刚体的角动量
在角动量的定义中，如果选定刚体的质心为坐标原点，那么这个刚体的角动量就只剩下其内禀的角动量$M$，并且与各质点相对质心的角速度有关。因此在定义$M = \sum r\times v$中我们用$\Omega \times r$来取代$v$，得到
\[M_i = \sum mr\times(\Omega\times r) = \sum m\left[r^2\Omega - r(r\cdot \Omega)\right] = \Omega_k\sum m (x_l^2\delta_{ik} - x_ix_k) = I_{ik}\Omega_k.\]这一形式与我们熟知的$p = mv$具有良好的对称性。同样的，如果选定三个惯量主轴，那么角动量就分别是三个动量主轴上的转动惯量与角速度的缩并。对于球形陀螺，显然就有三个主转动惯量相等，因此$M = I\Omega$，也就是说角动量正比于角速度，且矢量方向相同。
接下来我们来研究自由转动的刚体。对于球形陀螺，自由转动得出角动量是常量，因此角速度是常量，所以我们说球形陀螺最一般的自由运动是绕空间中某个固定轴的匀速转动。对于转子也有类似的结论：转子的自由转动是在一个平面内绕垂直于该平面的某个轴的匀速转动。而对于对称陀螺的运动，一般的是两种运动的叠加：绕某轴线的规则进动和绕自身对称轴的匀速转动。
刚体运动方程
刚体有六个自由度，就理应有六个独立的运动方程，并且这些方程可以写作刚体的动量和角动量两个矢量对时间的导数的形式。
每个质点的平动能写出一个矢量方程$\dot{p} = f$，因此我们可以对这个式子左右两边求和从而得出刚体的方程。刚体的总动量被定义为$P = \sum p = \mu V$，并且定义$F = \sum f$，因此显然有
\[\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t} = F.\]虽然我们定义$F$为所有力的求和，但是根据牛顿第三定律，刚体内部的力都会相互抵消从而$F$就变为了外力的求和。同理我们可以发现外力合力为$0$会导致动量守恒，这一点与质点的运动的原理相同。
第二个运动方程被角速度对时间的导数确定：
\[\dot{M} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\sum r\times p = \sum \dot{r}\times p + \sum r\times \dot{p} = \sum r\times\dot{p} \equiv K\]其中我们选定一个刚体相对静止的参考系，因此$\dot{r}$就与$p$同向，$\dot{r}\times p$自然为$0$。其中$K = \sum r\times f$，被称作总力矩，是作用在刚体上的所有的力产生的力矩之和。和角动量一样，力矩的定义也和坐标原点的选择有关。
欧拉角
前面提到过，描述刚体的运动可以用质心的三个坐标以及质心坐标系相对惯性系的三个角度。我们用所谓欧拉角来取这三个角。
显然我们只对坐标轴之间的夹角感兴趣，因此我们认为两个坐标系的原点重合。质心系的$x_1x_2$平面和惯性系的$XY$平面显然应当有一条交线；我们称这一交线为节线。那么从原惯性系到质心系就可以通过如下至多三个转动得到：绕$Z$轴转动$\varphi$，再绕新的$X’$轴转动$\theta$，最后再绕新的$Z’$转动$\psi$。我们能发现，$\theta$实际上是$x_3$和$Z$的夹角，$\varphi$是$X$与节线的夹角，而$\psi$是$x_1$与节线的夹角。因此这种欧拉角的取法可以被记作是$ZXZ$。
后面刚体的部分由于不便画图遂直接跳过。其实这部分是12.06写的，p110-136.
