书接上文。明天只有一节化学课，但是是在早八依然不能熬夜。
有摩擦的强迫振动
对于有摩擦的强迫振动，我们只需要在$\ddot{x} + 2\lambda\dot{x} + \omega_0^2 x =0$右端添加一项$f\cos\gamma t/m$就能得到这样一个系统的运动方程。我们用复数求解这个方程，因此做替换$\cos\gamma t \to \mathrm{e}^{\mathrm{i}\gamma t}$，此时方程就变为
\[\ddot{x} + 2\lambda\dot{x} + \omega_0^2 x = \frac{f}{m}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\gamma t}\]这样的方程的特解理应有$B\mathrm{e}^{\mathrm{i}\gamma t}$的形式。代入上式可得
\[B = \frac{f}{m(\omega_0^2 - \gamma^2 + 2\mathrm{i}\lambda\gamma)}.\]$B$也可以被写作$b\mathrm{e}^{\mathrm{i}\delta}$的形式，那么对于$b$和$\delta$来讲就有
\[b = \frac{f}{m\sqrt{(\omega_0^2 - \gamma^2)^2 + 4\lambda^2\gamma^2}}, \qquad \tan\delta = \frac{2\lambda\gamma}{\gamma^2 - \omega_0^2}.\]最后再取特解的实部就能得到方程的特解$x = b\cos(\gamma t + \delta)$，加上通解就能得到
\[x = a\mathrm{e}^{-\lambda t}\cos(\omega t+\alpha) + b\cos(\gamma t + \delta)\]第一项随$t\to +\infty$衰减至$0$，因此经过足够长的时间这么一个力学系统将会变为一个简单的简谐运动$x = b\cos(\gamma t + \delta)$。也就是说可以这么理解，摩擦将原有的振动模式耗散掉了，剩下的强迫振动替代了原有振动模式。在这种运动模式下，系统的能量保持不变。我们可以用外力频率的函数来表示单位时间内平均吸收的能量$I(\gamma) = 2\overline{F}$。$F$是耗散函数$F = \lambda m \dot{x}^2$对于周期的平均值。在这个例子中，耗散函数被写作
\[F = \lambda mb^2\gamma^2 \sin^2(\gamma t + \delta).\]而正弦函数的平方对于时间的平均值是$1/2$，那么$I(\gamma) = \lambda mb^2\gamma^2$.
当$\gamma = \omega_0 + \varepsilon$时，振幅$b = f/2m\omega_0\sqrt{\varepsilon^2 + \lambda^2}$，代入得
\[I(\varepsilon) = \frac{f^2}{4m}\frac{\lambda}{\varepsilon^2 + \lambda^2}.\]这种依赖关系被称作色散，其给出的函数曲线被称作共振曲线。
参变共振
一维拉格朗日函数的参数有$m$和$k$。如果两者是依赖于时间的，那么运动方程$(m\dot{x})’ + kx = 0$。我们可以引入一个新的参数$\tau$使得$\mathrm{d}\tau = \mathrm{d}t/m(t)$，因此方程就变为$\mathrm{d}^2x/\mathrm{d}\tau^2 + mkx = 0$。而在一般系统中参数$m$对应的物理含义“质量”往往都是个不变量，即$m = \mathrm{const}$。也就是说，研究这么一种参数关于时间变化的情况，我们只需要考虑如下形式的方程即可：
\[\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} + \omega^2(t)x = 0.\]考虑这么一种参数函数，其具有频率$\gamma$，那么就存在周期$T = 2\pi/\gamma$。这种情况下，由于其周期性，对于任意两个解$x_1(t)$和$x_2(t)$，$x_1(t+T)$和$x_2(t+T)$都应当是他们自身的线性叠加。我们可以将这么一个变换化作对角化的形式，从而将线性叠加简化为乘以一个常数$\mu$，具有这种性质的函数的一般形式为
\[x(t) = \mu^{t/T}\Pi(t)\]由于$x(t)$是时间的周期函数，$\Pi(t)$也自然是时间的周期函数。出于$\omega$的周期性，因此$x_1(t)$和$x_2(t)$应该有一些约束关系，同时$\mu_1$和$\mu_2$之间也应该有某种关系。将两个解代入原方程，得到$\ddot{x}_1 + \omega^2(t)x_1 = 0$和$\ddot{x}_2 + \omega^2(t)x_2 = 0$。要消去$\omega$，我们只需要分别乘上共轭解再相减：
\[\ddot{x}_1x_2 - \ddot{x}_2x_1 = \ddot{x}_1x_2 + \dot{x}_1\dot{x}_2 - \dot{x}_1\dot{x}_2 - \ddot{x}_2x_1 = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\dot{x}_1x_2 - \dot{x}_2x_1) = 0\]变换$t\to t+T$之后，等式左侧乘以了$\mu_1\mu_2$，而由于我们取的$x_1$和$x_2$是任意的，因此$\mu_1\mu_2$应该能够保证上式在任何情况下都成立，因此只有可能$\mu_1\mu_2 = 1$。当然$\mu$也可以取复数，但在此处我们不讨论这种情况，即在此我们假设$\mu_1$和$\mu_2$都为实数。那么
\[x_1(t) = \mu_1^{t/T}\Pi_1(t), \qquad x_2(t) = \mu_2^{t/T}\Pi_2(t)\]这两个函数有一个是随时间增大而迅速以指数增大的。这就是说，系统在$x= 0$附近不稳定：偏离这一状态的任意小量都会使得位移$x$随时间快速增长。这种现象被称作参变共振。
接下来我们考虑一种简单然而重要的情况：$\omega(t)$和$\omega_0$相差很小，并且是简单的周期函数
\[\omega^2(t) = \omega_0^2\left(1 + h\cos\gamma t\right)\]我们总能使$h$是一个正的小量。我们设$\gamma = 2\omega_0 + \varepsilon$，运动方程就变为
\[\ddot{x} + \omega_0^2\left[1 + h\cos\left(2\omega_0 + \varepsilon\right)t\right]x = 0.\]这一方程被称为马蒂厄方程。我们可以假设解有如下的形式
\[x = a(t)\cos\left(\omega_0 + \frac{\varepsilon}{2}\right)t + b(t)\sin\left(\omega_0 + \frac{\varepsilon}{2}\right)t\]我们将其带入原方程，并假设$\dot{a} = \varepsilon a$，保留$\varepsilon$至一阶项，能得到
\[-\left(2\dot{a} + \varepsilon b + \frac{h\omega_0}{2}b\right)\omega_0\sin\left(\omega_0 + \frac{\varepsilon}{2}\right)t + \left(2\dot{b} - \varepsilon a + \frac{h\omega_0}{2}a\right)\omega_0\cos\left(\omega_0 + \frac{\varepsilon}{2}\right)t = 0\]这一等式恒成立就要求三角函数的系数都为零，因此就能得到$a$和$b$的线性微分方程。假设这两个方程正比于$\mathrm{e}^{st}$的解，就会有
\[\begin{cases} sa + \frac{1}{2}\left(\varepsilon + \frac{h\omega_0}{2}\right)b = 0\\ -sb +\frac{1}{2}\left(\varepsilon - \frac{h\omega_0}{2}\right)a = 0 \end{cases}\]能得到
\[s^2 = \frac{1}{4}\left[\left(\frac{h\omega_0}{2}\right)^2 - \varepsilon^2\right]\]由于我们要求$s$是实数，因此参变共振发生在$2\omega_0$两侧的区间
\[-\frac{h\omega_0}{2} < \varepsilon < \frac{h\omega_0}{2}\]这一区间是一个与$h$相近的小量，而$s$也是与$h$同量级的。一般的，在频率$2\omega_0/n$附近共振的不稳定区间的$\Delta\varepsilon$由下式给出：
\[\Delta\varepsilon = n^{2n-3}h^n/2^{3(n-1)}[(n-1)!]^2.\]非简谐振动
第五章余下的部分跳过。现在是12-4 08:32，把昨天的笔记写完了，进度p81-98(当然这是包括了跳过部分的)。
