Srednicki §79 Gervais–Neveu 规范

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上一节把圈修正收进一个保持背景规范不变性的量子作用量。求散射振幅时，可以把它的各阶导数当作顶角，再用传播子连接成树图。这种安排留下了一项自由：计算圈修正时选定的规范，并不要求随后连接这些顶角时仍用同一种规范。本节利用这项自由，重新整理杨—米尔斯作用量，使三次和四次相互作用各只含一个有序矩阵迹。许多颜色和洛伦兹指标的组合因而可以留到最后才展开。

我们从第78节的背景作用量出发，先解释树图构造，再改变生成元归一，并按导数的个数化简作用量。规范函数将包含单位矩阵分量，因此必须区分两种群空间： $SU(N)$ 要求无迹投影，完整 $U(N)$ 则还包括中央场。先展开完整矩阵多项式，再作无迹投影，就能用四胶子散射具体看出两种实现所需的内部场和顶角。

从背景量子作用量得到树图

第19、21节的结果是，固定规范下的勒让德有效作用量已经包含全部1PI部分；把这些部分连成树，就能恢复连通函数。这里“树”说的是1PI部分之间的连接，每个顶角内部仍可有圈。若对完整有效作用量再作一次任意圈展开，就会重复计入这些量子修正。

背景方法与这一结论怎样相接，可以先用一个平移看清楚。用 $b$ 表示固定背景， $Q$ 表示涨落， $a$ 表示总场的平均值。把规范条件写成 $G_b=\!D_b^\mu(A_\mu-b_\mu)$ 。在同一固定 $b$ 的泛函积分中，令 $A=b+Q$ ；线性平移的雅可比因子为1，源项只多出 $\int Jb$ 。于是

\begin{aligned} Z_Q[J;b]&=e^{-i\int Jb}Z_A[J;b],\\ W_Q[J;b]&=W_A[J;b]-\int Jb,\qquad \widehat Q=a-b,\\ \Gamma_Q[\widehat Q;b] &=W_Q-\int J\widehat Q =W_A-\int Ja=\Gamma_A[a;b],\\ \Gamma_{\rm bg}[b]&=\Gamma_A[a;b]\big|_{a=b}. \end{aligned} \tag{79.1}

最后一行就是上一节的对角限制。沿对角线求导会同时改变平均场和规范条件中的背景参数。省略指标及位置，有

\frac{\delta^n\Gamma_{\rm bg}[b]}{\delta b^n} = \left(\frac{\delta}{\delta a}+\frac{\delta}{\delta b}\right)^n \Gamma_A[a;b]\bigg|_{a=b}. \tag{79.2}

只有 $a$ 导数的项才是固定 $b$ 时的通常1PI顶角；其余项含对规范条件的变分。这些规范条件的变分在物理散射中为零，可由第74节的BRST性质说明。保留辅助场后，将规范固定与鬼作用量合写为 $s\Psi_b$ ，则 $\delta_bS=s(\delta_b\Psi_b)$ 。在无规范反常、测度和边界保持BRST的微扰定义中，对物理入出态有

\begin{gathered} \delta_b S_{\rm phys} =i\langle{\rm out}|\,T\,s(\delta_b\Psi_b)\,|{\rm in}\rangle=0, \\ Q_{\rm B}|{\rm in}\rangle=0,\quad \langle{\rm out}|Q_{\rm B}=0. \end{gathered} \tag{79.3}

这里 $sX$ 由BRST荷与 $X$ 的分级对易子实现；把荷移到两端，两个矩阵元都为零。等价的格林函数证明先使用相应沃德恒等式，再作物理偏振的LSZ截肢。这个次序也要求外腿留数和红外处理相容。

从（79.2）到完整树图之和，还需使用背景场的散射等价定理：在这些条件下，给 $\Gamma_{\rm bg}$ 再加一个可用的规范固定项，以所得二次核的逆连接其1PI顶角，得到通常的物理 $S$ 矩阵。含背景参数导数的额外树图在物理LSZ极限中相消。证明见Abbott、Grisaru 与 Schaefer，第2节：先将对背景参数的导数表示成附加顶角，再用BRST恒等式整理连接图；物理偏振消去纵向外腿，其余附加项在截肢后没有所需的外腿在壳极点。（79.2）中的这些额外导数在离壳时仍会存在，所以两种1PI函数一般不同。

$\Gamma_{\rm bg}$ 仍有规范零方向，故它的二次核不能直接求逆。第二次规范固定便是为了给这些连接线定义传播子，可以按过程选择方便的规范。这一次树连接不需要显式鬼顶角，理由如下。没有外鬼的树图若含鬼线，沿其箭头经过各顶角，鬼数守恒使箭头不能中途终止；有限图中最终必形成闭圈。因此鬼顶角不参与这一次无外鬼的树连接，而先前已经收入 $\Gamma_{\rm bg}$ 的鬼圈仍保留在各顶角里。

本节以下只取 $\Gamma_{\rm bg}=S_{\rm YM}+O(\hbar)$ ，求最低阶树幅。若第二次仍用通常 $R_\xi$ 规范，就恢复第72节的规则；三、四胶子顶角各有多个张量项，逐图展开很繁。Gervais–Neveu规范的用意，是让规范固定项同时抵消一部分相互作用，并使自由核可逆。

改用单位迹归一的矩阵场

先讨论 $SU(N)$ 基本矩阵，并把生成元的迹归一改为1。以前的生成元记作 $t^a$ ，现在取

T^a=\sqrt2\,t^a,\qquad \operatorname{Tr}T^aT^b=\delta^{ab},\qquad [T^a,T^b]=i\sqrt2 f^{abc}T^c. \tag{79.4}

第三式由 $[\,\sqrt2t^a,\sqrt2t^b\,]=2if^{abc}t^c$ 直接得到。这里保留原来的 $f^{abc}$ 。把相同物理分量 $A_\mu^a$ 乘上新的基底，矩阵场随之变大 $\sqrt2$ 倍，因此矩阵连接中的系数必须反向改变：

\begin{aligned} A_\mu&=A_\mu^aT^a=\sqrt2\,A_{\mu,\rm old}, \qquad \kappa\equiv \frac{g}{\sqrt2},\\ D_\mu&=\partial_\mu-i\kappa A_\mu =\partial_\mu-igA_{\mu,\rm old},\\ F_{\mu\nu} &=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu -i\kappa[A_\mu,A_\nu] =F_{\mu\nu}^aT^a,\\ F_{\mu\nu}^a &=\partial_\mu A_\nu^a-\partial_\nu A_\mu^a +gf^{abc}A_\mu^bA_\nu^c. \end{aligned} \tag{79.5}

这样 $g$ 和分量场强都保持原值。由单位迹归一，动能为

\mathcal L_{\rm YM} =-\frac14\operatorname{Tr}F^{\mu\nu}F_{\mu\nu} =-\frac14F^{a\mu\nu}F_{\mu\nu}^a. \tag{79.6}

接着将场强的两类项合在一个不必反对称的张量里，定义

H_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-i\kappa A_\mu A_\nu, \qquad F_{\mu\nu}=H_{\mu\nu}-H_{\nu\mu}. \tag{79.7}

$A_\mu$ 为厄米矩阵，但 $H$ 通常不是；两指标反对称以后，二次矩阵项变成 $-i\kappa[A_\mu,A_\nu]$ ，才恢复厄米的场强。使用 $H$ 的好处是，每个 $H$ 中只保留一种矩阵次序，后面的抵消更容易看见。

先展开两份反对称差。在最后两项交换求和指标 $\mu,\nu$ ，得到

\begin{aligned} \operatorname{Tr}F^{\mu\nu}F_{\mu\nu} ={}&\operatorname{Tr}\bigl( H^{\mu\nu}H_{\mu\nu}-H^{\mu\nu}H_{\nu\mu}\\ &\hspace{17mm} -H^{\nu\mu}H_{\mu\nu}+H^{\nu\mu}H_{\nu\mu}\bigr)\\ ={}&2\operatorname{Tr} \bigl(H^{\mu\nu}H_{\mu\nu}-H^{\mu\nu}H_{\nu\mu}\bigr),\\ \mathcal L_{\rm YM} ={}&-\frac12\operatorname{Tr} \bigl(H^{\mu\nu}H_{\mu\nu}-H^{\mu\nu}H_{\nu\mu}\bigr). \end{aligned} \tag{79.8}

因子2来自哑指标重命名。

按导数的个数整理作用量

取 $\xi=1$ ，把规范函数选作 $H$ 的洛伦兹迹：

\begin{aligned} G&=H^\mu{}_\mu =\partial^\mu A_\mu-i\kappa A_\mu A^\mu,\\ \mathcal L_{\rm gf}^{\rm full} &=-\frac12\operatorname{Tr}G^2,\\ \mathcal L_{\rm full} &=-\frac12\operatorname{Tr} \bigl(H^{\mu\nu}H_{\mu\nu} -H^{\mu\nu}H_{\nu\mu} +H^\mu{}_\mu H^\nu{}_\nu\bigr). \end{aligned} \tag{79.9}

规范固定项采用普通平方 $G^2$ ，其中的 $(-i)^2$ 决定了四次相互作用项的号。对 $SU(N)$ 场，第一项 $\partial\cdot A$ 无迹， $A_\mu A^\mu$ 却通常有迹，所以 $G$ 已超出无迹代数；下标“full”标明这里使用完整矩阵平方。无迹投影会对其中的四次项产生修正。

有两个导数时，只能从每个 $H$ 中取 $\partial A$ 。第二、第三项分别给交叉导数与散度平方。令

\begin{aligned} J^\mu&=\operatorname{Tr} \bigl(A_\nu\partial^\nu A^\mu -A^\mu\partial_\nu A^\nu\bigr),\\ \partial_\mu J^\mu &=\operatorname{Tr}\bigl[ (\partial^\mu A^\nu)(\partial_\nu A_\mu) -(\partial_\mu A^\mu)(\partial_\nu A^\nu)\bigr],\\ \mathcal L_{2\partial} &=-\frac12\operatorname{Tr} (\partial^\mu A^\nu)(\partial_\mu A_\nu) +\frac12\partial_\mu J^\mu. \end{aligned} \tag{79.10}

验证第二行时，先对 $J^\mu$ 用乘法法则。除所写的两项外，还有 $A_\nu\partial_\mu\partial^\nu A^\mu$ 及 $-A^\mu\partial_\mu\partial_\nu A^\nu$ ；导数对易，并在第一项重命名两个指标，二者相消。在衰减波包或无边界通量的条件下，全导数积分为零，只留下显示的动能项。自由核因此仍是 $\xi=1$ 的核，其实际分量内线为 $g_{\mu\nu}\delta^{ab}/[i(k^2-i0)]$ 。

没有导数时，每个 $H$ 各给 $-i\kappa AA$ ，平方产生 $-\kappa^2$ ，再乘外面的 $-1/2$ 。三个迹因而组合为

\begin{aligned} \mathcal L_{0\partial} &=\frac{\kappa^2}{2}\operatorname{Tr}\bigl( A^\mu A^\nu A_\mu A_\nu -A^\mu A^\nu A_\nu A_\mu\\ &\hspace{30mm}+A^\mu A_\mu A^\nu A_\nu\bigr). \end{aligned} \tag{79.11}

将第二项的最后一个矩阵绕迹移到最前，得到 $\operatorname{Tr}A_\mu A^\mu A^\nu A_\nu$ 。收缩指标的度规对称，使 $A_\mu A^\mu=A^\mu A_\mu$ ，所以第二、第三项抵消。剩下 $g^2\operatorname{Tr}A^\mu A^\nu A_\mu A_\nu/4$ 。这里用的是迹的循环性；一般的 $A_\mu A_\nu$ 并不等于 $A_\nu A_\mu$ 。

最后看只有一个导数的项。从每对 $HH$ 中，可以在第一或第二个因子里取导数，两种选择经循环迹相等。因此，三个有序迹都带系数 $i\kappa$ 。为把分部积分的去向写清，记

\begin{aligned} X&=\operatorname{Tr}(\partial^\mu A^\nu)A_\mu A_\nu,\\ Y&=\operatorname{Tr}(\partial^\mu A^\nu)A_\nu A_\mu,\\ Z&=\operatorname{Tr}(\partial^\mu A_\mu)A^\nu A_\nu,\\ \mathcal L_{1\partial}&=i\kappa(X-Y+Z). \end{aligned} \tag{79.12}

各导数只作用于括号里的那个场。要处理 $Z$ ，对完整三场乘积 $K^\mu=\operatorname{Tr}A^\mu A^\nu A_\nu$ 求导：

\begin{aligned} \partial_\mu K^\mu &=Z+\operatorname{Tr}A^\mu(\partial_\mu A^\nu)A_\nu +\operatorname{Tr}A^\mu A^\nu(\partial_\mu A_\nu)\\ &=Z+Y+X,\\ \mathcal L_{1\partial} &=i\kappa(X-Y-X-Y+\partial_\mu K^\mu)\\ &=-2i\kappa Y+i\kappa\partial_\mu K^\mu. \end{aligned} \tag{79.13}

第二行中，把第二项的最前矩阵移到最后就得到 $Y$ ；第三项则把被微分的矩阵移到最前，得到 $X$ 。因此分部积分所生的一项抵消原来的 $X$ ，另一项与 $-Y$ 相加。合起来的系数便是 $-i\sqrt2 g$ 。

将三种导数阶数合起来，得到简洁的有序矩阵形式：

\begin{aligned} \mathcal L_{\rm full}&\doteq \operatorname{Tr}\Bigl[ -\frac12(\partial^\mu A^\nu)(\partial_\mu A_\nu)\\ &\hspace{13mm}-i\sqrt2g(\partial^\mu A^\nu)A_\nu A_\mu +\frac{g^2}{4}A^\mu A^\nu A_\mu A_\nu \Bigr]. \end{aligned} \tag{79.14}

符号 $\doteq$ 表示作用量相等：未写出的密度是 $\partial_\mu J^\mu/2+i\kappa\partial_\mu K^\mu$ 。现在三次项只含一个导数位置，四次项只含交替的矩阵次序。每项的质量维数也都是4，三、四次项分别带 $g,g^2$ ，与上一节的分量理论一致。怎样从这样的有序迹读出规则，是下一节的主题；在使用它之前，先解决规范函数的单位矩阵分量。

无迹条件带来的修正

$SU(N)$ 只有 $N^2-1$ 个独立规范参数。相应的规范条件应为 $G^a=\operatorname{Tr}(T^aG)$ ，也就是 $G$ 沿无迹基的分量。单位矩阵与所有 $T^a$ 迹正交，因此将 $G$ 分解成

\begin{aligned} \operatorname{Tr}G&=-i\kappa\,\mathscr S, \qquad \mathscr S\equiv\operatorname{Tr}(A_\mu A^\mu),\\ \widehat G&=P_0G =G-\frac{\mathbf1_N}{N}\operatorname{Tr}G,\\ \sum_{a=1}^{N^2-1}G^aG^a &=\operatorname{Tr}\widehat G^2 =\operatorname{Tr}G^2-\frac1N(\operatorname{Tr}G)^2 . \end{aligned} \tag{79.15}

最后一行可直接展开平方验证：交叉项是 $-2(\operatorname{Tr}G)^2/N$ ，单位阵平方的迹补回 $(\operatorname{Tr}G)^2/N$ 。这也是无迹基完备性的作用。仅使用这 $N^2-1$ 个条件时，规范固定项及总密度应为

\begin{aligned} \mathcal L_{\rm gf}^{\rm SU} &=-\frac12\operatorname{Tr}\widehat G^2 =-\frac12\operatorname{Tr}G^2 +\frac1{2N}(\operatorname{Tr}G)^2\\ &=\mathcal L_{\rm gf}^{\rm full} -\frac{g^2}{4N}\mathscr S^2,\\ \mathcal L_{\rm SU} &\doteq\mathcal L_{\rm compact} -\frac{g^2}{4N} [\operatorname{Tr}(A_\mu A^\mu)]^2 . \end{aligned} \tag{79.16}

$\mathcal L_{\rm compact}$ 是（79.14）右边的三个项。这里的负号来自 $(-i)^2=-1$ ，因为规范函数仍取普通平方。双迹项把规范固定限制在 $SU(N)$ 的 $N^2-1$ 个方向上。

可以用 $SU(2)$ 看出它的直接后果。此时 $T^a=\sigma^a/\sqrt2$ ，由泡利矩阵的乘法式， $\{T^a,T^b\}=\delta^{ab}\mathbf1_2$ 。 $A_\mu^aA^{b\mu}$ 对 $a,b$ 对称，反对称乘积不贡献，故

\begin{gathered} A_\mu A^\mu =\frac12A_\mu^aA^{a\mu}\mathbf1_2,\qquad \widehat G=\partial^\mu A_\mu,\\ \mathcal L_{\rm full}-\mathcal L_{\rm SU} =\frac{g^2}{8}(A_\mu^aA^{a\mu})^2 . \end{gathered} \tag{79.17}

所以投影后的 $SU(2)$ 规范就是通常的费曼规范。若四条外胶子都取颜色1，普通杨—米尔斯四点接触以及三条交换道的颜色因子都含 $f^{11b}=0$ ，树幅为零。未经投影的密度却多出上式最后一项。只留下颜色1的场 $W_\mu$ ，对它作四次带标签的泛函微分，得到

\begin{aligned} \Delta\mathcal L&=\frac{g^2}{8}(W_\mu W^\mu)^2,\\ i\Delta V_{\mu\nu\rho\sigma} &=ig^2\bigl( g_{\mu\nu}g_{\rho\sigma} +g_{\mu\rho}g_{\nu\sigma} +g_{\mu\sigma}g_{\nu\rho}\bigr). \end{aligned} \tag{79.18}

四条带标签的腿有 $4!=24$ 种分配，分成三种度规配对；每种配对有 $2\times2\times2=8$ 种，抵消 $1/8$ 。这里的 $i$ 来自作用量指数。这个项对物理横向偏振也可以非零。例如取以下全部流入的动量和实偏振， $E>0$ ：

\begin{aligned} k_1&=(E,0,0,E),& k_2&=(E,0,0,-E),\\ k_3&=(-E,-E,0,0),&k_4&=(-E,E,0,0),\\ \varepsilon_i&=(0,0,1,0),&& i=1,2,3,4. \end{aligned} \tag{79.19}

四个动量之和为零，每个动量平方为零，且 $k_i\cdot\varepsilon_i=0$ 。偏振垂直于散射平面，彼此内积全为1。三道内动量平方为 $-4E^2,2E^2,2E^2$ ，也没有零分母。于是

i\mathcal T_{\rm SU}=0,\qquad i\mathcal T_{\rm full,\;SU\ internal} =ig^2(1+1+1)=3ig^2 . \tag{79.20}

未经投影时没有别的三点图补偿这个差： $SU(2)$ 的非线性规范三次项含 $\operatorname{Tr}[(\partial\cdot A)A^2]$ ，第二因子正比单位阵，第一因子无迹，故它为零。由此可见，只用 $SU(N)$ 内色而直接采用 $\mathcal L_{\rm compact}$ 、不加双迹修正，会改变所求的胶子树幅。

完整矩阵空间与中央场的交换

还有一种保留（79.14）简洁形式的办法：把单位矩阵也作为一个独立规范方向。取 $T^0=\mathbf1_N/\sqrt N$ ，用 $\mathbb A$ 表示这个完整的 $U(N)$ 场，则

\begin{aligned} \mathbb A_\mu&=a_\mu T^0+W_\mu^aT^a,\qquad \operatorname{Tr}T^AT^B=\delta^{AB}, \quad A,B=0,\ldots,N^2-1,\\ \mathbb F_{\mu\nu} &=f^0_{\mu\nu}T^0+F^a_{\mu\nu}(W)T^a,\qquad f^0_{\mu\nu}=\partial_\mu a_\nu-\partial_\nu a_\mu,\\ -\frac14\operatorname{Tr}\mathbb F^{\mu\nu}\mathbb F_{\mu\nu} &=-\frac14f^{0\mu\nu}f^0_{\mu\nu} -\frac14F^{a\mu\nu}(W)F_{\mu\nu}^a(W). \end{aligned} \tag{79.21}

单位阵与其余生成元对易，所以未固定规范时，中央场只是一个自由麦克斯韦场。此时共有 $N^2$ 个规范条件，完整的 $\operatorname{Tr}\mathbb G^2$ 恰好等于它们的平方和。前面的代数可逐步照用，只须把其中所有 $A$ 都解释为 $\mathbb A$ 。

Siegel《Fields》，VI.B.4也在完整 $U(N)$ 空间中使用这一选择，其规范函数写为 $f_{0,S}=\partial\cdot A_S+iA_S^2$ 。它把耦合吸入连接；用本节记号比较时，作

\begin{gathered} A_{S,\mu}=-\kappa\mathbb A_\mu,\qquad \partial_\mu+iA_{S,\mu}=D_\mu,\\ f_{0,S}=-\kappa \bigl(\partial\cdot\mathbb A-i\kappa\mathbb A^2\bigr) =-\kappa\mathbb G . \end{gathered} \tag{79.22}

这说明规范函数的形式相合，也明确了它所作用的群空间。下面的传播子和顶角继续从本节（79.21）的动能归一求出。完整 $U(N)$ 实现的内部变量包括中央场及相应的鬼和辅助场，即使外部粒子全属于 $SU(N)$ 也是如此。

中央场在未固定规范时虽自由，非线性规范条件却会把它与 $W$ 联系起来。令 $h=g/\sqrt{2N}$ ，并定义 $d^{abc}=\operatorname{Tr}(T^a\{T^b,T^c\})/\sqrt2$ 。迹的循环性使它对三个指标全对称；这一定义与旧基底 $t^a$ 的通常 $d$ 归一相合。展开矩阵平方可得

\begin{aligned} \mathbb G^0 &=\partial\cdot a-ih(a_\mu a^\mu+W_\mu^aW^{a\mu}),\\ \mathbb G^a &=\partial\cdot W^a-2ih\,a_\mu W^{a\mu} -\frac{ig}{2}d^{abc}W_\mu^bW^{c\mu}. \end{aligned} \tag{79.23}

第一式用 $\operatorname{Tr}T^0\mathbb A^2=(a^2+W^2)/\sqrt N$ ；第二式的混合项来自 $aT^0$ 在乘积中的两个位置。在 $SU(2)$ 例中 $d^{abc}=0$ 、 $h=g/2$ 。将 $-\sum_A(\mathbb G^A)^2/2$ 展开，含一条 $a$ 和两条 $W$ 的部分是

\begin{aligned} \mathcal L_{aWW} &=ih(\partial\cdot a)\,W_\mu^aW^{a\mu} +2ih(\partial\cdot W^a)a_\mu W^{a\mu},\\ iV_{\alpha\nu\rho}^{0ab}(k,p,r) &=-2ih\,\delta^{ab} \bigl(k_\alpha g_{\nu\rho} +p_\nu g_{\alpha\rho}+r_\rho g_{\alpha\nu}\bigr),\\ iV_{\alpha\nu\rho}^{0ab} \varepsilon_p^\nu\varepsilon_r^\rho &=-2ih\,\delta^{ab}k_\alpha (\varepsilon_p\cdot\varepsilon_r). \end{aligned} \tag{79.24}

这里 $k+p+r=0$ ，顶角按上指标场 $a^\alpha,W^{a\nu},W^{b\rho}$ 微分。第一项中两个 $W$ 的分配给2，第二项中被微分的 $W$ 有两个选择，给后面两项。系数的相位是 $i(ih)i=-ih$ 。两个外 $W$ 取横向后，后两项消失，中央内线便由纵向电流激发。

以 $(12)|(34)$ 道为例，令 $P=k_1+k_2$ 。两个顶角上的中央入动量分别为 $-P,+P$ 。用（79.21）的费曼内线连接，得到

\begin{aligned} i\mathcal T_{0,(12|34)} &=(2ihP_\alpha) \frac{g^{\alpha\beta}}{i(P^2-i0)} (-2ihP_\beta) (\varepsilon_1\cdot\varepsilon_2) (\varepsilon_3\cdot\varepsilon_4)\\ &=-4ih^2\frac{P^2}{P^2-i0} (\varepsilon_1\cdot\varepsilon_2) (\varepsilon_3\cdot\varepsilon_4)\\ &\longrightarrow-\frac{2ig^2}{N} (\varepsilon_1\cdot\varepsilon_2) (\varepsilon_3\cdot\varepsilon_4). \end{aligned} \tag{79.25}

对（79.19）的非退化动量，最后极限直接成立。在 $N=2$ 时，每一道为 $-ig^2$ ，三道合成 $-3ig^2$ ，恰好抵消（79.20）的额外接触项，完整 $U(2)$ 理论对这些外部 $SU(2)$ 态仍给零。中央内线的纵向分子约去传播子的 $P^2$ ，正好产生所需的局部补偿。

复规范选择和非线性鬼项

规范函数 $G$ 非厄米，因而还须说明这种复规范选择如何定义。为此从第74节的BRST形式出发。在仅有 $SU(N)$ 场的版本中，取一族规范函数

\begin{aligned} G_t&=\partial\cdot A-it\kappa \left(A_\mu A^\mu-\frac{\mathbf1_N}{N} \operatorname{Tr}A_\mu A^\mu\right),\\ \Psi_t&=\int d^4x\,\operatorname{Tr} \bar c\left(-G_t+\frac{\xi}{2}B\right),\\ sA_\mu&=D_\mu c,\qquad sc=i\kappa c^2,\qquad s\bar c=B,\qquad sB=0 . \end{aligned} \tag{79.26}

$t=0$ 是通常的线性规范， $t=1,\xi=1$ 是投影后的Gervais–Neveu选择。这里 $s$ 是左奇微分；由 $sA=Dc$ 可得 $s(Dc)=D(sc)-i\kappa\{Dc,c\}=0$ ，其中 $D(c^2)=(Dc)c+c(Dc)$ ，所以采用的矩阵号与第74节的幂零变分一致。对 $\Psi_t$ 作奇微分时，穿过前置的 $\bar c$ 要变号：

\begin{gathered} s\Psi_t=\int d^4x\,\operatorname{Tr} \left(-BG_t+\frac{\xi}{2}B^2+\bar c\,sG_t\right),\\ B=\frac{G_t}{\xi},\qquad \mathcal L_{\rm gf+gh} =-\frac1{2\xi}\operatorname{Tr}G_t^2 +\operatorname{Tr}\bar c\,sG_t . \end{gathered} \tag{79.27}

辅助场的代数方程给出第二行。在参考真空附近作微扰展开时，可以将规范系数延拓到这里的复值，同时保持原来的极点处方和BRST 沃德恒等式。若用泛函积分表达这种延拓，还要求积分轮廓能连续变形，且没有边界贡献。对BRST闭合的偶插入 $O$ ，归一化积分的导数给

\begin{aligned} \frac{d}{dt}\langle O\rangle_t &=i\langle O\,s(\partial_t\Psi_t)\rangle_{t,c}\\ &=i\langle s(O\,\partial_t\Psi_t)\rangle_{t,c}=0 . \end{aligned} \tag{79.28}

下标 $c$ 扣除了归一分母的导数。第二行用了 $sO=0$ ；最后一步正是测度与边界的BRST恒等式。用于散射时取物理BRST态和相容的LSZ极限，就回到（79.3）的论证。复规范由这个保持BRST恒等式的连续微扰延拓定义。完整 $U(N)$ 版本采用同一公式，但去掉 $P_0$ ，并把 $A,c,\bar c,B$ 全都扩成 $N^2$ 个分量。

为看清鬼为何只在本节的树图中可以省略，再求一次这非线性函数的FP核。普通无穷小参数沿上一节取 $\delta_\theta A=-D\theta$ ，所以

\begin{aligned} \delta_\theta G &=-\partial^\mu D_\mu\theta +i\kappa\{A^\mu,D_\mu\theta\},\\ M_{\rm SU}\theta &=P_0\left[-\partial^\mu D_\mu\theta +i\kappa\{A^\mu,D_\mu\theta\}\right],\\ \mathcal L_{\rm gh} &=-\operatorname{Tr}\bar c\,M_{\rm SU}c . \end{aligned} \tag{79.29}

两个反对易子项来自 $\delta(A_\mu A^\mu)=(\delta A_\mu)A^\mu+A_\mu\delta A^\mu$ 。因反鬼无迹，最后一行可不显写 $P_0$ ，但核的定义域和值域仍是无迹子空间。完整 $U(N)$ 版本的核则作用于全部矩阵分量，包括中央鬼。

代入 $D_\mu c=\partial_\mu c-i\kappa[A_\mu,c]$ ，只对最外层的 $\partial$ 分部积分，得到

\begin{aligned} \mathcal L_{\rm gh}\doteq{}& -\operatorname{Tr}(\partial^\mu\bar c)(\partial_\mu c) +i\kappa\operatorname{Tr}(\partial^\mu\bar c)[A_\mu,c]\\ &-i\kappa\operatorname{Tr}\bar c\{A^\mu,\partial_\mu c\} -\kappa^2\operatorname{Tr}\bar c[A_\mu A^\mu,c]. \end{aligned} \tag{79.30}

最后一个号来自 $(-i\kappa)^2=-\kappa^2$ ；其矩阵结构用了 $\{A^\mu,[A_\mu,c]\}=A^2c-cA^2$ ，中间两个 $AcA$ 项相消。反鬼始终放在鬼之前。这里移动的 $A$ 是偶变量，计算没有另作两个奇变量的交换。

还可以把新增鬼顶角明确写出来。以本节定义的 $d^{abc}$ 表示对称乘积，新的基本矩阵满足

\{T^a,T^b\} =\frac{2}{N}\delta^{ab}\mathbf1_N+\sqrt2d^{abc}T^c, \qquad \widehat G^a=\partial\cdot A^a -\frac{ig}{2}d^{abc}A_\mu^bA^{c\mu}. \tag{79.31}

把（79.30）中的迹分别取出，使用（79.4）的对易关系，四项依次成为

\begin{aligned} \mathcal L_{\rm gh}\doteq{}& -(\partial^\mu\bar c^b)(\partial_\mu c^b) +gf^{abc}A_\mu^a(\partial^\mu\bar c^b)c^c\\ &-ig d^{abc}A_\mu^a\bar c^b\partial^\mu c^c +\frac{ig^2}{2}d^{ade}f^{ebc} A_\mu^aA^{d\mu}\bar c^bc^c . \end{aligned} \tag{79.32}

例如最后一项中， $A^2$ 的无迹部分是 $d^{ade}A^a\cdot A^dT^e/\sqrt2$ ；再同 $c^cT^c$ 取对易子，得到 $if^{ecb}T^b$ 。乘上 $-\kappa^2$ 并将 $f^{ecb}$ 换成 $-f^{ebc}$ ，就得到所写的 $+ig^2/2$ 。前两项是线性规范已有的动能与鬼顶角，后两项来自新的 $A^2$ 条件。

取全部流入的 $A^{a\mu}(k),\bar c^b(r),c^c(s)$ ，各导数给 $+ip$ ，再乘作用量指数的 $i$ 。对四点项，两个胶子在对称的 $d^{ade}$ 中给相同贡献，消去 $1/2$ ，于是

\begin{aligned} iV_\mu^{\,a;bc}(k,r,s) &=-gf^{abc}r_\mu+ig d^{abc}s_\mu,\qquad k+r+s=0,\\ iV_{\mu\nu}^{\,ad;bc} &=-g^2d^{ade}f^{ebc}g_{\mu\nu}. \end{aligned} \tag{79.33}

$SU(2)$ 的 $d^{abc}=0$ 时，两类新增鬼项都为零，与（79.17）的线性投影规范相合。完整 $U(2)$ 的情况可直接从（79.23）求出。取 $\delta a_\mu=-\partial_\mu\theta^0$ 、 $\delta W_\mu^a=-D_\mu^{ab}\theta^b$ ，其中 $D_\mu^{ab}=\delta^{ab}\partial_\mu+gf^{acb}W_\mu^c$ 。对 $\mathbb G^0$ 中的 $W^2$ 变分时， $W^{a\mu}D_\mu^{ab}\theta^b=W^{a\mu}\partial_\mu\theta^a$ ，因为两个 $W$ 的颜色乘积对称，与 $f^{acb}$ 缩并为零。因此，定义 $\delta\mathbb G^A=M^{AB}\theta^B$ 后得到

\begin{aligned} M^{00}&=-\Box+2ih\,a^\mu\partial_\mu,\\ M^{0b}&=2ih\,W^{b\mu}\partial_\mu,\\ M^{a0}&=2ih\,W^{a\mu}\partial_\mu,\\ M^{ab}&=-\partial^\mu D_\mu^{ab} +2ih\,a^\mu D_\mu^{ab}, \qquad h=\frac g2,\\ \mathcal L_{\rm gh}&=-\bar c^A M^{AB}c^B . \end{aligned} \tag{79.35}

各微分算符作用于右侧参数或鬼场，第一项 $\partial^\mu D_\mu$ 也微分 $D_\mu$ 中的 $W$ 。两个非对角块分别来自 $\delta(W^2)$ 和 $\delta(a\cdot W)$ ，给中央鬼与非中央鬼之间的顶角。无外鬼的树图仍按开头的鬼数论证排除这些顶角；圈计算则包含整个核。

矩阵形式的优点现在已经清楚：迹保存了场的排列次序，而分量仍可随时由

A_\mu^a=\operatorname{Tr}(T^aA_\mu) \tag{79.34}

恢复。下一节将先用一个矩阵标量理论说明怎样沿这些次序读出费曼图。自由核中的颜色完备关系也随场空间确定： $SU(N)$ 使用无迹投影和（79.16）的双迹项，完整 $U(N)$ 使用（79.14）及全部 $N^2$ 个内部颜色。

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