{\mathbf k}$ 为初值，解得相位 $e^{-i\omega t}$ ；产生算符则取相反相位。将这些模式乘以空间平面波并按不变测度积分，便得到两支频率场：

\begin{aligned} \varphi^+(x)&=\int d\widetilde k\,a_{\mathbf k}e^{ikx},\\ \varphi^-(x)&=\int d\widetilde k\,a^\dagger_{\mathbf k}e^{-ikx} =\varphi^+(x)^\dagger,\qquad \varphi=\varphi^++\varphi^-. \end{aligned} \tag{4.3}

这里 $\varphi^+$ 含时间因子 $e^{-i\omega t}$ ， $\varphi^-$ 含 $e^{+i\omega t}$ ；两者的上标分别标记正、负频率。海森堡方程由偶算符 $H_0$ 的普通对易子生成，对两种统计都具有式（4.2）的形式。

两支频率场的变换可以从上一节的模式变换求出。那一步只用到标量变换律、不变测度和正负频率的分离，对两种统计都适用。把 $U^{-1}a(\mathbf k)U=a(\Lambda^{-1}\mathbf k)$ 代入第一份积分，再令 $k=\Lambda q$ ，得到

U^{-1}\varphi^+(x)U =\int d\widetilde q\,a(\mathbf q)e^{i(\Lambda q)x} =\varphi^+(\Lambda^{-1}x). \tag{4.4}

取共轭便得到 $\varphi^-$ 的相同变换律。这里仍只作正规正时变换，以保持正能质量壳； $\Lambda^{-1}\mathbf k$ 表示四动量在壳变换后的空间部分。两支频率分量各为标量，所以它们的同点函数也可构成标量密度。这提供了构造相互作用密度的办法，但标量性还没有决定不同地点的相互作用怎样相容。要考察微观因果性（microcausality），须进一步比较类空分离处的算符次序。

时间排序怎样引出类空对易条件

相互作用使这个问题通过时间排序显现出来。我们先在有限时间区间内导出含时微扰论的演化公式。令 $H=H_0+H_1$ ，把自由演化移入算符，定义相互作用绘景态 $|\psi_I(t)\rangle=e^{iH_0t}|\psi_S(t)\rangle$ 。求导时，指数给出的 $-H_0$ 项与薛定谔方程中的自由项抵消，留下

i\partial_t|\psi_I(t)\rangle=H_I(t)|\psi_I(t)\rangle,\qquad H_I(t)=e^{iH_0t}H_1e^{-iH_0t}. \tag{4.5}

取 $H_1=\int d^3x\,\mathcal H_1(\mathbf x,0)$ ，其中密度是两频率场的厄米函数，暂取不含时间导数的相互作用。对其中每个场因子同时作共轭变换，便得到由 $\varphi^\pm(\mathbf x,t)$ 写出的同一个函数。这就是相互作用绘景中的密度 $\mathcal H_I(x)$ 。

演化算符满足初值 $U_I(t_0,t_0)=1$ 。将微分方程从初始时刻积分，得 $U_I(t,t_0)=1-i\int_{t_0}^t dt_1H_I(t_1)U_I(t_1,t_0)$ 。再用同一方程替换右侧的 $U_I$ ，便按相互作用的次数逐步展开，前两阶为

\begin{aligned} U_I(t,t_0)=1 &-i\int_{t_0}^t dt_1H_I(t_1)\\ &+(-i)^2\int_{t_0}^t dt_1\int_{t_0}^{t_1}dt_2\, H_I(t_1)H_I(t_2)+\cdots . \end{aligned} \tag{4.6}

每次迭代都把一个较早的演化放入已有积分，所以外面的时间不早于内面的时间，较晚的算符自动位于左边。第 $n$ 阶的积分域为 $t\geq t_1\geq\cdots\geq t_n\geq t_0$ 。整个时间立方体除去重合边界后，可分成 $n!$ 个这样的排列域；引入时间排序符号 $T$ ，把各域的算符都排成相同次序，就可改写为

U_I(t,t_0)= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-i)^n}{n!} \int_{t_0}^{t}dt_1\cdots dt_n\, T[H_I(t_1)\cdots H_I(t_n)]. \tag{4.7}

时间序指数中的 $1/n!$ 由此来自排列域的数目。场论微扰计算逐阶使用这个展开。对远过去制备、远未来探测的散射态，跃迁振幅写为 $\langle f|U_I(+\infty,-\infty)|i\rangle$ ；下一节将具体构造这些态的约化公式。

现在可以问：另一惯性系的观察者会不会把同一批相互作用排成不同次序？二阶项已经包含了全部关键。相互作用密度是物理偶算符，在两个非重合点上，时间排序为

\begin{aligned} T_t[\mathcal H_I(x)\mathcal H_I(y)] ={}&\theta(t_x-t_y)\mathcal H_I(x)\mathcal H_I(y)\\ &+\theta(t_y-t_x)\mathcal H_I(y)\mathcal H_I(x). \end{aligned} \tag{4.8}

改用另一惯性系的时间函数 $\bar t$ ，密度的标量变换本身不造成差别，可能改变的是两个阶跃函数。将两种排序相减，得到

(T_t-T_{\bar t})[\mathcal H_I(x)\mathcal H_I(y)] =\bigl[\theta(t_x-t_y)-\theta(\bar t_x-\bar t_y)\bigr] [\mathcal H_I(x),\mathcal H_I(y)]. \tag{4.9}

因此，只有类空分离的点对会在两种排序中交换位置。要求

[\mathcal H_I(x),\mathcal H_I(y)]=0 \quad\text{当 }(x-y)^2>0 \tag{4.10}

就能消去这种次序翻转在二阶造成的差别。更高阶也可逐对处理：把目标排序中的第一个点依次移过挡在它前面的点，再对余下序列重复。每次交换的都是两套时间序中次序相反的点对，而这种点对必为类空，所以类空对易性使非重合点处的每一阶时间排序都与参考系无关。

这给出构造局域相互作用的条件：密度在类空分离处普通对易。对于费米场，类空反对易的场构成偶数次复合量后，也可以满足同一个条件。我们下面求出标量模式构成的场能否具有所需的交换性质；重合点的乘积在后面的重整化计算中处理。

正频率核的积分

现在回到两支频率场，计算决定其类空局域性的括号。同频率的两项由模式代数直接给零；混合括号则留下

\begin{aligned} \relax[\varphi^+(x),\varphi^-(y)]_\sigma &=\int d\widetilde k\,d\widetilde q\, e^{ikx-iqy}[a_{\mathbf k},a^\dagger_{\mathbf q}]_\sigma\\ &=\int d\widetilde k\,e^{ik(x-y)}\equiv W_+(x-y). \end{aligned} \tag{4.11}

delta先积掉 $\mathbf q$ ，其归一化恰好消去 $d\widetilde q$ 的分母，因而只剩一份不变测度。这个正频两点核（positive-frequency two-point kernel）也等于所选真空的 $\langle0|\varphi(x)\varphi(y)|0\rangle$ ，因为真空期望只保留湮灭算符在左、产生算符在右的项。

第3节已证明测度不变，所以 $W_+$ 在正规正时变换下是标量。对于类空的 $z=x-y$ ，可以选取 $z'^0=0$ 的参考系，令 $r=\sqrt{z^2}>0$ ，把计算化为等时的三维积分。沿 $\mathbf z$ 取极轴后，角积分为 $2\pi\int_{-1}^1d\mu\,e^{ikr\mu}=4\pi\sin(kr)/(kr)$ ，于是

C(r)\equiv W_+(z) =\frac1{4\pi^2r}\int_0^\infty dk\, \frac{k\sin(kr)}{\sqrt{k^2+m^2}}. \tag{4.12}

式（4.12）是振荡积分，按傅里叶分布的意义取极限。在 $r>0$ 处，可以把它化为一个收敛的参数积分来求值。先用 Gamma 函数的积分表示改写平方根的倒数：

\frac1{2\sqrt{\mathbf k^2+m^2}} =\frac1{2\sqrt\pi}\int_0^\infty ds\,s^{-1/2} e^{-s(\mathbf k^2+m^2)}. \tag{4.13}

令 $u=s(\mathbf k^2+m^2)$ ，右侧积分即为 $\Gamma(1/2)/[2\sqrt\pi\sqrt{\mathbf k^2+m^2}]$ ，利用 $\Gamma(1/2)=\sqrt\pi$ 就得到左侧。先把 $s$ 限制在 $[\epsilon,R]$ ，交换积分次序后，三个动量方向分别给出高斯积分：

\begin{aligned} \int\frac{dk_j}{2\pi}e^{-sk_j^2+ik_jz_j} &=\frac{e^{-z_j^2/(4s)}}{\sqrt{4\pi s}},\\ \int\frac{d^3k}{(2\pi)^3}e^{-s\mathbf k^2+i\mathbf k\cdot\mathbf z} &=(4\pi s)^{-3/2}e^{-r^2/(4s)}. \end{aligned}

第一式通过配方 $-sk_j^2+ik_jz_j=-s(k_j-iz_j/2s)^2-z_j^2/4s$ 得到，第二式是三个方向的乘积。乘上式（4.13）中的 $s^{-1/2}/(2\sqrt\pi)$ ，便有

C(r)=\frac1{16\pi^2}\int_0^\infty\frac{ds}{s^2} \exp\left(-m^2s-\frac{r^2}{4s}\right),\qquad r>0. \tag{4.14}

对 $r\geq r_0>0$ ，积分下端由 $s^{-2}e^{-r_0^2/(4s)}$ 控制，上端由 $s^{-2}$ 控制，两端都可积。因此可以取 $\epsilon\to0$ 、 $R\to\infty$ ，得到类空分离处的两点核。

为了把积分化为便于求极限的形式，令 $v=r^2/(4s)$ 。由 $ds/s^2=-4\,dv/r^2$ ，并交换积分上下限，得到

C(r)=\frac1{4\pi^2r^2}\int_0^\infty dv\, e^{-v-(mr)^2/(4v)}. \tag{4.15}

在 $m>0$ 时，进一步令 $z=mr$ 、 $v=(z/2)e^u$ ，所以 $dv=(z/2)e^u du$ ，指数化为 $-z\cosh u$ 。将正、负 $u$ 半轴的贡献配对，便有

\begin{aligned} \int_0^\infty dv\,e^{-v-z^2/(4v)} &=\frac z2\int_{-\infty}^{\infty}du\,e^u e^{-z\cosh u}\\ &=z\int_0^\infty du\,\cosh u\,e^{-z\cosh u} \equiv zK_1(z). \end{aligned} \tag{4.16}

这里引入了修正 Bessel 函数的积分表示 $K_\nu(z)=\int_0^\infty e^{-z\cosh u}\cosh(\nu u)\,du$ ，当前取指标 $\nu=1$ 。

也可以直接从积分确认它是哪一支Bessel函数。在 $z>0$ 处求两次导数，组合 $z^2K_1''+zK_1'-(z^2+1)K_1$ 的被积函数可整理为全导数：

-z\frac{d}{du}\left(\sinh u\cosh u\,e^{-z\cosh u}\right) -\frac{d}{du}\left(\sinh u\,e^{-z\cosh u}\right). \tag{4.17}

在下限处，两项都含 $\sinh0=0$ ，在无穷远又都受指数压制，故积分为零，函数满足一阶指标的修正Bessel方程。还须用大参数行为选定其中的解：当 $z$ 很大时，主导区域为 $u=O(z^{-1/2})$ 。代入 $\cosh u=1+u^2/2+O(u^4)$ 和 $u=w/\sqrt z$ ，得到 $K_1(z)\sim e^{-z}z^{-1/2}\int_0^\infty e^{-w^2/2}dw =\sqrt{\pi/(2z)}e^{-z}$ ，正是通常的衰减归一化。积分及其导数由 $e^{-z\cosh u}$ 控制；大参数估计时可以先限制小 $u$ 区域，外部因 $\cosh u>1$ 而有更强的指数压制。

将这些结果代回两点核，得到完整表达式及其零质量极限：

C_m(r)=\frac{m}{4\pi^2r}K_1(mr),\quad m>0;\qquad C_0(r)=\frac1{4\pi^2r^2},\quad r>0. \tag{4.18}

在式（4.15）中，被积函数由 $e^{-v}$ 支配，所以可将 $m\to0$ 移入积分，只剩 $\int_0^\infty e^{-v}dv=1$ ，这直接给出零质量结果。同一个正积分表示还说明，对所有 $r>0$ 、 $m\geq0$ ，都有 $C(r)>0$ 。它的质量维数为 2，与两场乘积一致；在大 $mr$ 时虽按指数衰减，在任何有限类空距离上仍为正。

哪些线性场组合可以局域

类空分离时可转到等时参考系，因而 $W_+(z)=W_+(-z)=C(r)$ 。另一方面，两种统计的换序规律统一为 $[B,A]_\sigma=-\sigma[A,B]_\sigma$ ，所以反向混合括号为

[\varphi^-(x),\varphi^+(y)]_\sigma=-\sigma C(r),\qquad [\varphi^\pm(x),\varphi^\pm(y)]_\sigma=0. \tag{4.19}

单独的正、负频率部分既然有非零的混合核，仅凭它们都是标量，还不能保证任意厄米相互作用密度满足式（4.10）。一个可能的办法是把两支混合起来，让正向和反向核抵消。为此取单种模式的线性组合

\varphi_\lambda=\varphi^++\lambda\varphi^-, \qquad \varphi_\lambda^\dagger=\varphi^-+\lambda^*\varphi^+. \tag{4.20}

要同时检验场与自身以及与共轭场的局域性，将两个括号都逐项展开。同频率项为零，混合项则带着各自的系数，得到

\begin{aligned} \relax[\varphi_\lambda(x),\varphi_\lambda^\dagger(y)]_\sigma &=C(r)+|\lambda|^2[-\sigma C(r)] =(1-\sigma|\lambda|^2)C(r),\\ [\varphi_\lambda(x),\varphi_\lambda(y)]_\sigma &=\lambda C(r)+\lambda[-\sigma C(r)] =\lambda(1-\sigma)C(r). \end{aligned} \tag{4.21}

两种统计的差别现在清楚了。对CCR，第二式自动为零，第一式因 $C(r)>0$ 而要求 $|\lambda|=1$ 。对CAR，第一式却是 $(1+|\lambda|^2)C(r)>0$ ，任何复 $\lambda$ 都无法消去；取 $\lambda=0$ 也只能令第二式为零。因此，在这种单种正能标量模式的线性构造中，玻色统计可以给出场及其共轭的类空分次局域关系，费米统计则不能。

玻色情形剩余的选择只是一项常相位。对允许的 $\lambda=e^{i\alpha}$ ，令 $\chi=e^{-i\alpha/2}\varphi_\lambda$ ，得到

\chi=e^{-i\alpha/2}\varphi^++e^{i\alpha/2}\varphi^-, \qquad \chi^\dagger=\chi. \tag{4.22}

定义新模式 $b=e^{-i\alpha/2}a$ 、 $b^\dagger=e^{i\alpha/2}a^\dagger$ 后，混合括号中的相位相消，代数不变， $\chi$ 就是由 $b,b^\dagger$ 构造的标准实场。反过来，旧模式由 $a=e^{i\alpha/2}b$ 表达。因此，这个常相位可完全吸收入模式定义。

对所得玻色实场， $[\chi(x),\chi(y)]=C(r)-C(r)=0$ 。用正规乘积定义同点多项式后，反复使用乘积对易法则便得类空分离处 $[:\!\chi(x)^n\!:,:\!\chi(y)^l\!:]=0$ 。因此可以用这些局域多项式构造满足式（4.10）的相互作用密度。

类空两点函数 $W_+(z)$ 描述真空相关，局域扰动的响应则由对易子控制。例如取类空分离区域中的有界自伴可观测量 $A,B$ ，由 $[A,B]=0$ 得

\frac{d}{d\epsilon}\left(e^{-i\epsilon B}Ae^{i\epsilon B}\right) =-ie^{-i\epsilon B}[B,A]e^{i\epsilon B}=0.

因此 $e^{-i\epsilon B}Ae^{i\epsilon B}=A$ ：在 $B$ 所在区域施加这个扰动， $A$ 的测量结果保持不变。真空的类空相关与局域响应的因果性由两个不同的量描述。

自旋与统计

对本节的正能标量模式，类空局域性要求采用对易关系，并将正、负频率部分以模为一的相对系数组合。吸收一个常相位以后，所得就是上一节的厄米实标量场。

还可以从等时场的厄米性看出，把全部正则括号换成反对易子会发生什么。若要求任意空间点对满足 $\{\varphi(\mathbf x,t),\varphi(\mathbf y,t)\}=0$ ，用实测试函数积分得到厄米算符 $\Phi_f$ ，则

2\Phi_f^2=\{\Phi_f,\Phi_f\}=0, \qquad \|\Phi_f|\psi\rangle\|^2 =\langle\psi|\Phi_f^2|\psi\rangle=0.

正定内积因而迫使 $\Phi_f$ 为零。非平凡的厄米标量场应当采用上一节的正则对易关系。

四维相对论局域场论中的一般自旋–统计定理，将这一联系推广到具有正定态空间、不变真空和正能量谱的协变场。用 $j=0,1$ 分别表示玻色、费米的交换奇偶性，其结论为

(-1)^j=(-1)^{2s}. \tag{4.23}

整数自旋对应玻色统计，半整数自旋对应费米统计。本节从正频率核出发得到了自旋零的结果；第37节的旋量量子化将具体展示半整数自旋场中的统计选择。

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