Srednicki §26 红外发散

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第20节在六维 $\varphi^3$ 理论中算出的高能振幅含有 $\ln(s/m^2)$ ；这个对数在固定碰撞能量、质量趋于零时越来越大。大圈动量引起的发散已经经过重整化，这个小质量极限中的问题提示我们，还应检查所算的“两个粒子散射”与实验事件之间的对应。如果探测器把两个几乎同向的粒子记录成一个，精确两粒子末态的截面就没有包含所有能给出同一读数的过程。本节从这种有限分辨率出发，计算遗漏的真实分裂，并将它与虚圈修正相比较。为控制共线区域的积分，质量 $m$ 先保留非零，最后再考察小质量极限。

大对数与未分辨的粒子

先回到 $s,|t|,|u|\gg m^2$ 且 $t/s,u/s$ 固定的高能区域。此时第20节三个通道中的对数可以分成共同的质量对数和固定散射角的部分，振幅因而写成

\begin{gathered} \mathcal T=\mathcal T_0 \left[1-\frac{11\alpha}{12}L+O(\alpha m^0)+O(\alpha^2)\right],\\ \mathcal T_0=-g^2\left(\frac1s+\frac1t+\frac1u\right), \qquad L=\ln\frac{s}{m^2},\qquad \alpha=\frac{g^2}{(4\pi)^3}. \end{gathered} \tag{26.1}

例如，第20节的 $L_t$ 可写成 $L+\ln(|t|/s)$ ，而 $L_s=L-i\pi$ 。固定角比值的对数以及 $i\pi$ 在 $m\to0$ 时均有限，属于 $O(m^0)$ 。这个记号汇集了不含发散质量对数的部分，其中的有限项仍可在需要时保留。重组各通道的对数时，仍须沿用第20节已经确定的物理分支。

这种质量极限也影响了对外态的理解。第5节隔离单粒子态时，曾使用单粒子与多粒子连续谱之间的间隔；质量趋于零后，几个同向粒子的总不变质量也可以趋于零，原来的隔离条件便失去保障。对应到测量，能量很低的粒子可能不被记录，夹角很小的两个粒子也可能合成一个读数。前者称为软（soft）区域，后者称为共线（collinear）区域。初态中若还有未识别的粒子，也应根据实际制备方式把它们计入。

为了先把末态分辨率说清楚，固定初态 $a$ ，用对相同粒子置换对称的函数 $F_n$ 表示探测器对 $n$ 粒子末态的选择。对所有接受的末态求和，事件截面便有如下形式：

\sigma[F]=\frac1{\mathcal F_a} \sum_n\frac1{n!}\int d\Phi_n\, F_n(k_1,\ldots,k_n)|\mathcal T_{na}|^2. \tag{26.2}

这里 $d\Phi_n$ 是带标签的相空间， $\mathcal F_a$ 是初态通量； $F_n=0$ 表示剔除事件， $F_n=1$ 表示接受事件。不同粒子数的末态相互正交，即使仪器给出同一读数，它们对截面的贡献仍应按概率相加。对于同一个末态，各幅费曼图则共同构成它的振幅，要先相加振幅再取模方。把产生同一读数的未分辨末态都纳入求和，所得截面称为包容截面（inclusive cross section）。

本节取两个彼此分离的硬方向，并规定：若一对子动量的夹角 $\theta<\delta$ ，就将它们的空间动量合并，计入同一个硬动量区间。这个区间应容纳小的共线反冲，才能在共线近似下提出公共的硬相空间。提出这一公共部分后，将未分辨末态的概率和记为 $|\mathcal T|_{\rm obs}^2$ ，便有

|\mathcal T|_{\rm obs}^2\,d\widetilde{\bar k} =|\mathcal T|^2\,d\widetilde{\bar k} +\frac12|\mathcal T_{\rm split}|^2\,d\widetilde k_1d\widetilde k_2+\cdots. \tag{26.3}

式中省写了其他末态的公共测度、通量和总delta函数，第二项在未分辨区域内积分。两子粒子相同，完整的带标签积分会把同一个无序对子计数两次，因此出现 $1/2$ ；顶点中的收缩阶乘已经包含在三价费曼规则内。

分裂振幅和红外幂计数

现在计算第二项中的分裂振幅。图26a在原来的一条出射硬腿上接入一个三价顶点，原来的外线变成一条内部传播子。把这个传播子和新增顶点乘到硬过程图块上，得到

i\mathcal T_{\rm split} =(i\mathcal T_{\rm hard}) \frac{-i}{k_{\rm pair}^2+m^2-i0}(ig), \qquad \mathcal T_{\rm split} =\frac{g}{k_{\rm pair}^2+m^2-i0}\mathcal T_{\rm hard}. \tag{26.4}

其中 $k_{\rm pair}=k_1+k_2$ ，两条子腿分别满足 $k_i^2=-m^2$ 。上式直接给出这一指定图块的费曼因子。当两条子腿趋于共线、其他硬方向仍彼此分离时，新增传播子接近质量壳，产生领先增强；此时硬图块中对离壳量的依赖可按共线极限展开，领先项就用原来的在壳振幅表示。

一条出射腿的共线分裂。灰圆表示硬过程的图之和。内部总动量 $k_{\rm pair}$ 流入显式顶点，再分成 $k_1,k_2$ ；箭头表示动量方向。

先令质量为零，以便找出增强可能出现在哪些区域。两个正能量动量的和满足

k_{\rm pair}^2 =-2\omega_1\omega_2(1-\cos\theta) =-4\omega_1\omega_2\sin^2\frac\theta2. \tag{26.5}

只要一个粒子的能量很小，或者两个动量的夹角很小，这个分母的绝对值就会减小。是否真的产生发散，还取决于相空间在这些区域内的体积。在一般 $d>2$ 维时空中，单粒子测度的径向部分正比于 $\omega^{d-3}d\omega$ ，两个方向的相对极角又给出 $\sin^{d-3}\theta\,d\theta$ 。将这些因子除以传播子平方，并在小角度处展开，得到局部幂次：

\frac{d\widetilde k_1d\widetilde k_2}{(k_{\rm pair}^2)^2} \ \sim\ \omega_1^{d-5}d\omega_1\, \omega_2^{d-5}d\omega_2\, \theta^{d-7}d\theta. \tag{26.6}

因为 $\int_0^\epsilon y^pdy$ 仅在 $p>-1$ 时收敛，软能量下限在 $d\le4$ 时发散，共线角下限则在 $d\le6$ 时发散。因此，对本节的六维模型，纯软区域仍可积，留下的是共线对数。下面将以探测器的小角锥为积分区域，求出这一对数的系数。

在逐腿计算之前，还需说明同一末态中不同发射图的干涉怎样处理。设 $q$ 为额外出射的软动量， $p_i$ 为原来正能量的物理硬动量，并以 $\eta_i=+1$ 表示原出腿、 $\eta_i=-1$ 表示原入腿。外腿旁的内部动量为 $p_i+\eta_iq$ ，其分母满足

(p_i+\eta_iq)^2+m^2=2\eta_i p_iq-m^2.

先固定非零夹角，在 $m\ll\omega_q\ll Q_{\rm hard}$ 的质量领先区域保留软动量的一次项，便得到各外腿的软因子。它们产生的是同一个额外粒子末态，因此应相干相加：

\mathcal T_{n+1}(q) =g\mathcal T_n\sum_i\frac{\eta_i}{2p_iq} +O(\omega_q^0). \tag{26.7}

入腿的相对号来自 $p_i-q$ 的分母。对于硬过程内部的线，其虚度仍为 $O(Q_{\rm hard}^2)$ ，故没有同阶的 $1/\omega_q$ 增强；这里假定硬过程没有同时接近另一共振或前向奇异区。将所有外腿项相加后，对同一个 $q$ 末态取模方，得到

g^2|\mathcal T_n|^2 \left[ \sum_i\frac1{4(p_iq)^2} +2\sum_{i<j}\frac{\eta_i\eta_j}{4(p_iq)(p_jq)} \right]. \tag{26.8}

其中第二项是不同外腿发射之间的干涉，探测器未分辨 $q$ 并不会使它消失。不过，在 $q$ 只与一条硬腿共线的区域，平方项的角积分为 $\theta^{d-7}d\theta$ ，它与另一固定硬方向的交叉项则为 $\theta^{d-5}d\theta$ 。六维时，两者分别成为 $d\theta/\theta$ 和 $\theta\,d\theta$ 。前者产生共线对数，后者在小锥内可积，并受到小锥面积的抑制。因此，彼此不重叠的小锥所给出的领先对数可以逐腿相加，干涉留在相应的有限修正中。

合并动量与六维测度

接下来把分裂后的相空间写成原来硬腿测度乘上一项局部修正。为此，在分裂项中插入一份空间单位分辨式：

1=\int d\widetilde{\bar k}\, (2\pi)^{d-1}2\bar\omega_{\mathbf k}\, \delta^{d-1}(\mathbf k_1+\mathbf k_2-\mathbf k), \qquad \bar\omega_{\mathbf k}=\sqrt{\mathbf k^2+m^2}. \tag{26.9}

这条恒等式只规定合并后的空间动量。它使用参考硬粒子的在壳能量 $\bar\omega_{\mathbf k}$ ，而真实两子粒子的能量应相加，所以这里有两个不同的四动量：

\bar k=(\bar\omega_{\mathbf k},\mathbf k),\qquad k_{\rm pair}=(\omega_1+\omega_2,\mathbf k),\qquad -k_{\rm pair}^2=M_{\rm pair}^2\ge4m^2. \tag{26.10}

传播子中使用真实的离壳总动量 $k_{\rm pair}$ ，硬相空间中的在壳参考动量 $\bar k$ 则在共线展开时再引入。这个区别也可以通过精确的全相空间分解来说明：先把两子粒子当成质量为 $M_{\rm pair}$ 的一条合并腿，再对其不变质量积分，写成

d\Phi_{n+1}(P;k_1,k_2,\ldots) =\int\frac{dM_{\rm pair}^2}{2\pi}\, d\Phi_n(P;k_{\rm pair},\ldots) d\Phi_2(k_{\rm pair};k_1,k_2). \tag{26.11}

从右侧恢复左侧时，先用两体空间delta函数固定合并动量，再做 $M_{\rm pair}^2$ 积分。令 $E_M=\sqrt{\mathbf k^2+M_{\rm pair}^2}$ ，便有 $dM_{\rm pair}^2=2E_MdE_M$ ，正好消去合并腿测度中的 $1/(2E_M)$ 。同时， $dM_{\rm pair}^2/(2\pi)$ 里余下的 $1/(2\pi)$ 与两体能量delta前的 $2\pi$ 相消。最后， $\delta(E_M-\omega_1-\omega_2)$ 将硬过程的能量delta变回原来的总能量delta，其余测度也就组成了左侧的完整相空间。

在共线区域内，硬振幅和测量权重可以按 $M_{\rm pair}^2/s$ 展开。提出它们的领先项后，再用式（26.9）分离公共硬腿测度，得到单腿修正：

\mathcal P_{\rm split} =\frac{g^2}{2}\int_{\theta<\delta} d\widetilde k_1d\widetilde k_2\, \frac{(2\pi)^5\,2\bar\omega_{\mathbf k}\, \delta^5(\mathbf k_1+\mathbf k_2-\mathbf k)} {(k_{\rm pair}^2+m^2)^2}. \tag{26.12}

从这里起取 $d=6$ 。对于 $m>0$ 的两粒子末态，分母始终不穿零，故这一实积分中可略去费曼无穷小量。额外相空间连同插入因子的质量维数为 $d-2$ ，而 $g^2/(k_{\rm pair}^2+m^2)^2$ 的维数为 $2-d$ ，两者相消，说明 $\mathcal P_{\rm split}$ 是无量纲的相对修正。

先用空间delta函数完成 $\mathbf k_2$ 积分，在被积函数中将它换成 $\mathbf k-\mathbf k_1$ 。两份测度中的 $1/(2\omega_i)$ 、插入因子 $2\bar\omega$ 和全同粒子因子 $1/2$ 合起来给出 $\bar\omega/(4\omega_1\omega_2)$ 。以 $\mathbf k$ 为极轴，再记 $r_1=|\mathbf k_1|$ 、 $\beta=\angle(\mathbf k_1,\mathbf k)$ ，剩下的积分便为

\mathcal P_{\rm split} =\frac{g^2\Omega_4}{4(2\pi)^5} \int\frac{\bar\omega}{\omega_1\omega_2} \frac{r_1^4\,dr_1\,\sin^3\beta\,d\beta} {(k_{\rm pair}^2+m^2)^2}, \qquad \Omega_4=2\pi^2. \tag{26.13}

这里 $\Omega_4$ 表示横向四维空间中 $S^3$ 的面积；上一节的 $\Omega_5$ 则是五维动量空间的全角面积。

局部分裂的 $1/2$ 也可从完整三粒子末态的 $1/3!$ 得到。三个带标签末态共有3种近共线对子，在互不重叠的共线区内合给 $3/3!=1/2$ 。若改为从原来的两条硬腿出发计数，同一个因子写成

\frac1{2!}\times 2\times\frac1{2!}=\frac12. \tag{26.14}

第一个因子属于Born两粒子末态，中间的2选择哪条硬腿发生分裂，最后一个因子除去子粒子对的重复计数。由此，完整三粒子相空间与逐硬腿的局部分解给出了相同的物理计数。

小角几何与质量截断

要把剩下的径向和极角积分改写成子粒子的动量份额，先理清动量三角形。令 $K=|\mathbf k|$ 、 $\gamma=\angle(\mathbf k_2,\mathbf k)$ ，两子动量位于合并方向的两侧，因而 $\theta=\beta+\gamma$ 。对这个三角形使用正弦定理，就有

r_1=K\frac{\sin\gamma}{\sin\theta},\qquad r_2=K\frac{\sin\beta}{\sin\theta}. \tag{26.15}

取 $\beta=x\theta$ 、 $\gamma=(1-x)\theta$ ，其中 $0<x<1$ 、 $0<\theta<\delta$ 。将正弦函数按小角展开后， $x$ 也成为第二子粒子所占的动量份额：

r_1=(1-x)K[1+O(\theta^2)],\qquad r_2=xK[1+O(\theta^2)],\qquad \sin\beta=x\theta[1+O(\theta^2)]. \tag{26.16}

从 $(r_1,\beta)$ 换到 $(x,\theta)$ 时，径向动量和极角都依赖两个新变量，因此要同时计算二维变量代换的雅可比。先对精确正弦关系求导，得到行列式

\begin{aligned} \det\frac{\partial(r_1,\beta)}{\partial(x,\theta)} &=x\,\partial_xr_1-\theta\,\partial_\theta r_1\\ &=-\frac{K\theta}{\sin^2\theta} \bigl[\cos\gamma\sin\theta-\sin\gamma\cos\theta\bigr]\\ &=-\frac{K\theta\sin(x\theta)}{\sin^2\theta}. \end{aligned} \tag{26.17}

取其绝对值并在小角处展开，积分所需的雅可比为 $Kx[1+O(\theta^2)]$ 。将它连同式（26.16）一起代入测度，并在传播子分母以外保留领先质量项，各个因子依次合成为

\begin{aligned} \frac{\bar\omega}{\omega_1\omega_2} r_1^4\sin^3\beta\,dr_1\,d\beta &\simeq \frac{K}{x(1-x)K^2}(1-x)^4K^4 x^3\theta^3(Kx)\,dx\,d\theta\\ &=K^4x^3(1-x)^3\theta^3\,dx\,d\theta. \end{aligned} \tag{26.18}

其中最后一份 $x$ 来自变量代换的雅可比，它参与决定后面能量份额积分的权重。

传播子接近质量壳时，质量项会与小角项竞争，因而需要保留。为明确它们各自的来源，先将分母写成精确的实表达式：

D_{\rm pair}:=k_{\rm pair}^2+m^2 =-m^2-2(\omega_1\omega_2-r_1r_2\cos\theta). \tag{26.19}

在固定 $x\in(0,1)$ 时，分别使用 $\omega_i=r_i+m^2/(2r_i)+\cdots$ 和 $1-\cos\theta=\theta^2/2+\cdots$ ，保留最先出现的质量项与小角项，得到

D_{\rm pair} =-r_1r_2\theta^2 -m^2\left(1+\frac{r_1}{r_2}+\frac{r_2}{r_1}\right)+\cdots. \tag{26.20}

不含径向比值的 $-m^2$ 由两子粒子的质量壳条件及分母外加的一份 $m^2$ 合成，另外两项则来自能量乘积的展开。再利用动量份额之间的恒等式

1+\frac{1-x}{x}+\frac{x}{1-x} =\frac{1-x+x^2}{x(1-x)}

把这三个质量项合并，并提出与角度项相同的公共因子，便得到

D_{\rm pair}\simeq-x(1-x)K^2 \left[\theta^2+\frac{m^2}{K^2}f(x)\right], \qquad f(x)=\frac{1-x+x^2}{x^2(1-x)^2}. \tag{26.21}

以等分动量 $x=1/2$ 、 $\theta=0$ 为例，精确分母为 $-3m^2$ ，这个展开式也给出 $-3m^2$ 。质量项因此使传播子分母保持非零，其影响主要集中在 $\theta^2\lesssim(m^2/K^2)f(x)$ 的区域，正好截住了无质量情形的共线增强。

现在将式（26.18）除以传播子分母平方，公共的 $K^4x^2(1-x)^2$ 相消，动量份额权重只留下 $x(1-x)$ 。六维的整体归一化也可用圈展开参数表示，因为

\frac{g^2\Omega_4}{4(2\pi)^5} =\frac{g^2}{(4\pi)^3}=\alpha,

单腿贡献于是化为一个动量份额积分和一个小角积分：

\mathcal P_{\rm split} \simeq\alpha\int_0^1dx\,x(1-x) \int_0^\delta\frac{\theta^3d\theta} {\left[\theta^2+(m^2/K^2)f(x)\right]^2}. \tag{26.22}

这一步所用的质量与角分辨率层级是

\frac{m^2}{K^2}\ll\delta^2\ll1. \tag{26.23}

小角展开控制几何和硬过程图块的误差， $m/(K\delta)$ 则衡量质量截断区域相对于整个未分辨锥的大小。满足这一层级后，可以依次完成角度和动量份额积分，并保留对数以外的有限常数。

角积分、有限常数与端点

先固定 $x$ ，记 $a=(m^2/K^2)f(x)>0$ 。作代换 $y=\theta^2$ ，再将分子分解为 $y=(y+a)-a$ ，角积分就成为两个初等积分：

\begin{aligned} I_\theta(a,\delta) &=\frac12\int_0^{\delta^2}\frac{y\,dy}{(y+a)^2}\\ &=\frac12\left[ \ln\left(1+\frac{\delta^2}{a}\right) -\frac{\delta^2}{\delta^2+a}\right]. \end{aligned} \tag{26.24}

第二项来自 $-a/(y+a)^2$ 的积分。在 $a/\delta^2\to0$ 时，它趋于有限常数 $-1/2$ ，而第一项给出质量与角分辨率的对数，于是

I_\theta =\frac12\ln\frac{\delta^2K^2}{m^2} -\frac12\ln f(x)-\frac12+o(1). \tag{26.25}

角积分留下了对数及一个有限项。将它们一起对动量份额积分，才能确定单腿修正中的有限常数。

令 $w=x(1-x)$ ，把剩下的动量份额积分分解为三个矩：

\int_0^1w\,dx=\frac16,\qquad \int_0^1w\ln w\,dx=-\frac5{18},\qquad \int_0^1w\ln(1-w)\,dx =-\frac{17}{18}+\frac{\pi}{2\sqrt3}. \tag{26.26}

第二式先用 $x\leftrightarrow1-x$ 将两份对数合并，再由 $\int_0^1x^n\ln x\,dx=-1/(n+1)^2$ 得到 $2(-1/4+1/9)=-5/18$ 。第三式已经在第14节的式（14.44）中求出：本节的 $w$ 与当时的费曼参数组合 $x(1-x)$ 相同，因而直接代入那个积分结果即可。最后，由 $f=(1-w)/w^2$ 把两种对数合起来，有

J_f:=\int_0^1w\ln f\,dx =-\frac{17}{18}+\frac{\pi}{2\sqrt3} -2\left(-\frac5{18}\right) =-\frac7{18}+\frac{\pi}{2\sqrt3}. \tag{26.27}

将这个对数矩代回角积分后的表达式，再合并不含对数的部分，得到

\begin{aligned} \int_0^1wI_\theta\,dx &=\frac1{12}\ln\frac{\delta^2K^2}{m^2} -\frac12J_f-\frac1{12}+o(1)\\ &=\frac1{12}\left[\ln\frac{\delta^2K^2}{m^2}+c\right]+o(1),\\ c&=-1-6J_f=\frac43-\sqrt3\pi\simeq-4.10806. \end{aligned} \tag{26.28}

乘回整体因子 $\alpha$ ，一条硬腿的未分辨分裂概率修正就是

\mathcal P_{\rm split} =\frac\alpha{12} \left[\ln\frac{\delta^2K^2}{m^2}+c\right] +\text{小角与小质量的高阶项}. \tag{26.29}

其中 $c$ 取两位小数时为 $-4.11$ 。

上面先使用了式（26.25），再对 $x$ 积分，因此还要看渐近式在端点附近的误差。当 $x$ 接近0或1时， $f(x)$ 发散，条件 $a\ll\delta^2$ 不再对整个区间一致成立。令 $r=m^2/(K^2\delta^2)$ ，将精确角积分与式（26.25）前三项相减，余项可直接写成

E_r(x)=\frac12\left[ \ln(1+rf(x))+\frac{rf(x)}{1+rf(x)} \right]\ge0. \tag{26.30}

在 $x\le1/2$ 的半区间内，有 $w=O(x)$ 和 $f=O(x^{-2})$ 。把积分在 $x=\sqrt r$ 处分开：第一段作 $x=\sqrt r\,u$ 代换， $\int wE_rdx$ 由 $r\int_0^1u[1+\ln(1+u^{-2})]du$ 控制，因该无量纲积分收敛而为 $O(r)$ ；第二段使用 $\ln(1+y)\le y$ 及 $y/(1+y)\le y$ ，得到 $O(r\int_{\sqrt r}^{1/2}dx/x)$ 。另一端由对称性给出相同估计，两端合起来便有

\int_0^1wE_r\,dx=O(r|\ln r|)\longrightarrow0. \tag{26.31}

因此，固定 $x$ 得到的小质量展开在加权积分后仍保留正确的对数和有限常数。

分母外的能量展开也应先在 $\eta<x<1-\eta$ 上使用，再让 $\eta$ 趋于零。对于 $r_i=O(m)$ 的极端软端点，要保留精确能量 $\omega_i=\sqrt{r_i^2+m^2}$ 。例如， $x\lesssim m/K$ 时有 $r_1\sim K$ 、 $\omega_2\sim m$ ，而 $\omega_2-r_2$ 仍为 $m$ 的量级，所以 $|D_{\rm pair}|$ 至少为 $Km$ 的量级。与此同时，精确测度中的 $\sin^3(x\theta)$ 和雅可比分别给出 $x^3\theta^3$ 和 $Kx$ ，足以将这一窄区间的贡献压低到

\frac{K^3}{m^3}\int_0^{m/K}x^4dx \int_0^\delta\theta^3d\theta =O\!\left(\frac{m^2}{K^2}\delta^4\right)

所示的量级。另一端的估计相同，因此这两个窄区间都不改变有限常数，也不产生额外的纯软对数。

也可以数值比较两种局部积分。取 $K=1$ ，从式（26.13）使用精确正弦几何和能量得到 $I_{\rm geom}=\mathcal P_{\rm split}/\alpha$ ；用式（26.24）再对 $x$ 积分得到共线近似 $I_{\rm coll}$ ：

$\delta$	$m$	$I_{\rm geom}$	$I_{\rm coll}$	两者之差
$0.1$	$10^{-4}$	$0.8090226734$	$0.8089671307$	$5.5543\times10^{-5}$
$0.03$	$3\times10^{-5}$	$0.8089721288$	$0.8089671307$	$4.9981\times10^{-6}$
$0.03$	$3\times10^{-6}$	$1.1927231780$	$1.1927181779$	$5.0000\times10^{-6}$

前两行保持 $m/(K\delta)=10^{-3}$ ，差值之比与 $\delta^2$ 之比相符；后两行固定角分辨率而减小质量，小角误差基本不变。这些结果对应已提出公共硬过程的局部分裂积分。

入射配置与四条腿的求和

两个出射硬方向彼此分离，因此另一条出射腿也给出同样的式（26.29）。若还要为两条入射腿各加上一份相同贡献，就须指定初态制备：末态探测器怎样合并读数，与束流中包含多少额外入射粒子，是事件概率中的两种不同权重。

可在有限体积内用归一化初态密度矩阵表示制备。若 $\rho_I=\sum_a w_a|a\rangle\langle a|$ 是非相干混合，满足 $w_a\ge0$ 和 $\sum_aw_a=1$ ，接受事件的概率为

\mathcal P(F|\rho_I) =\sum_f F(f)\langle f|S\rho_I S^\dagger|f\rangle =\sum_{a,f}w_aF(f)|S_{fa}|^2. \tag{26.32}

末态求和由 $F$ 确定，初态的混合则由 $w_a$ 确定。若 $\rho_I$ 固定为纯两粒子态，求和中便没有额外初粒子的吸收通道；若初态含有非对角的相干项，上式还须保留相应干涉。

可以采用一种初末态对称的规定：将每个入射、出射硬方向都视为未分辨粒子簇，对互为时间反演的共线配置赋予相同的局部相空间权重。提出同一硬过程的归一化和通量后，每个簇的附加权重取为

\frac12d\widetilde k_1d\widetilde k_2\, (2\pi)^5\,2\bar\omega\, \delta^5(\mathbf k_1+\mathbf k_2-\mathbf k). \tag{26.33}

在有限体积和有限硬动量区间内，这给出一种可归一化的正混合制备权重。与同一制备下的Born参考率作比时，共同归一化因子一起提出。若实际两粒子簇的权重随 $x$ 变化，则应将它乘回积分，所得结果也会相应改变。

对于实标量理论，时间反演使配对过程的平方矩阵元相等。两条共线入腿先融合，再进入硬过程图块，局部顶点与内部虚度仍给出 $g^2/(k_{\rm pair}^2+m^2)^2$ 。因此，配以式（26.33）的相同局部权重后，每条入腿的积分便等于一条出腿的积分。四条硬腿在相对 $O(\alpha)$ 各贡献一份，合起来得到

|\mathcal T|_{\rm obs}^2 =|\mathcal T|^2 \left[ 1+\frac{4\alpha}{12} \left(\ln\frac{\delta^2K^2}{m^2}+c\right)+O(\alpha^2) \right]. \tag{26.34}

若只指定末态分辨率，而初态仍固定为两个粒子，同一计算只包含两条出腿的未分辨分裂贡献。

真实分裂与虚圈的对数

有了真实分裂的概率修正，现在将它与原硬过程的虚圈修正合并。对式（26.1）取模方时，共同的实质量对数在振幅及其共轭中各出现一次，因而

|\mathcal T|^2 =|\mathcal T_0|^2 \left[1-\frac{11\alpha}{6}L +O(\alpha m^0)+O(\alpha^2)\right]. \tag{26.35}

真实分裂已经是相对 $O(\alpha)$ 的修正，其中的硬振幅只需保留 $\mathcal T_0$ ；若再乘一圈硬修正，就进入了 $O(\alpha^2)$ 。在两体质心系的领先质量阶， $K^2=s/4$ ，故真实分裂中的对数可以改写为

\ln\frac{\delta^2K^2}{m^2}+c =L+\ln\delta^2-\ln4+c. \tag{26.36}

有限组合 $-\ln4+c$ 可并入式（26.35）的其他有限项。按四腿规定将真实与虚圈贡献相加，并只保留同一弱耦合阶，两个大对数分别为

\begin{aligned} \frac{|\mathcal T|_{\rm obs}^2}{|\mathcal T_0|^2} &=1+\alpha\left[ -\frac{11}{6}L+\frac13L+\frac13\ln\delta^2+O(m^0) \right]+O(\alpha^2)\\ &=1-\alpha\left[ \frac32L+\frac13\ln\frac1{\delta^2}+O(m^0) \right]+O(\alpha^2). \end{aligned} \tag{26.37}

未分辨的真实分裂补回正的概率，抵消了虚圈的一部分负对数。如果只对两条出腿求和，质量对数的系数则为 $-11/6+2/12=-5/3$ ；它与四腿结果中的 $-3/2$ 分别对应不同的初态规定。

余下的 $\ln(1/\delta^2)$ 记录探测器的角分辨率。取更小的 $\delta$ ，就能识别并剔除夹角更小的额外粒子，接受为两簇事件的条件随之变严格，所以这一对数随分辨能力提高而增大。要继续使用一圈截断，除了小耦合本身，还须满足

\alpha\ll1,\qquad \alpha\left|\ln\frac{s}{m^2}\right|\ll1,\qquad \alpha\ln\frac1{\delta^2}\ll1. \tag{26.38}

当大对数使高阶项不再比领先项小，就需要将更高阶贡献纳入处理。另一方面，式（26.37）中仍有 $\tfrac32\ln(s/m^2)$ ，说明在当前耦合定义下，单靠修正事件计数尚不能得到有限的无质量极限。这个残项将引向下一节：继续检查耦合常数的重整化条件。

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