Srednicki §63 旋量电动力学中的顶角函数

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上一节已经求出了顶角的一圈积分，并用 $Z_1$ 消去了紫外发散；还剩下一个有限常数，需要由电荷的定义来确定。此前的标量理论和汤川理论常在零外动量处定义耦合，这样做便于计算。电动力学则有一个更直接的选择：把电荷定义为长距离库仑作用中的系数。下面先说明这个定义怎样成为顶角的归一条件，再将已经算出的矩阵积分化为两个形状因子。

从库仑作用规定电荷

仍以 $p$ 表示入射电子动量、 $p'$ 表示出射电子动量，把入射光子的转移动量记为 $q=p'-p$ 。电荷条件施加在外电子都在壳上的旋量夹式中：

\left.\bar u_{s'}(p')V^\mu(p',p)u_s(p)\right|_{p^2=p'^2=-m^2,\ q^2=0} =\left.e\bar u_{s'}(p')\gamma^\mu u_s(p)\right|_{p^2=p'^2=-m^2,\ q^2=0}. \tag{63.1}

这里的 $e<0$ 是负电子电荷，沿用上一节的符号。质量和外场留数已经固定，因而这个条件恰好决定尚未固定的顶角有限部分。施加条件时仍保留正的光子调节质量 $m_\gamma$ ；零质量光子的物理动量条件与内部积分的红外调节分别使用。

先看这些在壳条件选出了什么运动学。取真实、未来向的两个电子动量，并到 $p$ 的静止系中计算。此时

\begin{aligned} p&=(m,\mathbf0),\qquad p'=(E',\mathbf p'),\qquad E'=\sqrt{m^2+|\mathbf p'|^2},\\ q^2&=p'^2+p^2-2p\cdot p'=2m(E'-m)\ge0,\\ q^2=0&\quad\Longrightarrow\quad E'=m, \quad\mathbf p'=0,\quad p'=p. \end{aligned} \tag{63.2}

由于等式协变，最后一个结论在原来的参考系中也成立。归一条件选出的因此是零转移动量：电子与一个能量趋于零的光子相耦合。它并不是自由电子发射一束有限能量光子的过程。

在相同动量处，旋量归一和第38节的狄拉克方程给

\begin{aligned} \bar u_{s'}(p)u_s(p)&=2m\delta_{s's},\\ \bar u_{s'}(p)\gamma^\mu u_s(p)&=2p^\mu\delta_{s's},\\ \bar u_s(p)V^\mu(p,p)u_s(p)&=2ep^\mu. \end{aligned} \tag{63.3}

第二式也可由下面将使用的戈登恒等式在 $q=0$ 时得到。不同自旋的右侧为零，不能由它读取电荷的数值；选择相同自旋，则 $p^0>0$ 保证至少时间分量不为零。因此可用最后一行的对角矩阵元来确定电荷。

这个定义与库仑定律的联系，可由电子—电子散射看出。按第19节的完整核树图装配，振幅由两个单光子交换道和一个完整四费米顶角组成：

图63a：完整电子—电子散射的三个核树图。空心圆表示完整电子—光子顶角，双波纹线表示完整光子传播子，方框表示四费米1PI核。第一图的向下动量为 $Q_t=p_1-p'_1$ ，第二图为 $Q_u=p_1-p'_2$ ；交换两个出射电子带来中间的负号。

记 $J^\mu_{b'a}=\bar u(p'_b)V^\mu(p'_b,p_a)u(p_a)$ 。对直接道，光子在两个顶角的入射动量分别为 $-Q_t$ 和 $Q_t$ ，而光子核的标量系数只依赖 $Q_t^2$ 。三个图的结构可写成

\begin{aligned} \mathcal T &=J^\mu_{1'1}\,\widetilde{\boldsymbol\Delta}_{\mu\nu}(Q_t)J^\nu_{2'2} -J^\mu_{2'1}\,\widetilde{\boldsymbol\Delta}_{\mu\nu}(Q_u)J^\nu_{1'2} +\mathcal T_{4\psi},\\ \widetilde{\boldsymbol\Delta}_{\mu\nu}(Q) &\underset{Q^2\to0}{\sim}\frac{g_{\mu\nu}}{Q^2-i0} \quad\text{在守恒电流之间},\\ J^\mu(p,p)&=2ep^\mu\quad\text{对相同自旋}. \end{aligned} \tag{63.4}

第一行的整体 $i$ 来自两个 $iV$ 和一条 $\boldsymbol\Delta/i$ ，除去振幅定义中的 $i$ 后正好留下所写的乘积。上一节的 $\Pi(0)=0$ 使单光子极点具有单位留数，本节条件则固定它两端的电荷因子。因此，在各自的小转移道中，单光子交换的留数与以电荷 $e$ 计算的树图相同。

再取非相对论、近静态的直接交换， $Q^0$ 相对于空间动量可略，两个电流的主项均为 $J^0=2em$ 。由 $g_{00}=-1$ ，得

\begin{aligned} \mathcal T_{\rm direct}&\simeq-\frac{4e^2m^2}{|\mathbf Q|^2},\\ \widetilde V(\mathbf Q) &=-\frac{\mathcal T_{\rm direct}}{4m^2} =\frac{e^2}{|\mathbf Q|^2},\\ V(r)&=e^2\int\frac{d^3\mathbf Q}{(2\pi)^3} \frac{e^{i\mathbf Q\cdot\mathbf r}}{|\mathbf Q|^2} =\frac{e^2}{4\pi r}. \end{aligned} \tag{63.5}

第二行的 $4m^2$ 来自四条相对论外态相对于非相对论态的 $\sqrt{2E}$ 归一因子；负号则来自势在时间演化中的 $-i\int Vdt$ 与散射振幅的 $+i\mathcal T$ 。末行正是第55、56节已经评价的三维库仑核，只需乘上两端的电荷。两个同号电子的势为正，因而相互排斥。实验中的远距离小偏转所测量的就是这个系数。若同时给交换线保留辅助质量，先在 $m_\gamma\ll|\mathbf Q|\ll m$ 的范围读取此系数；该质量不会成为物理上的电磁力程。

四费米1PI核不含上述单光子交换极点，所以这个极点的系数可以通过玻恩匹配规定长距离电荷。去掉红外调节后，多光子中间态还会产生割线及库仑迭代，完整散射须按上一节的方法合并软光子贡献。

顶角的有限减除

现在把这个条件用于上一节的积分。以下将式（62.38）中的有限分子 $\widetilde N^\mu$ 简记为 $N^\mu$ ；它已经不含圈动量。利用 $Z_1$ 中一个有限常数的自由，可以把完整一圈顶角写成

V^\mu(p',p)=e\gamma^\mu-\frac{e^3}{16\pi^2}\int dF_3 \left[\left(\ln\frac D{D_0}+2\kappa_1\right)\gamma^\mu -\frac{N^\mu}{2D}\right]+O(e^5). \tag{63.6}

这里 $\int dF_3=1$ ， $\kappa_1$ 与参数无关；其归一与上一节电子留数中的 $\kappa_2$ 不同。分母及分子分别为

\begin{aligned} D&=x_1(1-x_1)p^2+x_2(1-x_2)p'^2-2x_1x_2p\cdot p'\\ &\quad+(x_1+x_2)m^2+x_3m_\gamma^2-i0,\\ D_0&=(x_1+x_2)^2m^2+x_3m_\gamma^2 =(1-x_3)^2m^2+x_3m_\gamma^2,\\ a_1&=x_1p-(1-x_2)p',\qquad a_2=x_2p'-(1-x_1)p,\\ N^\mu&=\gamma_\nu(\slashed a_1+m)\gamma^\mu (\slashed a_2+m)\gamma^\nu\\ &=2\slashed a_2\gamma^\mu\slashed a_1 +4m(a_1+a_2)^\mu I+2m^2\gamma^\mu. \end{aligned} \tag{63.7}

第一行直接沿用上一节的配方，第二行代入 $p'=p$ 及 $p^2=-m^2$ ；剩余的 $x_1+x_2$ 平方由各动量项相加得到。最后两行的三种伽马夹乘已在式（62.39）中逐一缩去，此处将两个辅助动量 $a,b$ 分别改记 $a_1,a_2$ 。相应径向积分UV收敛，因而可以使用四维的最后一行。

有限反项怎样产生式（63.6）也应写明。令 $c=e^2/(8\pi^2)$ ，将式（62.42）中的 $\ln(D/\mu^2)$ 拆为 $\ln(D/D_0)+\ln(D_0/\mu^2)$ 。同 $e\delta Z_1\gamma^\mu$ 相加以后，所需的反项为

\delta Z_1 =c\left[-\frac1\varepsilon+1 +\frac12\int dF_3\ln\frac{D_0}{\mu^2}-\kappa_1\right]+O(e^4). \tag{63.8}

$1/\varepsilon$ 及其有限常数随之消去，对数留下零转移的减除形式。这给出了壳上方案中 $Z_1$ 与 $\kappa_1$ 的具体对应。

在 $p'=p$ 处，式（63.6）中的对数为零。夹在相同自旋的外旋量之间，再用 $\bar u\gamma^\mu u=2p^\mu$ ，归一条件化为

4\kappa_1p^\mu =\int dF_3\frac{\bar u(p)N_0^\mu u(p)}{2D_0}. \tag{63.9}

因此剩下的工作只是求出这个在壳分子。此时 $a_1=a_2=-x_3p$ ，由式（63.7），

\begin{aligned} N_0^\mu&=2x_3^2\slashed p\gamma^\mu\slashed p -8mx_3p^\mu I+2m^2\gamma^\mu,\\ \bar uN_0^\mu u &=2x_3^2m^2(2p^\mu)-8mx_3p^\mu(2m)+2m^2(2p^\mu)\\ &=4(1-4x_3+x_3^2)m^2p^\mu. \end{aligned} \tag{63.10}

第一项的两个 $\slashed p$ 分别作用在左右外旋量上，各给 $-m$ ，所以相乘为正。第二项含标量双线性 $\bar uu=2m$ ，它正是系数中 $-4x_3$ 的来源。

利用参数δ函数消去 $x_2$ 后，在固定 $x_3$ 时 $x_1$ 从0积到 $1-x_3$ ，被积函数已不依赖 $x_1$ ，因此

\begin{aligned} \kappa_1 &=\frac12\int dF_3\, \frac{1-4x_3+x_3^2}{(1-x_3)^2+x_3m_\gamma^2/m^2}\\ &=\int_0^1dx_3\,(1-x_3) \frac{1-4x_3+x_3^2}{(1-x_3)^2+x_3m_\gamma^2/m^2}\\ &=\int_0^1du\, \frac{u(u^2+2u-2)}{u^2+a^2(1-u)},\qquad u=1-x_3,\quad a=\frac{m_\gamma}{m}. \end{aligned} \tag{63.11}

这里 $dF_3$ 中的2与第一行的 $1/2$ 相消。最后一行把危险端点移到 $u=0$ ，这与上一节的留数积分具有相同分母。

红外常数与两个反项的关系

上一节已经完整评价了 $\kappa_2$ 的红外对数。将两个分子相减，可以用那个结果求出本节的新常数，而不必再做一遍相同的端点积分。记 $h(u)=u^2+a^2(1-u)$ ，则

\begin{aligned} \kappa_1-\kappa_2 &=\int_0^1du\,\frac{u^2(2-u)}{h(u)}\\ &=\frac32-a^2\int_0^1du\,\frac{(1-u)(2-u)}{h(u)}. \end{aligned} \tag{63.12}

第二行用了 $u^2=h-a^2(1-u)$ ，而 $\int_0^1(2-u)du=3/2$ 。还须保证剩余积分乘 $a^2$ 后消失。对 $0<a\le1/2$ ，上一节已证明 $h\ge(u^2+a^2)/2$ ；又有 $(1-u)(2-u)\le2$ ，故余项的绝对值不超过 $4a^2\int_0^1du/(u^2+a^2)\le2\pi a$ 。于是

\kappa_1=\kappa_2+\frac32+O(a) =-2\ln\frac m{m_\gamma}+\frac52+O(m_\gamma/m). \tag{63.13}

这个展开保留了小光子质量下的对数项与常数 $5/2$ ，余项随 $m_\gamma/m$ 趋于零。顶角的有限减除项与电子留数一样含软光子对数；紫外减除后的在壳积分仍须保留 $m_\gamma$ 。

两个反项还满足一个较强的一圈关系。把 $dF_3$ 积分改写成 $u$ 积分，令 $L(u)=\ln[m^2h(u)/\mu^2]$ ，由式（63.8）和式（62.29）得

\begin{aligned} \frac{\delta Z_1-\delta Z_2}{c} &=\frac12+\int_0^1du\,(2u-1)L(u)-(\kappa_1-\kappa_2),\\ \int_0^1du\,(2u-1)L(u) &=\int_0^1du\,\frac{u(1-u)(2u-a^2)}{h(u)},\\ \frac{u(1-u)(2u-a^2)-u^2(2-u)}{h(u)}&=-u,\\ \delta Z_1&=\delta Z_2+O(e^4). \end{aligned} \tag{63.14}

第二行对 $(u^2-u)L$ 分部积分；固定 $a>0$ 时 $L$ 在两端有限，边界项为零。第三行将两个有理分子实际相减，最后用 $\int_0^1u\,du=1/2$ 。因此这次相等包括有限部分，而且在去掉红外调节之前就成立。它与式（62.45）的一圈沃德关系相容，所得 $Z_1$ 的小 $a$ 展开也与式（62.34）中的 $Z_2$ 完全相同。

把一般在壳顶角化为两个结构

为了将顶角用于散射，需要保持两条电子外腿在壳上，同时允许 $q^2$ 非零。由式（63.2），真实电子散射的这个 $q^2$ 为非负的类空转移。两条外腿始终满足同一个质量壳条件 $p^2=p'^2=-m^2$ 。

长矩阵链的化简依靠两端的狄拉克方程，但 $\slashed p$ 必须先移到右端， $\slashed p'$ 必须先移到左端。为清楚展示这一步，暂记 $P=\slashed p$ 、 $P'=\slashed p'$ ，并用 $\doteq$ 表示夹在 $\bar u(p')$ 与 $u(p)$ 之间相等。反对易关系给出四个所需的夹式：

\begin{aligned} P'\gamma^\mu P&\doteq m^2\gamma^\mu,\\ P\gamma^\mu P&=-m^2\gamma^\mu-2p^\mu P \doteq-m^2\gamma^\mu+2mp^\mu I,\\ P'\gamma^\mu P'&\doteq-m^2\gamma^\mu+2mp'^\mu I,\\ P\gamma^\mu P' &=\gamma^\mu P'P+2p\cdot p'\gamma^\mu-2p^\mu P'\\ &=-P'\gamma^\mu P-2p'^\mu P +2p\cdot p'\gamma^\mu-2p^\mu P'\\ &\doteq(2p\cdot p'-m^2)\gamma^\mu+2m(p+p')^\mu I. \end{aligned} \tag{63.15}

例如第二行先将左边的 $P$ 移过 $\gamma^\mu$ ，再用 $P^2=-p^2=m^2$ 。最后一项需要两次移动，因而保留了内积项和两种外动量。

现在展开 $\slashed a_2\gamma^\mu\slashed a_1$ 。四种矩阵的系数依次为 $x_1x_2$ 、 $-x_1(1-x_1)$ 、 $-x_2(1-x_2)$ 和 $(1-x_1)(1-x_2)$ 。把式（63.15）代入式（63.7），得到

\begin{aligned} N^\mu\doteq{}& \bigl[4(1-x_1-x_2+x_1x_2)p\cdot p'\\ &\hspace{9mm}+2(2x_1-x_1^2+2x_2-x_2^2)m^2\bigr]\gamma^\mu\\ &+4m(x_1^2-x_2+x_1x_2)p^\mu I +4m(x_2^2-x_1+x_1x_2)p'^\mu I. \end{aligned} \tag{63.16}

例如 $p^\mu I$ 的系数在提出 $4m$ 后为 $-x_1(1-x_1)+(1-x_1)(1-x_2)+(2x_1-1)$ ，乘开即为 $x_1^2-x_2+x_1x_2$ 。这里最后一项来自 $4m(a_1+a_2)^\mu$ 。另一个动量系数交换 $x_1,x_2$ 便得。

令 $K=p'+p$ ，以 $q=p'-p$ 替换动量差。两个在壳条件给 $p\cdot p'=-m^2-q^2/2$ ；两个动量系数的和与差则分别给 $K$ 和 $q$ 。用 $x_1+x_2=1-x_3$ 整理后，

\begin{aligned} N^\mu\doteq{}& 2\bigl[(1-2x_3-x_3^2)m^2-(x_3+x_1x_2)q^2\bigr]\gamma^\mu\\ &-2m(x_3-x_3^2)K^\mu I\\ &-2m\bigl[(x_1+x_1^2)-(x_2+x_2^2)\bigr]q^\mu I. \end{aligned} \tag{63.17}

在 $K$ 的系数中，两项之和除以2为 $2m[(x_1+x_2)^2-(x_1+x_2)]=-2mx_3(1-x_3)$ 。在 $q$ 的系数中，两项之差除以2为 $-2m(x_1-x_2)(1+x_1+x_2)$ 。至于 $\gamma^\mu$ 的系数，只需将 $1-x_1-x_2$ 换成 $x_3$ 并代入内积；其中的质量项合成 $2(1-2x_3-x_3^2)m^2$ 。

分母也必须使用同一组在壳代入，得到

D=x_1x_2q^2+(1-x_3)^2m^2+x_3m_\gamma^2-i0. \tag{63.18}

它在 $x_1\leftrightarrow x_2$ 下对称，积分域及 $dF_3$ 也不变。式（63.17）最后一行的系数却变号，因此

\int dF_3\, \frac{(x_1+x_1^2)-(x_2+x_2^2)}D=0. \tag{63.19}

证明只需在整个单纯形上交换两个积分变量：积分值不变，而被积函数变为其负值，所以它必须为零。这一步是积分后的相消，不能逐点删去该分子。

剩下的 $K^\mu$ 可以用第38节的戈登恒等式换成磁矩所需的反对称矩阵结构：

\begin{aligned} \bar u'K^\mu u &=\bar u'\bigl[2m\gamma^\mu+2iS^{\mu\nu}q_\nu\bigr]u,\\ S^{\mu\nu}&=\frac i4[\gamma^\mu,\gamma^\nu]. \end{aligned} \tag{63.20}

为核对这里的号，可在 $-2m\bar u'\gamma^\mu u$ 中分别用左右狄拉克方程代替两个 $m$ ，再将 $\slashed p'\gamma^\mu+\gamma^\mu\slashed p$ 分为反对易子与对易子；反对易子给 $-K^\mu$ ，对易子给 $2iS^{\mu\nu}q_\nu$ 。整理后便是所写的正号。

将戈登恒等式代入式（63.17）的 $K^\mu$ 项， $\gamma^\mu$ 的质量系数再减去 $4m^2(x_3-x_3^2)$ 。经过在壳夹式及完整参数积分两步后，分子可按下式使用：

\begin{aligned} \int dF_3\frac{\bar u'N^\mu u}D =\int dF_3\frac1D\bar u'\Bigl\{ &2\bigl[(1-4x_3+x_3^2)m^2-(x_3+x_1x_2)q^2\bigr]\gamma^\mu\\ &-4im(x_3-x_3^2)S^{\mu\nu}q_\nu\Bigr\}u. \end{aligned} \tag{63.21}

因而顶角只剩下两个独立结构。我们将这两个结构的系数定义为无量纲形状因子：

\bar u'V^\mu(p',p)u =e\bar u'\left[F_1(q^2)\gamma^\mu -\frac i m F_2(q^2)S^{\mu\nu}q_\nu\right]u. \tag{63.22}

$F_1$ 称狄拉克形状因子， $F_2$ 称泡利形状因子。树级有 $F_1=1$ 、 $F_2=0$ ；电荷归一要求 $F_1(0)=1$ 。第二项显含 $q$ ，所以它在零转移电荷条件中不产生贡献，却能在转移的第一阶响应中留下新的物理效应。下文的一般顶角分解将从规范不变性推出这两个结构。

两个形状因子与红外端点

从式（63.6）按两个矩阵结构分别读取系数即可。为把分式写清，记 $z=q^2/m^2$ 、 $d=D/m^2$ 、 $d_0=D_0/m^2$ ，以及 $R=1-4x_3+x_3^2$ 、 $B=x_3+x_1x_2$ 。在固定 $a=m_\gamma/m>0$ 下有

\begin{aligned} F_1(q^2;a) &=1-\frac{e^2}{16\pi^2}\int dF_3 \left[\ln\frac d{d_0}+\frac R{d_0} +\frac{Bz-R}{d}\right]+O(e^4),\\ F_2(q^2;a) &=\frac{e^2}{8\pi^2}\int dF_3 \frac{x_3(1-x_3)}{d}+O(e^4). \end{aligned} \tag{63.23}

第一式中的 $R/d_0$ 来自 $2\kappa_1=\int dF_3R/d_0$ ；最后一项来自原分子的 $\gamma^\mu$ 部分。第二式的号可从反对称部分单独核对： $e^3N^\mu/(32\pi^2D)$ 给 $-ie^3m(x_3-x_3^2)S^{\mu\nu}q_\nu/(8\pi^2D)$ ，与定义中的 $-ieF_2S^{\mu\nu}q_\nu/m$ 相比，正好得到所写的正系数。在 $q^2=0$ 处， $d=d_0$ ，第一式的两个有理项逐点抵消，因此 $F_1(0;a)=1$ 。

接下来考察哪些积分允许去掉红外调节。为分析端点，把三角积分域改成矩形。先用δ函数消去 $x_2$ ，再令

\begin{aligned} t&=1-x_3,\qquad x_1=ty,\qquad x_2=t(1-y), \qquad 0\le t,y\le1,\\ \left|\frac{\partial(x_1,x_3)}{\partial(t,y)}\right|&=t,\qquad dF_3=2t\,dt\,dy,\\ A(y,z)&=1+z\,y(1-y),\\ d&=t^2A(y,z)+(1-t)a^2,\qquad d_0=t^2+(1-t)a^2. \end{aligned} \tag{63.24}

在真实散射域 $z\ge0$ ， $A\ge1$ ，分母无零点。于是

\begin{aligned} 0\le\ln\frac d{d_0}&\le\ln A(y,z),\\ 0\le 2t\,\frac{x_3(1-x_3)}d &=\frac{2t^2(1-t)}{t^2A+(1-t)a^2} \le\frac{2(1-t)}A\le2. \end{aligned} \tag{63.25}

第一行乘测度 $2t$ 后可积，第二行已经包含测度。两者都有与 $a$ 无关的可积上界，所以可以在这些积分中令 $a\to0$ 。 $F_1$ 剩下的两个有理项则没有同样的端点改善：其分子在 $t=0$ 处通常非零，乘测度后出现 $dt/t$ ，必须保留调节质量。

把允许取极限的对数改写出来，并在两个有理项中保留调节质量，第一形状因子成为

\begin{aligned} F_1(q^2;a)=1-\frac{e^2}{16\pi^2}\int dF_3 \Bigg[& \ln\left(1+\frac{x_1x_2z}{(1-x_3)^2}\right) +\frac{1-4x_3+x_3^2}{(1-x_3)^2+x_3a^2}\\ &+\frac{(x_3+x_1x_2)z-(1-4x_3+x_3^2)} {x_1x_2z+(1-x_3)^2+x_3a^2}\Bigg]\\ &\hspace{14mm}+e^2o_{a\to0}(1)+O(e^4). \end{aligned} \tag{63.26}

消失项来自对数中略去的调节质量，故上式按小 $a$ 极限使用。固定 $a$ 的完整一圈结果由式（63.23）给出。

完成泡利形状因子的参数积分

$F_2$ 的整个一圈积分都可去掉调节质量。利用式（63.24）的雅可比，分子的 $x_3(1-x_3)=(1-t)t$ 与分母的 $t^2$ 相约，得到

\begin{aligned} F_2(q^2) &=\frac{e^2}{8\pi^2} \int_0^1dy\int_0^1dt\,\frac{2(1-t)}{1+zy(1-y)}+O(e^4)\\ &=\frac{e^2}{8\pi^2} \int_0^1\frac{dy}{1+zy(1-y)}+O(e^4). \end{aligned} \tag{63.27}

最后一步用了 $\int_0^12(1-t)dt=1$ 。由于 $z=q^2/m^2\ge0$ ，分母 $1+zy(1-y)$ 在整个积分区间为正；这个符号也决定了非零转移处的斜率和解析延拓的阈值。

最后一个积分可以完全求出。记它为 $J(z)$ ，令 $r=2y-1$ ，再定义 $v^2=z/(z+4)$ 。利用关于 $r$ 的偶性，

\begin{aligned} J(z)&=\int_0^1\frac{dy}{1+zy(1-y)} =\frac4{z+4}\int_0^1\frac{dr}{1-v^2r^2},\\ \int_0^1\frac{dr}{1-v^2r^2} &=\left.\frac{\operatorname{artanh}(vr)}v\right|_0^1 =\frac{\operatorname{artanh}v}{v},\\ J(z)&=\frac{4}{\sqrt{z(z+4)}}\, \operatorname{artanh}\sqrt{\frac z{z+4}}, \qquad z>0,\\ F_2(q^2)&=\frac{e^2}{8\pi^2}J(q^2/m^2)+O(e^4). \end{aligned} \tag{63.28}

这里 $0<v<1$ ，所有函数均取实值。 $z=0$ 由连续极限得到 $J(0)=1$ 。若要延拓到类时区域，则从参数分母 $1+zy(1-y)-i0$ 沿同一因果边界继续；最近的阈值是 $z=-4$ ，对应电子—正电子对的产生。真实的类空轴 $z\ge0$ 上则没有这个奇点。

两个极限也可以直接核对这个闭式。小 $|z|$ 时，在 $|z|<4$ 的邻域一致展开分母，再用 $\int_0^1y(1-y)dy=1/6$ 和 $\int_0^1y^2(1-y)^2dy=1/30$ ，得到

\begin{aligned} F_2(q^2) &=\frac{e^2}{8\pi^2} \left[1-\frac{q^2}{6m^2}+\frac{q^4}{30m^4} +O(q^6/m^6)\right]+O(e^4),\\ \frac{dJ}{dz} &=-\int_0^1dy\,\frac{y(1-y)}{[1+zy(1-y)]^2}<0 \qquad(z\ge0),\\ J(z)&=\frac{2\ln z}{z} +O\left(\frac{\ln z}{z^2}\right)\qquad(z\to+\infty). \end{aligned} \tag{63.29}

最后一行来自 $v=1-2/z+O(z^{-2})$ 及 $\operatorname{artanh}v=\frac12\ln z+O(z^{-1})$ 。因此泡利部分在类空转移增大时下降；它的零动量有限值与高转移处的行为均由同一个参数积分给出。

这个积分还能帮助我们理解 $F_1$ 与 $F_2$ 的红外差别。作为补充，取固定 $z>0$ ，在 $F_1$ 有理项中只保留 $t\to0$ 时的非零分子。它们分别为 $R\to-2$ 与 $Bz-R\to z+2$ 。含测度的软端点项为

\begin{aligned} &\int_0^1dt\,2t \left[-\frac2{t^2+a^2} +\frac{z+2}{A t^2+a^2}\right]\\ &\hspace{12mm} =\left[-4+\frac{2(z+2)}A\right]\ln\frac1a+O(1),\\ F_1(q^2;a)-1 &=-\frac{e^2}{8\pi^2}\bigl[(z+2)J(z)-2\bigr] \ln\frac m{m_\gamma}+O(e^2)+O(e^4). \end{aligned} \tag{63.30}

第一行的积分由 $\int2t\,dt/(A t^2+a^2)=A^{-1}\ln(A t^2+a^2)$ 直接得到。分子被略去的部分至少多一阶 $t$ ，其积分保持有界；把 $a^2(1-t)$ 换成 $a^2$ 时，两个分式之差的分子是 $a^2t$ 。对 $0<a\le1/2$ 、 $A\ge1$ ，乘上测度 $2t$ 后的绝对值不超过 $4a^2t^2/(t^2+a^2)^2$ ，其积分又不超过 $2\pi a$ 。乘上固定 $z$ 的端点系数仍趋零，因而不会改变对数系数。最后一行的 $O(e^2)$ 表示 $a\to0$ 时有界的一圈剩余项， $O(e^4)$ 则表示另一个微扰阶次。在 $z=0$ 时， $J(0)=1$ 使对数系数消失，与严格归一 $F_1(0;a)=1$ 一致；在非零转移处，一圈顶角自身仍带软光子依赖。

最后取决定磁矩的零转移值。式（63.27）中被积函数变成1，因此

F_2(0)=\frac{e^2}{8\pi^2}+O(e^4) =\frac{\alpha}{2\pi}+O(\alpha^2),\qquad \alpha=\frac{e^2}{4\pi}. \tag{63.31}

数值评价可取经验输入 $\alpha\simeq1/137.036$ 。给定电荷以后，圈积分确定了泡利形状因子的第一个量子修正。下一节把这个顶角与缓慢变化的外电磁场相接，求出它对电子能量和磁矩的影响。

一般在壳顶角的三个协变量

仍令电子以 $p$ 入射、以 $p'$ 出射，光子的转移动量为 $q=p'-p$ ，并用 $K=p'+p$ 缩短公式。两电子在同一个正能质量壳上，因而

\begin{aligned} p^2=p'^2&=-m^2,\qquad m>0,\\ q\cdot K&=0,\qquad p\cdot p'=-m^2-\frac12q^2,\\ \slashed p\,u&=-mu,\qquad \bar u'\slashed p'=-m\bar u'. \end{aligned} \tag{63.32}

这里 $u=u_s(p)$ 、 $\bar u'=\bar u_{s'}(p')$ 。以下约化发生在 $\bar u'$ 与 $u$ 之间；离壳的完整顶角矩阵还可以含有更多结构。基分解使用四维物理外旋量空间；圈积分仍按 $d=4-\varepsilon$ 正规化，完成紫外减除后再取四维极限。质量、耦合及调节尺度给定后，由两外动量组成的洛伦兹标量只剩 $q^2$ ，所以形状因子对运动学的依赖也只需写成 $q^2$ 。

先看克利福德代数怎样减少候选项。记 $X=\slashed p$ 、 $Y=\slashed p'$ ；本书的负号约定给

\begin{aligned} X^2=Y^2&=m^2,\qquad XY+YX=2m^2+q^2,\\ \gamma^\mu X&=-X\gamma^\mu-2p^\mu,\qquad \gamma^\mu Y=-Y\gamma^\mu-2p'^\mu. \end{aligned} \tag{63.33}

在不带独立赝矢量耦合的矩阵串中，自由指标 $\mu$ 或者在一个 $\gamma^\mu$ 上，或者在 $p^\mu,p'^\mu$ 上；其余动量进入 $X,Y$ 或标量积。利用前两条关系，把所有 $Y$ 移向左端、所有 $X$ 移向右端，再消去各自的平方。若移动时遇到 $\gamma^\mu$ ，后两条关系产生的附加项正好带 $p^\mu$ 或 $p'^\mu$ 。因此只须保留 $Y^aX^b$ 及 $Y^a\gamma^\mu X^b$ ，其中 $a,b=0,1$ 。两端在壳方程随即给出

\begin{aligned} \bar u'Y^aX^bu&=(-m)^{a+b}\bar u'u,\\ \bar u'Y^a\gamma^\mu X^bu &=(-m)^{a+b}\bar u'\gamma^\mu u. \end{aligned} \tag{63.34}

例如 $S^{\mu\nu}p_\nu$ 本来就是 $i(\gamma^\mu X-X\gamma^\mu)/4$ ，也包含在这个约化过程中。更高阶的动量因子只改变标量系数，不增加新的在壳协变量。

第47节的矩阵基推导所建立的16个矩阵基包括 $\gamma_5$ 和 $\gamma^\mu\gamma_5$ ；以普通矢量 $p,p'$ 组成的独立赝矢量项在本节的宇称不变真空与矢量耦合中被排除。但在改写一个普通伽马矩阵串时， $\gamma_5$ 仍可能和 $\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}$ 同时出现。以本书 $\epsilon^{0123}=+1$ 、 $\gamma_5=i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3$ 为例，三伽马的完全反对称部分给

\begin{aligned} -i\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}p_\nu p'_\rho\gamma_\sigma\gamma_5 ={}&\gamma^\mu XY+p^\mu Y-p'^\mu X +(p\cdot p')\gamma^\mu . \end{aligned} \tag{63.35}

右边由 $\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho$ 减去其三种度规缩并得到，所以它同样按前述移序约化。左边同时含反对称张量与伽马五，整体仍是普通矢量。宇称守恒限制的是独立的物理结构，并不禁止这样的中间写法。

将三个剩余协变量的系数分别记为 $A,B,C$ ，在壳顶角便可写成

\bar u'V^\mu(p',p)u =e\,\bar u'\! \left[A(q^2)\gamma^\mu+B(q^2)K^\mu+C(q^2)q^\mu\right]u. \tag{63.36}

其中 $e<0$ ， $A$ 无量纲， $B,C$ 的质量维数为 $-1$ 。这些系数在特殊运动学点上可能需要由一般动量处的定义取极限；下面先在一般 $q^2$ 处使用这组基。

从局域变换推导顶角约束

对于一般转移动量，所需的纵向约束可以直接从局域场变换得到。先用 $\mathfrak e$ 记局域相位中的电荷系数，随后用物理归一把它与 $e$ 对应。第58节的变换写成

\begin{aligned} A_\mu^\chi&=A_\mu-\partial_\mu\chi,& \Psi^\chi&=U\Psi,\\ \bar\Psi^\chi&=\bar\Psi U^{-1},& U(x)&=e^{-i\mathfrak e\chi(x)}. \end{aligned} \tag{63.37}

取 $\chi$ 平滑且有紧支撑，使变换不改变真空边界和外态。动能中对 $U$ 求导产生 $+\mathfrak e\bar\Psi\gamma^\mu\Psi\,\partial_\mu\chi$ ，而 $+\mathfrak e A_\mu\bar\Psi\gamma^\mu\Psi$ 的变分恰好是它的负值；质量项与麦克斯韦项分别不变。共同的费米场归一因子同时乘在动能和协变耦合上，不影响这个抵消。

在量子计算中还须处理规范固定。将显式依赖规范代表的二次项记为

S_{\rm br}[A]=-\frac12\int d^4x \left[\frac1\xi(\partial_\mu A^\mu)^2+m_\gamma^2A_\mu A^\mu\right]. \tag{63.38}

本节实际计算取 $\xi=1$ ，并保持 $m_\gamma>0$ 调节软光子。它们的无穷小规范变分对 $A$ 都是线性的：

\delta S_{\rm br} =\int d^4x\left[ \frac1\xi(\partial\cdot A)\,\partial^2\chi +m_\gamma^2 A^\mu\partial_\mu\chi\right]. \tag{63.39}

由于这一变分只含光子场，它不会在费米两点与顶角之间增加新项。

为看清这一点，在路径积分中保留线性源 $S_{\rm src}=\int(J^\mu A_\mu+\bar\eta\Psi+\bar\Psi\eta)$ 。对积分变量作式（63.37）的变换，使用相容的矢量对称调节和局部减除。费米场与其独立伴随变量的贝雷津雅可比分别为 $(\det U)^{-1}$ 和 $\det U$ ，在相同调节基底中相消；光子场平移的雅可比为1。这里没有手征变换或伽马五插入。于是无穷小变元公式与源项的实际变分为

\begin{aligned} 0&=\left\langle\delta S_{\rm br}+\delta S_{\rm src}\right\rangle,\\ \delta S_{\rm src} &=\int d^4x\left[ -J^\mu\partial_\mu\chi -i\mathfrak e\,\bar\eta\chi\Psi +i\mathfrak e\,\bar\Psi\chi\eta\right]. \end{aligned} \tag{63.40}

源的次序始终保持为 $\bar\eta\Psi+\bar\Psi\eta$ 。因为右侧对每个场至多一次，取期望值就是把场换成平均场。再按第21节的正源项约定作勒让德变换，其变分为 $-\delta S_{\rm src}$ ，从而得到

\delta\Gamma=\delta S_{\rm br},\qquad \delta\widehat\Gamma=0,\qquad \widehat\Gamma:=\Gamma-S_{\rm br}. \tag{63.41}

量子作用量的规范约束由此从作用量、测度及源的变元传递下来，规范固定与光子质量调节的已知变分则保留在 $S_{\rm br}$ 中。对微扰展开，这一等式逐阶成立；维数正规化中的无伽马五矢量电流及保持该恒等式的反项正是这里采用的设置。

在 $\widehat\Gamma$ 中抽出恰含一对费米平均场的部分，定义逆传播核 $\mathcal K[A]$ 。由于 $\bar\psi$ 始终放在左边，有

\begin{aligned} \widehat\Gamma\big|_{\bar\psi\psi} &=-\int d^4x\,d^4y\, \bar\psi(x)\mathcal K[A](x,y)\psi(y),\\ \mathcal K[A-\partial\chi](x,y) &=U(x)\mathcal K[A](x,y)U^{-1}(y). \end{aligned} \tag{63.42}

第二行直接由第一行在任意 $\bar\psi,\psi$ 下不变得到。这个核属于完整1PI量子作用量，所以对它的 $A$ 系数取导数时得到的正是电磁顶角。按 $e^{ipx}$ 的傅里叶约定展开，

\begin{aligned} \mathcal K[A](p',p) &=(2\pi)^4\delta^4(p'-p)\mathcal K(p) -V^\mu(p',p)A_\mu(q)+O(A^2),\\ \mathcal K(p)&=\slashed p+m-\Sigma(\slashed p). \end{aligned} \tag{63.43}

这里二次核的负号与自由作用量 $\bar\psi(i\slashed\partial-m)\psi$ 相符；因此 $A$ 项在 $\mathcal K$ 中带负号，在作用量中却给 $+\bar\psi V^\mu A_\mu\psi$ 。

对式（63.42）取 $\chi$ 的一次项。左侧用 $\delta A_\mu(q)=-iq_\mu\chi(q)$ ，右侧分别让相位作用在核的两端，得到同一矩阵的两种表达式：

\begin{aligned} \delta\mathcal K(p',p) &=i q_\mu V^\mu(p',p)\chi(q),\\ \delta\mathcal K(p',p) &=i\mathfrak e\,[\mathcal K(p')-\mathcal K(p)]\chi(q),\\ q_\mu V^\mu(p',p) &=\mathfrak e\,[\mathcal K(p')-\mathcal K(p)]. \end{aligned} \tag{63.44}

右侧第一项的 $\mathcal K(p')$ 来自核右端的相位，第二项的 $\mathcal K(p)$ 来自核左端的相位；按此顺序保留即可固定差分的号。外电子在物理质量壳上时， $\mathcal K(p)u=0$ 且 $\bar u'\mathcal K(p')=0$ ，故这个等式已经证明 $q_\mu\bar u'V^\mu u=0$ 。

它也说明 $\mathfrak e$ 如何由本节的电荷条件确定。固定 $m_\gamma>0$ ，在单位留数的质量壳附近可写 $\mathcal K(z)=z+m+(z+m)^2H(z)$ ，其中 $z=\slashed p$ 、 $H$ 在该处正则。求一次动量导数后，第二项留下的每一项至少有一个 $(z+m)$ 位于外端，因此夹在在壳旋量之间为零。把差分恒等式取 $p'\to p$ ，得到

\begin{aligned} \bar u V^\mu(p,p)u &=\mathfrak e\,\bar u \frac{\partial\mathcal K(p)}{\partial p_\mu}u \\&=\mathfrak e\,\bar u\gamma^\mu u =e\,\bar u\gamma^\mu u,\qquad \mathfrak e=e . \end{aligned} \tag{63.45}

最后一步使用式（63.1）的物理电荷归一，选取非零的对角自旋矩阵元即可。这里先保留红外调节，因而确有上述孤立质量壳和留数展开。

对实际的一圈结果，可以用已求出的自能再核对一次这个差分。式（62.45）的光子动量在本节改记 $q$ ；将树顶角、顶角反项和自能反项都写出，便有

\begin{aligned} q_\mu V_{\rm loop}^\mu(p',p) &=e[\Sigma_{\rm loop}(\slashed p)-\Sigma_{\rm loop}(\slashed p')],\\ \Sigma(z)&=\Sigma_{\rm loop}(z)-\delta Z_2z-\delta Z_m m+O(e^4),\\ V^\mu&=e(1+\delta Z_1)\gamma^\mu+V_{\rm loop}^\mu+O(e^5),\\ q_\mu V^\mu &=e(1+\delta Z_1)\slashed q +e[\Sigma_{\rm loop}(\slashed p)-\Sigma_{\rm loop}(\slashed p')] +O(e^5)\\ &=e[\mathcal K(p')-\mathcal K(p)]+O(e^5). \end{aligned} \tag{63.46}

最后一行用了本节在相同 $m_\gamma$ 下固定的 $\delta Z_1=\delta Z_2+O(e^4)$ ，其中包括有限部分；两自能的质量反项相减为零。于是壳上减除 $\Sigma(-m)=0$ 使两端分别消去，一圈结果给 $q_\mu\bar u'V^\mu u=0+O(e^5)$ 。这里复用的是第62节已建立的开费米链恒等式 $S'\slashed qS=S-S'$ ，所有核先在可逆的解析域中比较，再取共同的费曼边界。

现在将规范约束代入三系数分解。式（63.32）分别消去伽马项和 $K^\mu$ 项：

\begin{aligned} \bar u'\slashed q\,u &=\bar u'(\slashed p'-\slashed p)u =(-m+m)\bar u'u=0,\\ q_\mu\bar u'V^\mu u &=e\left[A\bar u'\slashed q\,u +B(q\cdot K)\bar u'u+Cq^2\bar u'u\right]\\ &=e\,q^2C(q^2)\bar u'u=0. \end{aligned} \tag{63.47}

条件须对全部外自旋成立。为确认可以消去 $\bar u'u$ ，用第38节的自旋和，并用 $(\bar u'u)^*=\bar u u'$ ，得到

\begin{aligned} \sum_{s,s'}|\bar u_{s'}(p')u_s(p)|^2 &=\operatorname{tr}\!\left[ (-\slashed p'+m)(-\slashed p+m)\right]\\ &=4(m^2-p\cdot p')=8m^2+2q^2>0 \qquad(q^2\ge0,\ m>0). \end{aligned} \tag{63.48}

因此在每个真实的非零类空转移处，至少有一对自旋给出非零标量双线性，从而

q^2C(q^2)=0,\qquad C(q^2)=0\quad(q^2\ne0). \tag{63.49}

这项沃德约束不给 $A$ 与 $B$ 之间增加另一条关系。在 $q^2=0$ 处，式（63.49）的第一式单独不能约束 $C$ ；而且真实的同支等质量动量此时已经满足 $p'=p$ ， $q^\mu$ 结构本身消失。我们按一般 $q^2$ 处定义形状因子，并在固定 $m_\gamma>0$ 下取其正则的连续极限，由此确定 $C(0)=0$ 。在复动量域中同样沿既定解析分支及其边界取值。

两种形状因子记法的对应

剩下的两个协变量可换成 $\gamma^\mu$ 与 $S^{\mu\nu}q_\nu$ ，以便直接读取狄拉克、泡利形状因子。按 $S^{\mu\nu}=i[\gamma^\mu,\gamma^\nu]/4$ ，第38节的戈登恒等式由下面两项相加得到：

\begin{aligned} \gamma^\mu\slashed p&=-p^\mu-2iS^{\mu\nu}p_\nu,\\ \slashed p'\gamma^\mu&=-p'^\mu+2iS^{\mu\nu}p'_\nu,\\ -2m\bar u'\gamma^\mu u &=\bar u'[-K^\mu+2iS^{\mu\nu}q_\nu]u,\\ \bar u'K^\mu u &=\bar u'[2m\gamma^\mu+2iS^{\mu\nu}q_\nu]u. \end{aligned} \tag{63.50}

把最后一行代入 $B K^\mu$ ，并使用 $C=0$ ，得到

\bar u'V^\mu u =e\,\bar u'\left[ (A+2mB)\gamma^\mu+2iB S^{\mu\nu}q_\nu\right]u. \tag{63.51}

式（63.22）在泡利项前定义的系数是 $-iF_2/m$ ；逐项比较，便得到两个形状因子及其逆变换：

\begin{aligned} F_1(q^2)&=A(q^2)+2mB(q^2),& F_2(q^2)&=-2mB(q^2),\\ A(q^2)&=F_1(q^2)+F_2(q^2),& B(q^2)&=-\frac{F_2(q^2)}{2m},\qquad C(q^2)=0. \end{aligned} \tag{63.52}

两个 $F$ 均无量纲，泡利项的负号则由本书的定义固定。物理电荷条件另外给出

A(0)+2mB(0)=F_1(0)=1. \tag{63.53}

规范约束消除了独立的纵向响应，电荷归一固定了零转移时的一个组合；其余动量依赖以及 $F_2$ 的数值由动力学计算决定。

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