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范畴论笔记(1)

从Grothendieck宇宙到函子

从某种意义上讲，范畴论也只不过是一种集合论，只不过其研究的对象是作为“集合”而出现的数学对象，例如群、拓扑空间等。然而群本身就已是一个集合、甚或是许多集合组成的集合，我们似乎很难想象所有群组成的集合到底是什么东西。或者一个严谨的人可能会问，这样一个对集合的操作真的合法吗？所有这些操作到底是在什么背景下进行的？为了解决这些问题，我们就需要引入Grothendieck宇宙这一概念。 Gro...

Posted by Whitney on March 25, 2025

我的2024

The Long Goodbye

2024真的是非常特别的一年，兴许会是我人生中最难以忘怀的一年。这一年我经常想，要是我能回到2024年的年初——甚或是2021年，我的生活会不会有所不同？但是我越这样想，我就越会对现状感到失望；越是失望就越深地陷入美好的过往中。整个2024年就是一场漫长的告别：对未成年的我的告别，对曾经无所不能的我的告别。 2024年过的太匆匆、过的太不堪，我都不知道这一份年终总结究竟要怎么写。

Posted by Whitney on December 31, 2024

Lorentz Currents

A Problem from Schwartz's QFT Book

Lorentz Currents A global lorentz transformation $x^\mu \to \Lambda^\mu_{\ \,\nu}x^\nu$ should produce a conserved current $K$. Now we try to derive such a current. Con...

Posted by Whitney on December 12, 2024

两周速通朗道《力学》（9）

(9/14)

The fun part! 正则方程哈密顿方程拉格朗日函数通过广义坐标和广义速度来描述系统的运动状态。然而对于某些问题，利用广义坐标和广义动量来描述系统状态是有优势的。接下来我们来试着在这种方程上建立运动方程。拉格朗日的全微分可以写作 \[\mathrm{d}\mathcal{L} = \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial q_i...

Posted by Whitney on December 6, 2024

两周速通朗道《力学》（8）

(8/14)

刚体的角动量在角动量的定义中，如果选定刚体的质心为坐标原点，那么这个刚体的角动量就只剩下其内禀的角动量$M$，并且与各质点相对质心的角速度有关。因此在定义$M = \sum r\times v$中我们用$\Omega \times r$来取代$v$，得到 \[M_i = \sum mr\times(\Omega\times r) = \sum m\left[r^2\Omega - ...

Posted by Whitney on December 5, 2024

两周速通朗道《力学》（7）

(7/14)

刚体的运动角速度力学中一个刚体被定义为质点间距离保持不变的质点组成的系统。通过对整个刚体的微分，能得到体元$\mathrm{d}V$，因此我们可以将刚体当作离散质点的集合来考虑。为了描述刚体的运动，我们可以引入两种参考系：惯性参考系$XYZ$，以及随着刚体运动的动坐标系$xyz$。我们常取原点于刚体的质心处。这么一个动坐标系相对惯性系有一个三个自由度的位矢差异以及三个独立的角向差异，...

Posted by Whitney on December 4, 2024

两周速通朗道《力学》（6）

(6/14)

书接上文。明天只有一节化学课，但是是在早八依然不能熬夜。有摩擦的强迫振动对于有摩擦的强迫振动，我们只需要在$\ddot{x} + 2\lambda\dot{x} + \omega_0^2 x =0$右端添加一项$f\cos\gamma t/m$就能得到这样一个系统的运动方程。我们用复数求解这个方程，因此做替换$\cos\gamma t \to \mathrm{e}^{\ma...

Posted by Whitney on December 3, 2024

两周速通朗道《力学》（5）

(5/14)

微振动一维自由振动微振动指的是一个力学系统在平衡位置附近的运动，并且运动幅度不大。我们先研究仅有一个自由度的自由振动过程。系统偏离平衡位置后，会产生一个$-\mathrm{d}U/\mathrm{d}q$的力使系统返回平衡位置。对$U(q) - U(q_0)$按$q - q_0$的幂次展开，并取到二阶项，会有 \[U(q) - U(q_0) = \frac{1}{2}U^{\pri...

Posted by Whitney on December 2, 2024

两周速通朗道《力学》（4）

(4/14)

昨晚又失眠了。后天去医院开点安定片。其实失眠本身不是问题，问题是我必须要上早八。必须要上。质点碰撞质点分裂本节译注中提到，本节中的质点应该翻译成粒子。通读全章后发现确实如此，因此我们在之后也选择类似的说法，用粒子替代质点。粒子作为现实中真实存在的、可以分裂的一个物理实体研究起来才比较有意义。我们先考虑一个粒子自发的分裂成两个粒子的过程。我们选择原粒子静止的参考系$...

Posted by Whitney on December 1, 2024

两周速通朗道《力学》（3）

(3/14)

早上十点慵懒的起床，状态不错。今天下雨，体育课暂停一次，有一整个下午和晚上来学习。运动方程的积分一维运动如果取笛卡尔坐标，那么只有一个自由度的系统的运动的拉格朗日函数就可以写为$\mathcal{L} = 1/2m\dot{x} - U(x)$。由于对于一个封闭系统，能量是守恒的，那么可以直接写出其能量表达式$E = 1/2m\dot{x} + U(x)$。这是一个一阶微...

Posted by Whitney on November 25, 2024