Srednicki §74 BRST 对称性

规范固定使自由场的二次算符可逆，因而可以定义传播子，却也使拉格朗日密度 失去了原来的局域规范不变性。 上一节仍然要求不同顶角给出同一个裸耦合常数。这一要求究竟由什么对称性保证？ 另一个相关的问题是，协变规范引入了四种规范场偏振和两种鬼场，而散射的外态 只应含物质粒子和两种横向规范玻色子。我们需要一种能在规范固定以后继续使用的 对称性，同时回答这两个问题。

这就是本节的BRST对称性，名称来自Becchi、Rouet、Stora和Tyutin。 它把规范场、物质场与鬼场联系起来。先构造这种变换， 再用它写出规范固定项，最后考察它在态空间中的意义。 最后直接求出偏振改变的恰当原像。

从规范变换到幂零变换

把规范场和物质场的规范不变密度合记为$\mathcal L_{\rm YM}$。 物质场$\varphi_i$可以是标量，也可以是旋量，生成元$T_R^a$作用在它的群指标上。 第70节所取的负相位约定给出无穷小变换

现在引入伴随表示的格拉斯曼奇标量$c^a(x)$，将$-\theta^a$换成$c^a$。 所得变分记为$s$：

$|X|$是$X$的格拉斯曼奇偶性。由于$c$是奇的，$s$也必须是奇变分： 它通过一个奇因子时多出负号。若希望变换本身保持每个场的奇偶性，可以引入 置于最左边的奇常数$\eta$，写$\delta_\eta\Phi=\eta s\Phi$。 这时$\delta_\eta$是普通的偶变换，乘积法则恢复通常的形式。 规范不变密度对任意函数$\theta^a(x)$的变分为零，把这个函数换成$-\eta c^a(x)$， 仍然得到

还没有规定$c$自身怎样变换。选择这一变换的原则，是要求$s$具有幂零性，即连续作用两次给零。先在物质场上计算：

第一行的负号来自$s$越过$c^a$。第二行的系数是$(-i)(i)g^2=+g^2$； 最后一行用了$c^ac^b=-c^bc^a$，所以矩阵积只留下 $c^ac^b[T_R^a,T_R^b]/2$。因此在李代数上规定

这个规定适用于所有物质表示。若仅从某一个物质表示中的$s^2\varphi=0$ 反推它，则须该表示忠实；例如规范单态的生成元全为零，不能用它确定$sc$。 把式（74.5）作为规范李代数本身的变换规则，就没有这个问题。

接着检验规范场。把协变导数中显含$A$的一项也作变分，得到

第二项已有反对称的$f^{abc}$，故可将后面的乘积对$b,c$反对称化。 导数$\partial_\mu c$仍是奇量，于是

第三项中的$c^dc^b$同样只选取颜色系数对$b,d$的反对称部分。 用第70节的伴随生成元$(T_A^b)_{ac}=-if^{bac}$，这一部分可以直接算成

将两式放回去，导数部分和含$A$部分恰好拼成同一个协变导数：

要在任意场的多项式上使用$s^2=0$，还须检验鬼场本身。 先按奇乘积法则作用，再将第一项的$b,c$交换，便有

三个鬼的循环置换是偶置换，所以倒数第二行可以换成最后一行的循环平均。 括号内正是雅可比恒等式。现在$s^2$在每个基本场上为零；又因为$s$是奇导数， 两次作用于乘积时的交叉项互相抵消，$s^2$在任意局域场多项式上也为零。

用一个恰当项固定规范

已有$c$还不足以写出第71节的鬼作用量，我们再引入独立的反鬼场$\bar c^a$ 和格拉斯曼偶辅助场$B^a$，规定

因此反鬼也满足$s^2\bar c=0$。$B$不必有自己的传播自由度；它的作用是使 这个等式在使用任何运动方程以前就成立。$c$与$\bar c$在路径积分中是两个 独立的格拉斯曼积分变量，第71节的行列式表示并不要求把一个当成另一个的共轭。 它们的算符伴随关系将在构造守恒荷时固定。

由于$s^2=0$，任何形如$sO$的项都在BRST变换下不变。这类项称为 BRST恰当项（BRST-exact term）。为了得到协变规范，选择奇函数

$O$常称为规范固定费米子（gauge-fixing fermion）；这里的“费米子”指奇偶性， 它并非旋量。这个$O$使$B$至多二次、规范条件对$A$线性。 逐项作用$s$时，越过反鬼的负号很关键：

最后一项就是Faddeev–Popov项。将它的一次导数分部积分，可用只含场的一阶 导数的密度代替原密度：

取边界处场的适当衰减，两者给出相同的作用量$S=\int d^4x\,\mathcal L$。 $B$没有动能，它的运动方程是$\xi B^a-G^a=0$。 在$\xi\ne0$时，对$B$积分也能直接说明为什么可以代回这个方程：

平移$B\mapsto B-G/\xi$的雅可比因子为一。带收敛处方的振荡高斯积分只留下 与场无关的$\mathcal N_\xi$，它在归一化关联函数中约去。这样就恢复了第71节的 $R_\xi$规范作用量。Landau规范可在保留$B$的表达式中直接取$\xi=0$， 此时$B$积分给$\delta[G]$，不必使用含$1/\xi$的式子。

保留$B$还有一个代数上的好处。若在变换规则中也代入$B=G/\xi$，则

右边要用反鬼变分所得的鬼场方程才为零。这时幂零性只在壳上成立；保留辅助场时， 式（74.11）给出的幂零性则是离壳的。 推导量子恒等式时，我们使用保留$B$的形式。

对称性怎样约束重整化

现在的作用量同时保留洛伦兹对称性、常数参数的全局规范对称性以及BRST对称性。 它还具有两种容易从式（74.14）看出的对称性。 首先，给$c$指定鬼数$+1$、$\bar c$指定鬼数$-1$，其余场的鬼数为零， 每一项的总鬼数都为零。其次，反鬼只通过导数出现，故常数奇平移 $\bar c^a(x)\mapsto\bar c^a(x)+\chi^a$不改变作用量。 如果物质相互作用还保持$P,T,C$，这些离散对称性也继续成立。 若选择手征耦合或破坏这些对称性的物质势，就应相应改变反项的限制条件。

BRST对称性的量子内容可以先从路径积分的变量代换看出。 令$\Phi_I$遍历所有场，把外源放在右边，定义

外源与相应场有相同奇偶性，故指数为偶。进行 $\Phi_I\mapsto\Phi_I+\eta s\Phi_I$；在作用量和正则化后的积分测度都不变的条件下， 积分值不变。把公共参数$\eta$移至最左，并比较它的一次项，得到

这是一组关联函数恒等式：对外源继续求导、最后令$J=0$，就得到含不同场插入的 关系。由于$sA$和$sc$中有场的乘积，变换中会出现复合算符；若转成一粒子不可约 顶角的恒等式，须同时为这些复合变分引入外源并进行重整化。 所得非阿贝尔恒等式就是斯拉夫诺夫—泰勒恒等式。

量子理论还要处理测度和反项中的规范反常。若前几圈已经满足恒等式，下一圈的破缺是局域泛函，且满足线性化BRST一致性条件；其中BRST恰当的部分可以用有限反项消去。这样，在规范反常消失时，恒等式可以逐圈恢复。对于四维半单规范群，物质耦合取完备的可重整化形式，并保持相容的规范固定恒等式后，允许的局域反项除场与规范固定的重定义外，可以选为规范不变量。这两项结果分别见Barnich、Brandt和Henneaux的第2.6节和第12.2节。¹

这项结果说明反项的组织方式。局域性与幂次计数先把候选项限制为质量维数不超过四 的局域多项式；规范不变性再把规范场动能、三点和四点相互作用组合进同一个 $F_{0\mu\nu}^aF_0^{a\mu\nu}$。物质动能则包含同一个协变导数 $D_{0\mu}=\partial_\mu-ig_0A_{0\mu}^aT_R^a$。规范固定与鬼项一起由 BRST恰当项决定。每个简单群因子于是有一个规范耦合$g_0$；允许的质量、物质势 和汤川耦合各有自己的反项。

把第73节的裸场重定义代入这些局域算符，夸克、鬼、三胶子和四胶子顶角的系数 依次为

分别与$g\widetilde\mu^{\epsilon/2}Z_1$、 $g\widetilde\mu^{\epsilon/2}Z_1'$、 $g\widetilde\mu^{\epsilon/2}Z_{3g}$和 $g^2\widetilde\mu^\epsilon Z_{4g}$比较，再除去场因子，就得到 式（73.4）。 这里仍沿用上一节$d=4-\epsilon$的调节记号。 这补出了上一节共同裸耦合关系的根据，也说明它为什么以无规范反常为条件。 局域重整化定理的完整证明采用上述外引结果； 下一节将具体研究可能破坏这一条件的手征规范反常。

守恒荷及其伴随性质

BRST变换含一个常数奇参数，因此同其他连续对称性一样，可以用诺特方法构造 守恒流。不过，在式（74.14）中已经作过一次分部积分， 这一步会影响流的表达式。用$s(Dc)=s^2A=0$和$s\bar c=B$计算，有

对称的是作用量，一阶密度本身的变分是一个散度。求流时可以暂令参数为$\eta(x)$， 直接收集$\partial_\mu\eta$的系数。这样也能固定鬼场求导时的次序。 规范动能$-F^2/4$给$-F^{a\mu\nu}(D_\nu c)^a$；$-B\partial\cdot A$给 $-B^a(D^\mu c)^a$。鬼项的两个因子分别变分，所含参数导数为

第二行把奇量$\partial_\mu\eta$移过奇量$\partial^\mu\bar c$，因此第二项变号。 加上物质密度给出的系数$j_{\rm matter}^\mu$，并将 $\eta\partial_\mu K^\mu$分部积分，守恒流便是

例如，实表示中的实标量密度为$-(D\varphi)^2/2-V$。 在局域参数变分中，$\delta_\eta(D_\mu\varphi)$多出 $(\partial_\mu\eta)igc^aT_R^a\varphi$，因此

第二行来自$i\bar\Psi\gamma^\mu D_\mu\Psi$：含参数导数的项先是 $i\bar\Psi\gamma^\mu(\partial_\mu\eta)igc^aT_R^a\Psi$，把$\partial_\mu\eta$ 移到最左、再把$c$移过$\bar\Psi$，就得到所示符号。 无导数的质量和势能项不给流增加参数导数项。 诺特流须包含所有场对局域参数导数的贡献，并减去 一阶密度变分中的$K^\mu$。流还可以增加一个反对称张量的散度；在空间边界项为零时， 这不改变守恒荷

分级括号对偶场是对易子，对奇场是反对易子$\{X,Y\}=XY+YX$。 将各场的变换分别代入，五条生成关系为

为使作用量、BRST生成关系及内积相容，取

这一伴随选择与生成关系相互约束。若$Q_B$和$\bar c$都厄米， 则$i\{Q_B,\bar c\}$是反厄米的，不能等于实辅助场$B$。 取反鬼为反厄米以后，两边都厄米；在相容的局域乘积排序下，鬼密度 $-(\partial\bar c)Dc$在取伴随并将两个奇场交换回来后也保持不变。 这里仍有两个独立的鬼变量，前面路径积分的行列式与有向鬼线规则保持原有次序。

分级括号还把$s$的幂零性转为荷的性质：

所以场上的幂零性首先说明$Q_B^2$与全部场对易。 在无BRST反常的量子实现中，取BRST不变的循环真空$Q_B|0\rangle=0$。 对任意场多项式$P$，有 $Q_B^2P|0\rangle=P Q_B^2|0\rangle=0$；这些态张成共同的稠密定义域， 因而在该域上得到荷的幂零性：

在下面的自由场实现中，真空不变性和荷的幂零性还可直接核算。 相互作用理论则使用前面建立的量子恒等式及BRST不破缺的真空条件。

闭态、恰当态和物理等价类

在继续计算之前，先看厄米幂零荷对态空间意味着什么。 若在整个辅助态空间上使用正定内积，则任意$|\chi\rangle$都满足 $\|Q_B\chi\|^2=\langle\chi|Q_B^2|\chi\rangle=0$，从而$Q_B=0$。 非平凡的BRST荷因此是在含负范数及零范数态的辅助空间中实现的。 这种不定内积正是协变规范下的非物理模式所需要的；物理态的正定性要在取商以后判断。

我们称被$Q_B$湮灭的态为闭态（closed state），称能写成$Q_B|\chi\rangle$的态 为恰当态（exact state）。由于$Q_B^2=0$，每个恰当态都是闭态。 物理态由鬼数为零的BRST上同调给出：

第一行分母表示鬼数$-1$的态经$Q_B$映到鬼数零所得的子空间。 闭而非恰当的态代表这个商空间中的非零元素；商空间本身还包含零类。 相差恰当态的两个向量表示同一物理态，这是因为恰当态与所有闭态都正交：

特别地，单位范数闭态不可能是恰当态。取商以后，闭态之间的内积不依赖代表的选择。 守恒荷满足$[H,Q_B]=0$，于是

第一行说明演化保持闭态，第二行说明演化也保持恰当态，因而在商空间上有良好的 定义。若$H$相对于辅助内积厄米，演化还保持范数。接下来要辨认这个商空间中的 粒子，确认它恰好具有预期的两种规范玻色子偏振。

自由渐近场及四种偏振

沿第5节的散射态构造，在渐近区使用自由场，并暂略去群指标。 以下模式计算取费曼规范$\xi=1$。这一选择可以从自由场方程看出来：

第一个方程取散度给$\partial^2B=0$。只有在$\xi=1$时，四个独立的$A_\mu$ 分量都直接满足普通无质量波动方程；一般$\xi$还含非横向的额外解。 偏振改变的推导将从场方程出发保留一般$\xi$。

记$\omega=|\mathbf k|>0$、$k\cdot x=-\omega t+\mathbf k\cdot\mathbf x$以及 $\widetilde{dk}=d^3k/[(2\pi)^3\,2\omega]$。按 式（74.26）的伴随关系，模式展开为

最后一行选实表示中的实标量来简化记号；有质量时 $\omega_\varphi=\sqrt{\mathbf k^2+m^2}$，鬼场的能量则仍为$\omega=|\mathbf k|$。 反鬼的负频率项为$-b^\dagger$，这个负号由$\bar c^\dagger=-\bar c$确定。

将动量转到第三轴，取四个偏振矢量

$\varepsilon_>$平行于$k$，$\varepsilon_<$沿相反的类光方向；它们组成不定内积的 非横向二元组。$\varepsilon_\pm$是两种横向圆偏振，彼此在厄米内积下正交。 这四个矢量的格拉姆矩阵足以反演模式展开，并给出规范场模的对易关系。 记$\Delta_{kq}=(2\pi)^3\,2\omega\delta^3(\mathbf k-\mathbf q)$，则

未列出的鬼反对易子和不同偏振的对易子为零；物质模具有通常的正号归一。 鬼的符号也可从动能直接核对：自由鬼密度的时间部分为 $\dot{\bar c}\dot c$。固定右导数定义正则动量后， $\pi_c=\dot{\bar c}$、$\pi_{\bar c}=-\dot c$，故等时关系为 $\{c,\dot{\bar c}\}=i\delta^3$、$\{\bar c,\dot c\}=-i\delta^3$。 代入式（74.33），两个异频率项各贡献一半空间$\delta$函数， 就得到式（74.35）的负号。

现在可以把自由荷完整算出。在$g=0$时，$sc=0$，物质电流也为零。 用自由场方程把式（74.22）中的第一项展开成散度，有

第一行的反对称散度在$j^0$中只是空间边界项。第二行还用了$\partial^0=-\partial_0$。 写$\kappa=\sqrt2\omega$，偏振收缩给

例如$B$的正频率项与$c$的负频率项相乘，在$B\dot c$和$-\dot Bc$中各给 $\kappa\omega a_<c^\dagger$，合起来是$2\kappa\omega a_<c^\dagger$。 空间积分给$(2\pi)^3\delta^3(\mathbf k-\mathbf q)$，与两份测度中的一份 $1/[(2\pi)^3\,2\omega]$约去，留下第二行的系数$\kappa$。 另一个异频率项同样计算；同频率项的两个时间导数相消。 所得$Q_B$取伴随后两项互换，且每一项都含湮灭算符，因此$Q_B^\dagger=Q_B$、 $Q_B|0\rangle=0$。

用式（74.35）逐一对易，便得到

第一式也能直接由$i[Q_B,A^\mu]=\partial^\mu c$的负频率项读出： 左边是$i\varepsilon_>^\mu[Q_B,a_>^\dagger]$，右边是$-ik^\mu c^\dagger$， 而$k^\mu=\kappa\varepsilon_>^\mu$，所以必须取负号。 反鬼一式还须保留展开中的$-b^\dagger$： 将其代入$i\{Q_B,\bar c\}=B$的负频率部分，便得到所列的第二个负号。

从单粒子到完整的物理福克空间

先让这些产生算符作用在真空上。$a_>^\dagger|0\rangle$与$b^\dagger|0\rangle$ 经$Q_B$作用分别得到非零的鬼态与类光规范态，因而不是闭态。 另一方面，$a_<^\dagger|0\rangle$和$c^\dagger|0\rangle$虽然闭合，却分别是 $-Q_Bb^\dagger|0\rangle/\kappa$和$-Q_Ba_>^\dagger|0\rangle/\kappa$。 它们都属于零类。两种横向态及物质态则是正范数闭态，所以不是恰当态。

对任意闭态$|\psi\rangle$，仍有

多个非物理产生算符也可能组成闭组合。要一并求出这些组合的恰当原像，固定一个非零动量及颜色，简记 $x=a_>^\dagger$、$y=c^\dagger$、$u=b^\dagger$、$v=a_<^\dagger$。 $x,v$是偶变量，$y,u$是奇变量。$Q_B$在产生算符多项式上的作用可写为

其中奇偏导取左导数。$q$给出式（74.38）的两组变换， $h$则把每组变换反向连接起来。直接在四个生成元上作用，得到

两个奇导数的反对易子是偶导数，故在生成元上相等，就在全部多项式上相等。 $N_{\rm aux}$数出非物理产生算符的总次数。若一个次数为$n>0$的多项式满足 $qP=0$，则

它必为恰当态的系数多项式。这一论证同时处理任意多个非物理量子。 例如按左奇导数的乘积法则， $q(xu)=-\kappa(yu+xv)$，而$q(yu+xv)=\kappa yv-\kappa yv=0$； 看似新的闭组合$yu+xv$正好是一个恰当项。 有多个动量与颜色时，把$q,h,N_{\rm aux}$分别求和，恒等式保持相同形式。 对有限粒子数、避开零动量的光滑波包，$1/\kappa$有良好定义，因而上述消去可以逐项进行。

于是每个物理类都能选取只含$a_+^\dagger,a_-^\dagger,a_\varphi^\dagger$的代表。 这些算符都被$Q_B$湮灭；它们也不能成为恰当态，因为$q$保持$N_{\rm aux}$， 而在$N_{\rm aux}=0$的子空间上$q=0$。横向规范模和物质模的正号对易关系 又保证这个代表空间具有通常的正定福克内积。 这样，物理态空间的结论已从单粒子推广到任意有限粒子数的态。

真空也属于这个空间：式（74.37）已经给出$Q_B|0\rangle=0$， 将真空归一为正范数后，它由式（74.30）不可能恰当。 这里的真空闭性由自由荷的显式表达式给出；相互作用理论中使用前面说明的BRST不变真空条件。

最后，若散射算符满足$[S,Q_B]=0$，两端都取闭态，就有

在初态或末态中加入恰当态都不改变散射振幅。 所谓非物理偏振与鬼的退耦，正是这种商空间意义下的退耦；闭态的某个代表本身 可以含有它们组成的恰当部分。对于微扰散射，这给出了在协变规范中只保留物质粒子 和两种横向外态的依据。这里采用自由渐近态以及适当的红外调节；强耦合禁闭理论的 实际渐近粒子还要由动力学确定。

偏振矢量加上$\zeta k^\mu$就是代表改变的一个具体例子。下面直接求出它的恰当原像。

偏振改变的恰当原像

以下使用自由渐近场，略去群指标，取$k^\mu=(\omega,\mathbf k)$、$\omega=|\mathbf k|>0$。令普通复数$\zeta$指定偏振的改变：

这个改变保持横向条件及偏振的单位范数。$\zeta$不必为实数，而产生算符含偏振的复共轭，所以结果中将出现$\zeta^*$。

取闭态$|\psi\rangle$，即$Q_B|\psi\rangle=0$，并使用式（74.25）在$g=0$时的生成关系。守恒的$Q_B$与时间导数可交换。定动量算符仍以避开零动量的光滑波包理解，使空间边界项为零。

记固定时间的波数投影为

这里$\partial_0=\partial/\partial t$，而$k_0=-\omega$，故$\partial_0e^{ikx}=-i\omega e^{ikx}$。将这个投影代入产生算符及其偏振改变量，得到

自由鬼场的模式展开给$\mathcal J_k(\partial_\mu c)=k_\mu c^\dagger(k)$：投影消去正频率项，负频率项上的导数$-ik_\mu$与投影给出的$i$相乘，留下$k_\mu$。因此式（74.25）还给$[Q_B,a_+^\dagger]=-(\varepsilon_+^*\cdot k)c^\dagger=0$，从闭态$|\psi\rangle$出发仍得到闭态。余下的工作就是把第二行改写成$Q_B$与某个奇算符的反对易子。

保留一般规范参数

自由场方程已列于式（74.32）。其中$\partial\cdot A=\xi B$来自对$B$变分，而$-B\partial^\mu\delta A_\mu$分部积分给$+\partial^\mu B\,\delta A_\mu$，从而$\partial^2A_\mu=(\xi-1)\partial_\mu B$。在一般$\xi$下，下面的$a^\dagger$记号表示上式定义的定时投影；四个分量并非都由普通平面波组成，投影也可能带有显式时间依赖。

由于$\partial\cdot A=-\partial_0A_0+\partial_iA_i$，空间分部积分及$\omega^2=\mathbf k^2$分别给