此帖记录一下在处理微分形式的时候常用到的三个cartan公式：
\[\begin{cases} [\mathcal{L}_X, \mathrm{d}] = 0\\ \mathcal{L}_X = \mathrm{d}\cdot\mathrm{i}_X + \mathrm{i}_X\cdot\mathrm{d}\\ [\mathcal{L}_X, \mathrm{i}_Y] = \mathrm{i}_{[X,Y]}. \end{cases}\]的证明。事实上，熟悉了三个线性算子的定义后，这三个公式的证明无非就是简单的搭积木，任何一个优秀的小学生都能轻松完成。
Cartan 是一位伟大的数学家， Cartan❤️love! <3
第一个公式是一个算子式。证明的主要方法是将其作用在任意一个几何对象上，然后考察其值是否能化简为0。
先作用在标量函数$f$上。微分算子给出
\[\mathrm{d}f = \frac{\partial f}{\partial x^i}\mathrm{d}x^i.\]进一步用李导数作用在其上：
\[\begin{aligned} \mathcal{L}_X\mathrm{d}f &= \mathcal{L}_X\left(\frac{\partial f}{\partial x^i}\mathrm{d}x^i\right)\\ &= \mathcal{L}_X\left(\frac{\partial f}{\partial x^i}\right)\mathrm{d}x^i + \frac{\partial f}{\partial x^i}\mathcal{L}_X\mathrm{d}x^i\\ a^i\frac{\partial}{\partial x^i} \rightarrow \mathrm{d}u^i\nabla_i\left(a^k\frac{\partial}{\partial x^k}\right) \end{aligned}\] \[\cos(\vec{n},x)\]