定义均来自梁灿彬《微分几何与广义相对论》，本文仅是对其第一章内容的选录和换序。
读者可适当跳过本章中的某些定义或者直接跳过本章；对于后续部分中提到相关概念时再前来查找相关定义也不失为一种好选择。
集合上的结构
现代数学以集合论为基础，每一个数学定理都有其作用的特定“场域”，正如每一个物理定律都要规定一个背景时空一样。然而单有集合却会带来很多困扰：一般的集合太过自由，难以把握。因而我们需要比较有规律的集合；或者说我们需要在集合上定义额外的结构，比如说实数集合$\mathbb{R}$上由我们熟悉的加法和乘法定义的代数结构；有序实数对构成的集合（亦即平面$\mathbb{R}^2$）上定义的度量结构。一般来讲，集合上的结构由附加在这个集合上的数学对象组成，能额外赋予集合一些特殊的涵义或者使集合更加容易操作。正如代数结构使实数集合变成实数域，度量结构在平面上形成了几何。现在，我们在任意的集合$X$上定义这么一种名叫开子集的子集，并要求它满足以下条件：
- $X$, $\emptyset$为开子集；
- 有限个开子集的交依旧是开子集；
- 任意个开子集的并依旧是开子集。
举个例子：可以指定实数集$\mathbb{R}$中的所有开区间（包括全集$\mathbb{R}$和$\emptyset$都为开子集：有交集的开区间之交显然必是开区间；无交集的开区间之交为空集，显然也为开子集。当然也可以指定$\mathbb{R}$的所有子集为开子集，也满足以上条件；这样定义出来的开子集的数量显然最多。当然我们可以在任意的抽象集合上任意定义这样的开子集，只要满足上述三个条件即可。集合上所有开子集的集合也算是$X$上的一个结构，被称作 拓扑结构 ，记为$\mathcal{T}_X$。
拓扑空间
对于集合$X$上的一个结构$\mathcal{S}_X$，我们总可以说集合$X$和结构$\mathcal{S}_X$一起$(X, \mathcal{S}_X)$组成一个空间，例如完备度量空间$(\mathbb{R}, |\cdot|)$。因此我们把集合$X$和其上定义的拓扑$\mathcal{T}_X$一起称作拓扑空间$(X, \mathcal{T}_X)$。
注意到$X$上的拓扑是任意定义的，因此其实我们可以同时在一个集合上定义两个完全不一样的拓扑$\mathcal{T}, \mathcal{S}$，从而导出两个不同的拓扑空间 $(X, \mathcal{T}_X)$和$(X, \mathcal{S}_X)$，这完全取决于我们的定义。如果定义的拓扑可以在上下文中明确，那么拓扑空间就可以简记为$X$。
考虑以下定义：
- 考虑拓扑空间中的一点$x$。如果$\exists O \in \mathcal{T}\ s.t.\ x\in O \subset N$，那么称 $N\in X$为 $x$ 的一个邻域。
- 在中文中我们自然的认为与开集相反的集合会被称作闭集。而事实也似乎正是如此：我们定义一个补集$-C$为开集的集合为闭集。如果一个拓扑空间中除了 $X$和 $\emptyset$以外没有即开又闭的子集，那么我们称这个拓扑空间是连通的。
- 如果拓扑空间中的一子集$A$ 是$X$上一些开子集的集合 ${O_\alpha}$ 之并的子集，那么我们称这个集合${O_\alpha}$ 为$A$ 的一个开覆盖，或者称${O_\alpha}$ 覆盖$A$。
现在我们来介绍一种十分常见的拓扑空间：豪斯多夫空间，或者成为$\mathbf{T}_2$空间。从直观理解出发，一个豪斯多夫空间是一个任意两点都能被其邻域分离的拓扑空间，或者讲任意一个元素都有其相对于其他任意元素“独特的”的一个邻域。现在我们用更数学的语言来描述这一特性:
\[\forall x, y \in \mathbf{T}_2\wedge x \neq y,\ \exists \ O_1, O_2 \in \mathcal{T}\ s.t. \ x\in O_1\wedge y \in O_2\wedge O_1\cap O_2 = \emptyset.\]豪斯多夫空间十分常用，我们之后接触的拓扑空间全部都将是豪斯多夫空间。如未特殊声明，以后的“拓扑空间”一词将直接代指豪斯多夫空间。
现在我们来研究一下拓扑空间间的关系。考虑两个不同的拓扑空间$(X, \mathcal{T}), (Y, \mathcal{S})$和一个映射$f: X \rightarrow Y$。如果对于任意的$O \in \mathcal{S}$，都有$f^{-1}[O] \in \mathcal{T}$， 那么我们就称映射$f$是连续的。同理我们可以利用邻域的概念定义在点处连续的映射。如果一个映射$f$在所有$x \in X$都连续，那么我们就称$f$连续。
如果这样一个连续映射$f$是一个双射而且其逆$f^{-1}$存在且亦连续，那么我们就称这个映射叫同胚映射，并称$X$和$Y$互相同胚。通过这种定义方式，我们可以从直观上认为一个正方形和一个圆是同胚的，或者举一个更经典的例子，一个甜甜圈和咖啡杯同胚。这也就表明，“同胚”这个概念描述的就是拓扑空间之间的相似性；这样一个同胚映射能够构造两个拓扑空间的元素及其开子集的一一对应关系，因此可以说这两个拓扑空间是“一样”的。（其实这里读者应该能够联想到证明有理数集可数的方法。）
我们再使用将拓扑空间中的元素与自然数集一一对应的方法来在之上定义序列。具体方法是，构造一个映射$S: \mathbb{N} \rightarrow X$，$S$的像通常被记做${x_n} = S(n) \in X$。这一定义与实数中的序列定义类似，不过是给拓扑空间中某些点赋予了一个自然数，再将自然数的有序结构“携带”到拓扑空间上，得到拓扑空间中一些有序的点。
定义了序列，自然就能定义极限。我们先回忆一下在实数序列上定义极限的方法：
或者用以下等价的描述：
\[\lim_{n \to \infty} x_n = A \equiv \forall \epsilon>0, \exists N\in \mathbb{N} \ \forall n>N(\left | x_n - A \right |<\epsilon )\]第一种定义方式极其方便移植到拓扑空间中，只需要将邻域$V(A)$改为拓扑空间中的邻域即可。
最后的最后，我们再不加解释地给出第二可数的定义。如果一个拓扑空间是第二可数的，那么就意味着这个拓扑空间中的任意开子集可以用给定的一组可数子集的元素之并来表示。
总结一下，本章中最重要的定义莫过于同胚和豪斯多夫空间，请务必熟悉。
