Srednicki §47 Gamma 矩阵技术

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上一节将自旋求和写成了gamma矩阵的迹。要进一步得到便于代入运动学的答案，还须把这些矩阵消去，化成动量的内积，或化成完全反对称张量与动量的收缩。完成这一步可以直接使用反对易关系和迹的循环性，无须每次都代入四乘四矩阵的分量。下面先计算不同阶数的迹，再处理两端指标缩并的矩阵乘积。

从四维克利福德代数出发

所需的出发点是四条代数关系：

\begin{aligned} \{\gamma^\mu,\gamma^\nu\}&=-2g^{\mu\nu}I_4,& \gamma_5^2&=I_4,\\ \{\gamma_5,\gamma^\mu\}&=0,& \operatorname{tr}I_4&=4 . \end{aligned} \tag{47.1}

前三条来自第36节的四维表示，最后一条给出旋量空间的维数。本书克利福德关系右端带有负号，因而 $(\gamma^0)^2=I_4$ ， $(\gamma^j)^2=-I_4$ ， $j=1,2,3$ ；时间与空间矩阵的平方由此区别开来。我们先在四维中使用这些关系，到了两端指标缩并时，再说明形式维度 $d$ 如何进入计算。

迹的循环性直接来自有限矩阵乘法： $\operatorname{tr}(XY)=\sum_{a,b}X_{ab}Y_{ba} =\operatorname{tr}(YX)$ 。把长乘积中的其余因子整体看成 $Y$ ，就可以将一个因子从迹的最前端移到最后端。现在令 $\Gamma_n=\gamma^{\mu_1}\cdots\gamma^{\mu_n}$ ，在每个gamma两侧配上 $\gamma_5$ ，得到

\begin{aligned} \gamma_5\Gamma_n\gamma_5 &=(\gamma_5\gamma^{\mu_1}\gamma_5) \cdots(\gamma_5\gamma^{\mu_n}\gamma_5)\\ &=(-1)^n\Gamma_n,\\ \operatorname{tr}\Gamma_n &=\operatorname{tr}(\gamma_5^2\Gamma_n) =\operatorname{tr}(\gamma_5\Gamma_n\gamma_5) =(-1)^n\operatorname{tr}\Gamma_n . \end{aligned} \tag{47.2}

第一行中，相邻两组之间的 $\gamma_5^2$ 均消为单位矩阵；随后在每组内用一次反对易关系，便从每个gamma得到一个负号。最后利用迹的循环性，把首尾的两个附加因子重新合在一起。当 $n$ 为奇数时，迹等于自身的负值，只能为零，因而

\operatorname{tr}(\gamma^{\mu_1}\cdots\gamma^{\mu_{2r+1}})=0. \tag{47.3}

若迹中还多一个 $\gamma_5$ ，可以先将它从最前端循环移到最后端，再逐次反交换回原位。反交换的次数由普通gamma的个数决定，于是有

\begin{aligned} \operatorname{tr}(\gamma_5\Gamma_n) &=\operatorname{tr}(\Gamma_n\gamma_5) =(-1)^n\operatorname{tr}(\gamma_5\Gamma_n),\\ \operatorname{tr}(\gamma_5\Gamma_{2r+1})&=0 . \end{aligned} \tag{47.4}

实际展开旋量外积中的质量项时，先数清每项含有几个普通gamma，就能用这两条奇数迹恒等式消去许多项；余下的偶数迹再逐阶计算。

两个与四个gamma的迹

先看最简单的两个gamma。循环移动说明交换它们的位置不改变迹，因此可以将交换前后的两个式子相加，再除以二，使迹内出现已知的反对易子：

\begin{aligned} \operatorname{tr}(\gamma^\mu\gamma^\nu) &=\frac12\operatorname{tr} (\gamma^\mu\gamma^\nu+\gamma^\nu\gamma^\mu)\\ &=-g^{\mu\nu}\operatorname{tr}I_4 =-4g^{\mu\nu}. \end{aligned} \tag{47.5}

取 $\mu=\nu=0$ 时结果为 $4$ ，空间对角分量则为 $-4$ ，正好对应前面各矩阵的平方。为了直接用于含外动量的旋量链，取任意四矢量 $a,b$ ，记 $\slashed a=a_\mu\gamma^\mu$ 、 $(ab)=a^\mu b_\mu$ 。将矢量分量与矩阵指标缩并，便有

\begin{aligned} \operatorname{tr}(\slashed a\slashed b) &=a_\mu b_\nu(-4g^{\mu\nu})=-4(ab),\\ \slashed a\slashed b&=-\slashed b\slashed a-2(ab)I_4 . \end{aligned} \tag{47.6}

前一式计算二阶迹，后一式负责重排相邻的两个斜线矩阵。内积中两个指标一上一下，时间分量的负号已经包含在 $(ab)$ 中。

有了这个重排关系，四阶迹也能化回二阶迹。记 $T_4=\operatorname{tr}(\slashed a\slashed b\slashed c\slashed d)$ ，将最左端的 $\slashed a$ 逐步移向右端：

\begin{aligned} T_4 &=-\operatorname{tr}(\slashed b\slashed a\slashed c\slashed d) -2(ab)\operatorname{tr}(\slashed c\slashed d)\\ &=\operatorname{tr}(\slashed b\slashed c\slashed a\slashed d) +2(ac)\operatorname{tr}(\slashed b\slashed d) -2(ab)\operatorname{tr}(\slashed c\slashed d)\\ &=-\operatorname{tr}(\slashed b\slashed c\slashed d\slashed a) -2(ad)\operatorname{tr}(\slashed b\slashed c)\\ &\hspace{8mm} +2(ac)\operatorname{tr}(\slashed b\slashed d) -2(ab)\operatorname{tr}(\slashed c\slashed d). \end{aligned} \tag{47.7}

每次越过一个gamma，仍未缩并的矩阵链改变符号，同时产生一项内积乘较短的迹。移到最后以后，首项可以按循环性回到 $-T_4$ 。把它移到左边，就将原四阶迹与三个二阶迹联系起来，得到

\begin{aligned} 2T_4={}&-2(ad)\operatorname{tr}(\slashed b\slashed c) +2(ac)\operatorname{tr}(\slashed b\slashed d)\\ &-2(ab)\operatorname{tr}(\slashed c\slashed d). \end{aligned} \tag{47.8}

再对每个二阶迹使用式（47.6），右边三项依次成为 $8(ad)(bc)$ 、 $-8(ac)(bd)$ 和 $8(ab)(cd)$ 。除以左边的二，便得

\operatorname{tr}(\slashed a\slashed b\slashed c\slashed d) =4\big[(ab)(cd)-(ac)(bd)+(ad)(bc)\big]. \tag{47.9}

四阶迹由此化为三个内积配对，其中交叉配对 $(ac)(bd)$ 带负号。几个特殊选择可以说明这三个配对怎样共同起作用：令 $a=b=c=d$ ，结果为 $4(a^2)^2$ ，与先用 $(\slashed a)^2=-a^2I_4$ 再平方一致；若 $a^2=b^2=0$ ，则 $\operatorname{tr}(\slashed a\slashed b\slashed a\slashed b)=8(ab)^2$ 。后一结果也可先由 $(\slashed a\slashed b)^2=-2(ab)\slashed a\slashed b$ 缩短矩阵链，再取二阶迹求出。

任意偶数阶的递推

同一技巧可以计算任意偶数个gamma的迹。其原因在于：无论矩阵链有多长，把第一个因子移到末端时，所产生的补项总比原来的迹少两个因子。为了同时确定这些项的符号，令 $T_{2r}(a_1,\ldots,a_{2r}) =\operatorname{tr}(\slashed a_1\cdots\slashed a_{2r})$ ，并取 $T_0=4$ 。当 $\slashed a_1$ 与第 $j$ 项缩并时，它此前已经越过 $j-2$ 项，所以这一缩并项的系数为 $-2(-1)^{j-2}(a_1a_j)$ 。完全移到末端的那一项则越过 $2r-1$ 项，循环回原位后成为 $-T_{2r}$ 。将它移到左边，有

\begin{aligned} 2T_{2r} &=-2\sum_{j=2}^{2r}(-1)^{j-2}(a_1a_j)\, T_{2r-2}(a_2,\ldots,\widehat a_j,\ldots,a_{2r}),\\ T_{2r} &=\sum_{j=2}^{2r}(-1)^{j-1}(a_1a_j)\, T_{2r-2}(a_2,\ldots,\widehat a_j,\ldots,a_{2r}). \end{aligned} \tag{47.10}

帽号表示删去这一项，其余矢量保留原次序。每递推一次，迹中就减少两个gamma，直至以 $T_0=4$ 结束。例如六阶迹先选 $a_1$ 的五个配对伙伴；选定以后，余下四项有三种配对，合起来就是十五个内积乘积。

还可以把递推的终点直接写成所有完全配对的和。将每对记为 $(i_k,j_k)$ ，取 $i_k<j_k$ ，并按 $i_1<\cdots<i_r$ 排列各对；记 $\operatorname{sgn}P$ 为序列 $(i_1,j_1,\ldots,i_r,j_r)$ 相对于 $(1,\ldots,2r)$ 的排列号，则

T_{2r} =4(-1)^r\sum_P\operatorname{sgn}P \prod_{k=1}^r(a_{i_k}a_{j_k}). \tag{47.11}

从式（47.10）看，每次克利福德收缩贡献一个 $-1$ ，共出现 $r$ 次；将第 $j$ 项移到第一项之后所产生的 $(-1)^{j-2}$ ，则逐步组成剩余的排列号。递推先选第一项的伙伴，再处理余下各项，每个完整配对恰好被选出一次，因此没有额外的阶乘。相应的配对数满足 $N_r=(2r-1)N_{r-1}$ 、 $N_0=1$ ，即 $(2r-1)!!$ 。给定矩阵链以后，这个有限求和便将迹全部化为内积。

含有 $\gamma_5$ 的迹

若乘积中含有多个 $\gamma_5$ ，先用反对易关系将它们移到一起，并记录途中越过普通gamma的次数。每一对 $\gamma_5$ 相乘为单位矩阵，所以最后只剩零个或一个。例如， $\gamma_5\slashed a\slashed b\gamma_5=\slashed a\slashed b$ ，而 $\gamma_5\slashed a\gamma_5=-\slashed a$ 。对于只剩一个 $\gamma_5$ 的情形，式（47.4）已经消去了含奇数个普通gamma的迹，接下来只须考虑偶数个。

计算仍从四维定义出发：

\gamma_5=i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3. \tag{47.12}

先求这个矩阵本身的迹。将四阶迹公式用于 $\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3$ ，三个配对都含有非对角度规分量，因而全部为零：

\operatorname{tr}\gamma_5 =i\operatorname{tr}(\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3)=0 . \tag{47.13}

再多两个普通gamma时，可利用迹在相似变换下不变来求其结果。对于任意固定的 $\mu,\nu$ ，选四维中一个与两者都不同的指标 $\lambda$ ，以下 $\lambda$ 不求和。由于 $\gamma^\lambda$ 与 $\gamma_5$ 反交换，而移过 $\gamma^\mu\gamma^\nu$ 时有两次反交换，所以它与这两个普通gamma的乘积对易。令 $B=\gamma_5\gamma^\mu\gamma^\nu$ ，就有

\begin{aligned} \gamma^\lambda B(\gamma^\lambda)^{-1}&=-B,\\ \operatorname{tr}B &=\operatorname{tr}\!\left[\gamma^\lambda B(\gamma^\lambda)^{-1}\right] =-\operatorname{tr}B=0 . \end{aligned} \tag{47.14}

这里 $\gamma^\lambda$ 的平方为 $\pm I_4$ ，保证了它可逆；相似变换一面保持迹，一面将矩阵变为其负值，因此迹再次只能为零。这个选择对 $\mu=\nu$ 和 $\mu\ne\nu$ 都成立，因为四维中总有可用的 $\lambda$ 。

接着计算 $F^{\mu\nu\rho\sigma} =\operatorname{tr}(\gamma_5\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma)$ 。交换任意两个相邻指标时，克利福德关系产生的是 $-2g^{\mu\nu}\operatorname{tr}(\gamma_5\gamma^\rho\gamma^\sigma)$ 一类补项，刚才已经求得这类二阶迹为零。因此 $F$ 完全反对称，有重复指标的分量也随之为零；只要求出一个四指标互异的分量，其余分量便由排列的符号确定。

取 $3210$ 次序，代入 $\gamma_5$ 后，相同的空间矩阵恰好逐对相邻：

\begin{aligned} F^{3210} &=i\operatorname{tr} (\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3 \gamma^3\gamma^2\gamma^1\gamma^0)\\ &=i(-1)^3\operatorname{tr}[(\gamma^0)^2] =-4i . \end{aligned} \tag{47.15}

三个空间gamma的平方各给一个 $-1$ ，时间gamma的平方给 $+1$ 。将四个标签完全反转需要六次交换，属于偶排列，所以取 $\epsilon^{0123}=+1$ 时，也有 $\epsilon^{3210}=+1$ 。由此固定整体系数：

\operatorname{tr} (\gamma_5\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma) =-4i\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}. \tag{47.16}

写成四个普通四矢量的斜线形式时，矢量分量与gamma指标相缩并。逐个保留指标的位置，得到

\begin{aligned} \operatorname{tr}(\gamma_5\slashed a\slashed b\slashed c\slashed d) &=-4i\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}a_\mu b_\nu c_\rho d_\sigma\\ &=-4i\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma}a^\mu b^\nu c^\rho d^\sigma, \qquad \epsilon_{0123}=-1 . \end{aligned} \tag{47.17}

降下四个指标时，只有时间指标引入负号，因此最后的取向分量为 $-1$ 。例如依次取四个坐标基四矢量，第一个斜线矩阵为 $\slashed a=-\gamma^0$ ，其余三个为 $\gamma^1,\gamma^2,\gamma^3$ ，上式于是给出 $+4i$ ；它与式（47.16）的 $0123$ 分量相差的，正是降低时间指标带来的负号。

含一个 $\gamma_5$ 和更多普通gamma的迹也可以按同一路线计算：先用式（47.12）将前者展开成四个具体gamma，再应用偶数递推式（47.10）。这个过程始终在四维内进行，最后只留下度规与上述取向张量。

两端gamma的缩并

费米子圈图中还会出现两端分别为 $\gamma^\mu$ 和 $\gamma_\mu$ 、中间夹着若干矩阵的乘积。这次所求的对象本身是矩阵，未必处于迹内，因此要直接用克利福德关系将两端移到一起，不能借助迹的循环性。为了给维数正规化作准备，先将度规的完全缩并写成 $g^{\mu\nu}g_{\mu\nu}=d$ 。在具体的四维矩阵中，当然有 $d=4$ ；暂时保留 $d$ ，就能看清维数从何处进入各项系数。

最简单的情形是两端gamma之间没有其它矩阵。度规对称，gamma交换子的缩并为零，只留下反对易的部分，因而

\gamma^\mu\gamma_\mu =\frac12g_{\mu\nu}\{\gamma^\mu,\gamma^\nu\} =-g_{\mu\nu}g^{\mu\nu}I =-dI . \tag{47.18}

中间多一个 $\slashed a$ 时，将最右端的gamma向左移一步，即可利用刚求出的完全缩并：

\begin{aligned} \gamma^\mu\slashed a\gamma_\mu &=\gamma^\mu(-\gamma_\mu\slashed a-2a_\mu I)\\ &=-\gamma^\mu\gamma_\mu\slashed a-2\slashed a =(d-2)\slashed a . \end{aligned} \tag{47.19}

在这个结果中， $d$ 来自两个gamma的完全缩并， $-2$ 则来自最右端gamma越过 $\slashed a$ 时的反对易子。把这一步用于更长的矩阵链，就得到缩并的递推关系。

记 $A_j=\slashed a_j$ 、 $C_n=\gamma^\mu A_1\cdots A_n\gamma_\mu$ ，并取 $C_0=-dI$ 。先让最右端gamma越过 $A_n$ ，再将反对易子中的 $a_{n\mu}\gamma^\mu$ 认作 $A_n$ ，便有

\begin{aligned} C_n &=-\gamma^\mu A_1\cdots A_{n-1}\gamma_\mu A_n -2a_{n\mu}\gamma^\mu A_1\cdots A_{n-1}\\ &=-C_{n-1}A_n-2A_nA_1\cdots A_{n-1}. \end{aligned} \tag{47.20}

第二项的 $A_n$ 位于最左端；若要把它移回最右端，还须逐次加入反对易子产生的补项。保留这个位置，就能看出下文三个gamma的缩并为何出现反序乘积。

先令 $A=\slashed a$ 、 $B=\slashed b$ 、 $C=\slashed c$ 。对于中间有两个因子的情况，递推给出

\begin{aligned} \gamma^\mu AB\gamma_\mu &=-(d-2)AB-2BA\\ &=-(d-2)AB+2AB+4(ab)I\\ &=4(ab)I-(d-4)AB . \end{aligned} \tag{47.21}

二因子的缩并已化为内积项和原有矩阵乘积。继续增加一个因子，并代入刚得到的二因子缩并式，有

\begin{aligned} \gamma^\mu ABC\gamma_\mu &=-[4(ab)I-(d-4)AB]C-2CAB\\ &=(d-4)ABC-4(ab)C-2CAB\\ &=(d-4)ABC+2CBA . \end{aligned} \tag{47.22}

最后一步将 $BA=-AB-2(ab)I$ 左乘相应因子，得到 $2CBA=-2CAB-4(ab)C$ ，正好合并前一行的两项。因此，三个矢量按 $c,b,a$ 反序出现，是递推中把最后一个因子移到最前面所致。

在四维中，维数差的项消失，上述各式化为

\begin{aligned} \gamma^\mu\gamma_\mu&=-4I,& \gamma^\mu A\gamma_\mu&=2A,\\ \gamma^\mu AB\gamma_\mu&=4(ab)I,& \gamma^\mu ABC\gamma_\mu&=2CBA. \end{aligned} \tag{47.23}

用于维数正规化时则要稍晚再取四维极限。代入 $d=4-\varepsilon$ 后保留的 $\varepsilon$ 项，可能与圈积分中的 $1/\varepsilon$ 极点相乘而留下有限贡献。例如

\frac1{\varepsilon}\gamma^\mu ABC\gamma_\mu =\frac{2}{\varepsilon}CBA-ABC, \qquad d=4-\varepsilon . \tag{47.24}

若在缩并这一步就令 $d=4$ ，右边的有限项便会丢失。这就是计算费米子圈图时需要保留 $d$ 的原因。这里 $\varepsilon$ 是无量纲的维度参数，而费曼分母中的正小量具有质量平方量纲，两者承担不同的调节作用。

四维的 $\gamma_5$ 与维数延拓

上述缩并只用到了克利福德关系和 $g^\mu{}_\mu=d$ ，因此可以先得到关于 $d$ 的多项式，再作 $d=4-\varepsilon$ 的形式延拓。需要取迹时，本书仍取归一 $\operatorname{tr}1=4$ 。这里延拓的是代数规则；非整数 $d$ 并不对应一组具有非整数个坐标指标的四阶有限矩阵。

将 $\gamma_5$ 也带入这种延拓时，还要处理它的四维定义。四维中非零的 $\epsilon$ 迹、与所有gamma的反对易性以及迹的循环性，在 $d\ne4$ 时不能全部原样保留，原因可以直接从前面的缩并式看出。把第四个斜线矩阵记为 $D=\slashed e$ ，并记 $T=\operatorname{tr}(\gamma_5ABCD)$ 。先假定本节证明的低阶 $\gamma_5$ 零迹仍然成立；这样一来，交换任意相邻的 $A,B,C,D$ 所产生的补项依旧为零， $T$ 便仍是四个矢量的完全反对称函数。再由式（47.20）多递推一步，有

\gamma^\mu ABCD\gamma_\mu =-2CBAD-(d-4)ABCD-2DABC . \tag{47.25}

同一个两端缩并式可以用两种次序求含 $\gamma_5$ 的迹。先假定 $\gamma_5$ 与参与 $d$ 维缩并的所有gamma都反对易，利用循环性将最右端gamma移到最左端，得到

\begin{aligned} L&:=\operatorname{tr}(\gamma_5\gamma^\mu ABCD\gamma_\mu)\\ &=\operatorname{tr}(\gamma_\mu\gamma_5\gamma^\mu ABCD)\\ &=-\operatorname{tr}(\gamma_5\gamma_\mu\gamma^\mu ABCD) =dT . \end{aligned} \tag{47.26}

再从刚才求得的四因子缩并式出发。由于 $CBAD$ 和 $DABC$ 相对于 $ABCD$ 都是奇排列，相应的两个迹均为 $-T$ 。代入式（47.25），同一个量便成为

L=2T-(d-4)T+2T=(8-d)T,\qquad (d-4)T=0 . \tag{47.27}

当 $d\ne4$ 时，两种计算若要相容，就必须有 $T=0$ ，这与四维非零的 $\epsilon$ 迹相冲突。因此，本节含 $\gamma_5$ 的迹公式保留其四维适用范围，而上述维数缩并式按不含 $\gamma_5$ 的代数前提使用。遇到同时包含两者的圈图时，须先规定相应的延拓办法。

十六个矩阵组成的基

前面已经求出了习题47.1、47.2所需的零迹和两端缩并。习题47.3进一步问：任意 $4\times4$ 复矩阵能否写成以下五组矩阵的线性组合？

I_4,\qquad \gamma^\mu,\qquad S^{\mu\nu}=\frac{i}{4}[\gamma^\mu,\gamma^\nu]\ (\mu<\nu), \qquad \gamma^\mu\gamma_5,\qquad\gamma_5.

这些矩阵的数目为 $1+4+6+4+1=16$ ，恰好等于 $4\times4$ 复矩阵空间的维数。只要证明线性无关，它们就是一组基。取希尔伯特–施密特内积

(X,Y)_{\rm HS}=\operatorname{tr}(X^\dagger Y),\qquad \|X\|_{\rm HS}^2=\sum_{a,b}|X_{ab}|^2,

然后将问题改写为十六个矩阵的正交性。对任意子集 $J=\{\mu_1<\cdots<\mu_r\}\subseteq\{0,1,2,3\}$ ，定义 $\Gamma_J=\gamma^{\mu_1}\cdots\gamma^{\mu_r}$ ，并令 $\Gamma_\varnothing=I_4$ 。在第36节的表示中， $\gamma^0$ 厄米，三个空间gamma反厄米；结合它们各自的平方，每个gamma都是酉矩阵。因此

\Gamma_J^\dagger\Gamma_J=I_4,\qquad \operatorname{tr}(\Gamma_J^\dagger\Gamma_J)=4.

若 $J\ne K$ ，把 $\Gamma_J^\dagger\Gamma_K$ 中相同指标的gamma移到一起，用平方关系消去。余下的指标正好是非空对称差 $J\mathbin{\triangle}K$ ，每个指标只出现一次，换序只留下整体正负号。余下一个或三个gamma时，迹由奇数迹公式为零；余下两个不同gamma时，迹为 $-4g^{\mu\nu}=0$ ；余下四个时，乘积正比于 $\gamma_5$ ，迹也为零。于是

\operatorname{tr}(\Gamma_J^\dagger\Gamma_K)=4\delta_{JK}.

将 $\sum_Jc_J\Gamma_J=0$ 左乘 $\Gamma_K^\dagger$ 并取迹，立即得到 $4c_K=0$ 。这就证明了十六个有序乘积的线性无关。

它们与开头五组矩阵一一对应：零次和一次乘积给 $I_4$ 和 $\gamma^\mu$ ；当 $\mu<\nu$ 时， $S^{\mu\nu}=(i/2)\gamma^\mu\gamma^\nu$ ； $\gamma^\mu\gamma_5$ 中重复的指标消去后，留下其余三个gamma的乘积； $\gamma_5$ 给四次乘积。每次对应只乘一个非零复数，因而五组矩阵也构成正交基。它们的范数分别为

\begin{aligned} \|I_4\|_{\rm HS}^2 =\|\gamma^\mu\|_{\rm HS}^2 =\|\gamma^\mu\gamma_5\|_{\rm HS}^2 =\|\gamma_5\|_{\rm HS}^2&=4,\\ \|S^{\mu\nu}\|_{\rm HS}^2&=1\quad(\mu<\nu). \end{aligned}

张量生成元的系数 $i/2$ 使范数平方多了 $1/4$ 。对任意矩阵 $X$ 作正交投影，便得到各个展开系数：

\begin{aligned} X={}&\frac14\operatorname{tr}(X)I_4 +\frac14\sum_{\mu=0}^3 \operatorname{tr}[(\gamma^\mu)^\dagger X],\gamma^\mu\\ &+\sum_{\mu<\nu} \operatorname{tr}[(S^{\mu\nu})^\dagger X],S^{\mu\nu}\\ &+\frac14\sum_{\mu=0}^3 \operatorname{tr}[(\gamma^\mu\gamma_5)^\dagger X],\gamma^\mu\gamma_5 +\frac14\operatorname{tr}(\gamma_5X)\gamma_5. \end{aligned}

这里的和按固定矩阵基逐个求取，厄米共轭已经包含时间与空间gamma的不同厄米性。任意旋量矩阵耦合由此分成标量、矢量、反对称张量、轴矢量和赝标量五部分；第40节讨论的双线性量正好覆盖这五组。

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