Srednicki §18 高阶修正与可重整化性

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在六维 $\varphi^3$ 理论中，一圈两点函数的发散由 $Z_\varphi,Z_m$ 吸收，三点函数的发散由 $Z_g$ 吸收，而四点及更多外腿的一圈1PI函数已经有限。把计算推进到更高阶以后，能否仍用有限种系数吸收全部发散，是接下来要解决的问题。如果逐阶调节有限个拉格朗日量系数，就能使每阶结果有限，这个理论便称为可重整化的（renormalizable）。最初漏掉的相互作用也可以补入，只要补入的种类有限，所需的独立参数便不会随计算阶数无限增加。若高阶计算不断要求新的独立局部项，则称为不可重整化理论。

这里考察的是微扰展开中每一阶的紫外发散。第14节已经用归一化条件确定了质量和场的含义，现在须进一步说明所需条件有多少种，以及怎样在含有发散子图的高阶图中使用它们。我们先按圈动量的幂次判断可能出现的发散，再考察其局部结构和子图减除。

从圈动量的幂次开始

先考虑一个具有一般无导数势的实标量场，取

\mathcal L =-\frac12Z_\varphi\partial_\mu\varphi\partial^\mu\varphi -\frac12Z_m m^2\varphi^2 -\sum_{n\ge3}\frac{Z_ng_n}{n!}\varphi^n . \tag{18.1}

每个 $Z$ 都无量纲， $n$ 价顶点的费曼规则为 $-iZ_ng_n$ 。本节把势项统一写成负号，因此与前面使用的正号立方相互作用比较时，应取 $g_3=-g$ 。真空项和线性反项仍由第9节的真空归一及无蝌蚪条件处理；这里先考察两点及更高点函数。

设一幅连通图有 $E$ 条外腿、 $I$ 条内线和 $L$ 个独立圈，其中 $n$ 价顶点有 $v_n$ 个，总顶点数为 $v=\sum_n v_n$ 。小写 $v_n$ 计数顶点，仍用大写 $V_n$ 表示1PI顶点函数。以下均从图权重中提出总动量守恒delta，并截去外传播子。这样，每个独立圈带来 $d$ 维积分，每条标量内线在大动量下给出两个逆动量幂。先固定各圈动量之间的比例，再将它们同时放大 $R$ 倍，径向积分就具有如下形式：

\int^\infty dR\,R^{dL-1-2I}. \qquad \omega(G)=dL-2I . \tag{18.2}

$\omega$ 称为表面发散度（superficial degree of divergence）。当 $\omega=0$ 时，径向积分可能出现对数发散；当 $\omega>0$ 时，则可能出现幂发散，所以把 $\omega\ge0$ 列为危险情形。“表面”二字指出了这一步计数的范围：它只考察全部圈动量按固定比例共同变大的区域，一部分动量远大于其余动量的区域还须另行检查。

为了从相互作用的形式直接判断这些危险图，可以把表面发散度改写成耦合的质量维数。第12节由动能项得到

[\varphi]=\frac{d-2}{2},\qquad [g_n]=d-\frac n2(d-2). \tag{18.3}

一个 $E$ 腿截肢图的维数，应与候选的 $E$ 价局部顶点相同。把该顶点的系数维数记为 $[g_E]=d-E(d-2)/2$ ；即使原模型没有实际的 $g_E$ 项，仍可用这一形式作维数比较。另一方面，将积分、传播子和各个耦合的维数相加，又得到

[\text{图}] =[g_E] =dL-2I+\sum_n v_n[g_n]. \tag{18.4}

从图的总维数中减去耦合所带的维数，便留下积分本身的表面发散度。因此有

\omega(G)=[g_E]-\sum_n v_n[g_n]. \tag{18.5}

这个关系也可以直接从图的连接方式推得。每条内线占两个顶点半边，每条外腿占一个，故 $\sum_n nv_n=2I+E$ 。在连通图中任选一棵生成树，它用 $v-1$ 条边连起全部顶点；其余每条内线各提供一个独立圈，因而 $L=I-v+1$ 。将这两个恒等式代入表面发散度，逐项整理为

\begin{aligned} \omega &=d(I-v+1)-2I\\ &=d+(d-2)I-d\sum_n v_n\\ &=d-\frac{d-2}{2}E -\sum_n v_n\left[d-\frac n2(d-2)\right]. \end{aligned} \tag{18.6}

因此，式（18.5）反映的是图本身的连接关系，形式上的接触顶点只用于维数比较，无须假定它已经出现在原拉格朗日量中。

若某个顶点含有 $r_v$ 个导数，分子最多会再带来 $r_v$ 个大动量幂，就须相应修改计数及耦合维数：

\omega=dL-2I+\sum_v r_v,\qquad [g_{n,r}]=d-\frac n2(d-2)-r . \tag{18.7}

后面出现的 $Ap^2$ 二价反项就是一个例子。具体的张量收缩还可能使分子中的领先项相消，因此按最高动量幂算得的发散度仍只是危险程度的上界。

负维耦合为什么不断要求新参数

式（18.5）把高阶图的危险程度与耦合维数联系了起来。若某个独立耦合具有负维数，增加这种顶点就会增大 $\omega$ ，使外腿很多、原先会收敛的图也可能产生局部发散。对于无导数标量势，这个条件等价于

[g_n]<0 \quad\Longleftrightarrow\quad n>\frac{2d}{d-2},\qquad d>2. \tag{18.8}

据此，四维的非负维势耦合至多到 $\varphi^4$ ，六维至多到 $\varphi^3$ 。上式除以了 $d-2$ ，所以二维须直接回到式（18.3）：此时所有 $[g_n]=2$ ，维数判据不再给出有限的 $n$ 上界，讨论二维多项式理论时应先给定有限的最高幂次。

为了看清负维耦合怎样要求新参数，考虑一个具体的四维例子。取相互作用 $-g_6\varphi^6/6!$ ，其耦合维数为 $[g_6]=-2$ 。将两个六价顶点用两条内线相连，便留下八条外腿，所得一圈图满足

I=2,\qquad v_6=2,\qquad E=8,\qquad L=1,\qquad\omega=0. \tag{18.9}

现在求出这个图的发散系数。八条带标签的外腿分成两组，每组四条；交换两组得到同一张图，故分组数为 $\binom84/2=35$ 。对一个固定分组，两条平行内线可以互换，对称因子为2。用收缩数也能得到同一权重：把两个分组分派给展开中的两个顶点有 $2!$ 种方式，每组四个外场占据一个六价顶点有 $6!/2!$ 种方式，剩下的两对内场有 $2!$ 种连接，而展开分母是 $2!(6!)^2$ 。于是每个分组的系数为

\frac{2!\,(6!/2!)^2\,2!}{2!(6!)^2}=\frac12. \tag{18.10}

为抽出发散的局部部分，取 $m>0$ 并将外动量置零。两顶点与两条内线的相位相乘为 $(-ig_6)^2(1/i)^2=g_6^2$ ，Wick旋转再带来 $i$ 。采用欧氏球形截断 $q^2\le\Lambda^2$ ，先将积分化为径向形式：

\begin{aligned} I_\Lambda &=\int_{q^2\le\Lambda^2}\frac{d^4q}{(2\pi)^4} \frac1{(q^2+m^2)^2}\\ &=\frac1{8\pi^2}\int_0^\Lambda \frac{q^3\,dq}{(q^2+m^2)^2} =\frac1{16\pi^2}\int_0^{\Lambda^2} \frac{t\,dt}{(t+m^2)^2}. \end{aligned} \tag{18.11}

第二行使用四维单位球面的面积 $2\pi^2$ ，再以 $t=q^2$ 换元。将分子拆成 $t=(t+m^2)-m^2$ 后，原函数为 $\ln(t+m^2)+m^2/(t+m^2)$ ，代入两端便得

I_\Lambda =\frac1{16\pi^2} \left[ \ln\left(1+\frac{\Lambda^2}{m^2}\right) +\frac{m^2}{\Lambda^2+m^2}-1 \right]. \tag{18.12}

把积分与图数、单图权重相乘，八点1PI函数在这一阶含有

V_8^{\text{这一圈}} =\frac{35g_6^2}{2}I_\Lambda =\frac{35g_6^2}{32\pi^2} \ln\frac{\Lambda^2}{m^2}+O(\Lambda^0). \tag{18.13}

这里出现了非零的八腿局部发散，调节两腿、四腿或六腿项都无法吸收它，因而须加入 $-\delta g_8\varphi^8/8!$ 。新项的树级权重为 $-i\delta g_8$ ，所以 $\delta g_8$ 的发散部分应取上述对数项的正系数，两者相加才会抵消。维数也一致： $[g_6^2]=-4=[g_8]$ 。

加入八价项以后，将一个六价点与一个八价点用两条线相连，又会留下十条外腿，圈动量积分仍为同一个对数积分。一般地，六价点与 $2r$ 价点产生 $2r+2$ 腿的局部项，普通多项式微扰便依次要求 $\varphi^8,\varphi^{10},\ldots$ 。每个新系数都需要新的归一条件，独立参数的种类因而随阶数增加，这正是此例不可重整化的原因。

这里计数的是独立局部相互作用。某些算符组合可以通过场变量的改变移去，例如将自由场换成 $\varphi+a\varphi^2/\Lambda$ ，保留 $1/\Lambda$ 的一次项，有

\begin{aligned} \delta\mathcal L_0 &=-\frac{2a}{\Lambda}\varphi(\partial\varphi)^2 -\frac{am^2}{\Lambda}\varphi^3\\ &=\frac a\Lambda\varphi^2(\partial^2-m^2)\varphi -\partial_\mu\!\left(\frac a\Lambda\varphi^2\partial^\mu\varphi\right). \end{aligned}

右边把这组项写成最低阶场方程项与全导数。按这种局部换元约化算符基后，再计数剩余的独立系数。不可重整化理论在截断尺度以下仍可使用：将维数为 $-r$ 的系数写成 $c_r/\Lambda^r$ ，它在特征动量 $Q$ 处带来 $c_r(Q/\Lambda)^r$ 。当 $Q/\Lambda$ 足够小、系数大小受控时，便可按给定精度保留有限种项。第29节将沿这一思路发展有效场论。

非负维耦合与局部反项

再看所有非零独立耦合都满足 $[g_n]\ge0$ 的情形。式（18.5）给出

\omega(G)\le[g_E]=d-\frac{E(d-2)}2. \tag{18.14}

在 $d>2$ 时，外腿足够多的图便没有整体紫外危险。对于余下的图，还须求出发散部分怎样依赖外动量，才能判断拉格朗日量中的哪些项能吸收它。局部反项在动量空间只能是有限阶多项式，所以下一步要说明，紫外发散也具有这种形式。

先考虑没有子图发散的图，在欧氏域取所有质量为正，把外动量合记为 $p$ ，被积函数记为 $f(q,p)$ 。对外动量求导会改善传播子的高动量衰减：每求一次导数至少改善一幂，例如

\frac{\partial}{\partial p_\mu} \frac1{(q+p)^2+m^2} =-\frac{2(q+p)_\mu}{[(q+p)^2+m^2]^2} =O(|q|^{-3}). \tag{18.15}

因此，可以用外动量的Taylor展开分离发散部分。若 $\omega$ 为非负整数，沿直线 $tp$ 应用一元Taylor公式，得到

\begin{aligned} f(q,p)&=\sum_{r=0}^{\omega} \frac1{r!} \left.\left(p\cdot\frac{\partial}{\partial p'}\right)^r f(q,p')\right|_{p'=0} +\mathcal R_{\omega+1}(q,p),\\ \mathcal R_{\omega+1}(q,p) &=\frac1{\omega!}\int_0^1dt\,(1-t)^\omega \left. \left(p\cdot\frac{\partial}{\partial p'}\right)^{\omega+1} f(q,p')\right|_{p'=tp}. \end{aligned} \tag{18.16}

式中 $p$ 只作外部系数，导数先作用于 $p'$ ，再取所列的值。余项含有 $\omega+1$ 次导数，整体UV次数至多为 $-1$ ，所以整体发散只能来自前面有限个Taylor系数，也就是外动量的局部多项式。对单圈积分，这已控制全部紫外端点；多圈图中只让部分动量变大的区域，将在下面的子图减除中处理。

二点标量函数只依赖 $p^2$ 。若其危险次数至多为2，洛伦兹不变性就把局部多项式限制为

c_0+c_1p^2 . \tag{18.17}

奇次动量项需要一个固定向量才能缩并成标量，而这里没有这样的向量。上述两项因此正好对应 $Bm^2+Ap^2$ ，其中 $[Bm^2]=2$ 、 $[A]=0$ 。三点或四点图若只有 $\omega=0$ ，则需要常数顶点反项；即使某个允许的相互作用起初设为零，只要没有对称性保护，圈图产生的相应常数项仍须补入拉格朗日量。

在六维纯 $\varphi^3$ 模型中， $[g]=0$ ，式（18.5）成为 $\omega=6-2E$ 。四维 $\varphi^3+\varphi^4$ 模型则有 $\omega=4-E-v_3$ ，因为 $[g_3]=1$ 、 $[g_4]=0$ 。结合局部多项式的阶数限制，可列出以下候选反项。

局部部分	四维标量模型	六维立方模型
真空与一点	常数、 $\varphi$	常数、 $\varphi$
两点	$\varphi^2$ 、 $\partial_\mu\varphi\partial^\mu\varphi$	同左
三点	$\varphi^3$	$\varphi^3$
四点	$\varphi^4$	无整体四点反项
更多外腿	无新的非负维结构	无新的非负维结构

一点函数只有零总动量，含导数的线性项是全导数，因而不再提供独立系数；真空常数则参与真空归一。若保留某种对称性，还须按该对称性筛选表中各项。对于多场模型，允许的指标收缩和动能混合也要一并列入。因此这里所说的有限反项，是有限个独立局部结构，而不是给每一种外腿数仅配一个常数。

整体收敛，子图仍可发散

现在回到表面计数尚未考察的动量区域。图18a是第17节已经求出的箱图，它有 $I=4,L=1$ ，在六维 $\omega=-2$ ，单圈积分有限。

图18a：四腿箱图。外部短线表示截肢外腿；四条内线和四个三价点围成一个圈。

若在箱图的一条边上插入两点泡图（bubble），就得到图18b左侧的两圈图。整幅图有六个三价点、七条内线和两个圈，故整体表面发散度为

\omega(G)=6\times2-2\times7=-2. \tag{18.18}

然而，上方泡图单独含两条内线和一个圈，其 $\omega(\gamma)=6-4=2$ 。保持外面箱图的圈动量不动，只让泡图的内部动量变大，就会遇到第14节已经求出的两点发散。全部动量共同缩放所得到的负次数，没有控制到这一子区域；需要把泡图与相应的两点反项放在一起处理。

图18b：在箱图同一条边上分别插入两点泡图和二价抵消项。两图必须相加。记流经该边的动量为 $p$ ，叉号代表 $-i(Ap^2+Bm^2)$ 。图中箭头标明 $p$ 的方向， $a,b$ 标明泡图与外圈的接入点。

设未修正的传播子为 $\widetilde\Delta_0(p)=1/(p^2+m^2-i0)$ 。泡图的截肢部分是 $i\Pi_{\rm loop}(p^2)$ ，右图叉号给出 $-i(Ap^2+Bm^2)$ 。两者连接的是同一段传播子，因此应在同一个调节下先将两图相加：

\begin{aligned} &\frac{\widetilde\Delta_0}{i}\, i\Pi_{\rm loop}\, \frac{\widetilde\Delta_0}{i} +\frac{\widetilde\Delta_0}{i}\, [-i(Ap^2+Bm^2)]\, \frac{\widetilde\Delta_0}{i}\\ &\hspace{12mm} =\frac{\widetilde\Delta_0^2}{i} [\Pi_{\rm loop}-Ap^2-Bm^2] =\frac{\widetilde\Delta_0^2}{i}\Pi_R(p^2). \end{aligned} \tag{18.19}

两个传播子的 $1/i$ 与插入的 $i$ 相乘后，仍留下 $1/i$ 。这里给 $\Pi_R$ 加下标，只为表明已作第14节的在壳减除。将该节得到的发散部分代入，就能看到泡图与反项如何逐项抵消；当时采用 $\varepsilon=6-d$ 、 $\alpha=g^2/(4\pi)^3$ ，结果为

\Pi_{\rm loop}\big|_{\rm div} =-\frac{\alpha}{\varepsilon} \left(m^2+\frac{p^2}{6}\right),\quad A\big|_{\rm div}=-\frac{\alpha}{6\varepsilon},\quad B\big|_{\rm div}=-\frac{\alpha}{\varepsilon}. \tag{18.20}

将这三项代入式（18.19）， $p^2$ 项和 $m^2$ 项分别相消，有限部分则由 $\Pi_R(-m^2)=\Pi_R'(-m^2)=0$ 确定。反项吸收了泡图的局部发散，留下的有限动量依赖继续参与高阶修正。

右图虽然几何上只有一个圈，却与左图处在同一耦合阶数：四个箱图角点给 $g^4$ ，叉号系数从 $g^2$ 开始，合起来也是 $g^6$ 。它的五条内线给出 $dL-2I=6-10=-4$ ，其中 $Ap^2$ 又带来两个分子动量幂，使这一部分的整体次数为 $-2$ ；质量反项没有这样的分子幂，次数仍为 $-4$ 。这也说明在式（18.7）中，反项顶点的导数必须参与计数。

子图的极点消去后，还须判断外圈是否收敛。第14节已经求得，在欧氏大 $p^2$ 处，减除后的自能满足

\Pi_R(p^2)=O\!\left(g^2p^2[1+\ln(p^2/m^2)]\right).

因此，被修正的传播段 $\widetilde\Delta_0^2\Pi_R$ 与一条自由传播子相比，在高动量端只多出一个对数。再乘其余三条箱图传播子，外圈积分的绝对值在大 $q$ 处便受下式控制：

\text{常数}\times \int^\infty dq\, \frac{1+\ln(q^2/m^2)}{q^3} \tag{18.21}

令 $t=q^2/m^2$ ，有 $q^{-3}dq=dt/(2m^2t^2)$ ；又因 $\int_T^\infty(1+\ln t)t^{-2}dt=(2+\ln T)/T$ ，这个紫外尾积分收敛。取 $m>0$ 和有限欧氏外动量也排除了此例的红外端点。因此两图相加后，唯一的危险两点子区域被减除，外圈留下有限的积分。

这个例子表明， $\omega<0$ 只保证共同缩放区域的收敛，不能独自判断整个多圈图。反过来， $\omega\ge0$ 也只筛出需要检查的图；领先分子项或由对称性联系的图之间仍可能相消，电动力学中的例子将展示这种由对称性引起的相消。因而本节将表面次数非负的子图称为“危险子图”，其发散系数是否非零，仍由实际积分决定。

从子图减除到任意阶

多圈图中的子图可以互不相交、彼此嵌套，也可以相互重叠。BPHZ 局部减除定理将这些情况统一起来：对有质量的欧氏标量或狄拉克场，采用通常传播子与局部多项式顶点，按每个表面发散度非负的 1PI 子图作外动量 Taylor 减除，再用森林公式组合各项，得到逐阶紫外收敛的积分。正质量使零动量减除点也没有红外奇性。下面展开其递推结构；定理与森林公式可参阅 Herzog 的综述第 3.1–3.2 节。

记 $T_G$ 为图 $G$ 对外动量取至 $\omega(G)$ 阶的局部Taylor投影；当 $\omega(G)<0$ 时取 $T_G=0$ 。先减去真子图，得到 $\bar R G$ ，再对图本身作整体减除：

C(G)=-T_G\bar R G,\qquad RG=(1-T_G)\bar R G. \tag{18.22}

其中 $\bar R$ 按较小子图的减除结果递归构造。对任一组互不相交的危险真子图 $\gamma_1,\ldots,\gamma_s$ ，将各子图替换为已经确定的局部反项 $C(\gamma_j)$ ，并收缩为相应的局部顶点。若以 $G/\{\gamma_j\}$ 表示收缩后的图，就有

\bar R G =G+\sum_{\{\gamma_1,\ldots,\gamma_s\}} \left[\prod_{j=1}^s C(\gamma_j)\right] G/\{\gamma_1,\ldots,\gamma_s\}. \tag{18.23}

求和遍历非空的相容子图组。每个子图反项已含其内部更小子图的减除，所以递推从内向外进行。对于上面只有一个泡图子发散的箱图，上式恰好只留下原图和带叉图两项，而整体 $T_G=0$ ，与刚才的处理相同。将各层递推全部代入，就得到森林公式（forest formula）：

RG=\sum_{\mathcal F} \left[\prod_{\gamma\in\mathcal F}(-T_\gamma)\right]G . \tag{18.24}

空森林给出原图；非空森林中的子图彼此不相交，或一个包含另一个。嵌套时，乘积先作用于内层，必要时也包括整幅图的减除。相互重叠而不互相包含的两个子图无法同时收缩，因而分别进入不同森林项。正是这种组合，使不同紫外区域获得相容的减除。

递推还说明了反项为何能逐阶确定：真子图的减除只需使用较小图中已经确定的数据，整体剩余发散再由 $T_G$ 抽取为次数不超过 $\omega(G)$ 的局部多项式。在有限个基本场、 $d>2$ 、通常动能及非负维独立耦合的条件下，允许的外腿数与导数阶都有上界。把所有符合所保留对称性的这些局部项纳入拉格朗日量，便得到有限的反项基。局部减除定理保证每阶积分有限，而计幂保证参数种类有限，两者共同说明这类理论的可重整化性。

上述定理用欧氏零点作Taylor减除，前文则用物理在壳条件定义参数；两种减除可以通过有限局部项互相转换。以二点函数为例，令 $z=p^2$ ，并设 $F(z)$ 已减去全部真子图。两种整体减除多项式分别为

\begin{aligned} P_E(z)&=F(0)+zF'(0),\\ P_{\rm OS}(z)&=F(z_0)+(z-z_0)F'(z_0), \qquad z_0=-m^2 . \end{aligned} \tag{18.25}

若 $F$ 剩余的UV奇异部分为 $a+bz$ ，两个投影都会把它原样取出，故 $P_{\rm OS}-P_E$ 是有限的局部多项式。在质量壳附近具有前文已建立的解析性时，作这一有限改动便可恢复 $\Pi(-m^2)=\Pi'(-m^2)=0$ 。三点函数的整体危险次数为零，其有限常数同理由 $V_3(0,0,0)=g$ 确定。因此，局部减除的收敛结论可以与前面采用的质量、场和耦合定义接在一起。

带自旋的场

狄拉克场的动能为 $i\overline\Psi\gamma^\mu\partial_\mu\Psi$ 。伽马矩阵无量纲，动能中的一个导数贡献一个质量幂，因此

2[\Psi]+1=d,\qquad [\Psi]=\frac{d-1}{2}. \tag{18.26}

含 $r$ 个标量场和 $n$ 个费米双线性的无导数项，系数的维数为

\begin{aligned} \mathcal L_{\rm int}&\supset g_{r,n}\varphi^r(\overline\Psi\Psi)^n,\\ [g_{r,n}]&=d-\frac r2(d-2)-n(d-1),\\ [g_{0,n}]&=d-n(d-1). \end{aligned} \tag{18.27}

四维中，混合项满足 $[g_{r,n}]=4-r-3n$ 。对 $r,n\ge1$ ，非负维数只允许 $r=n=1$ ，即无量纲的汤川耦合 $g\varphi\overline\Psi\Psi$ 。纯费米相互作用至少含两个双线性， $n=2$ 时系数维数已经是 $-2$ ；四费米项由此属于低能有效相互作用。若有多个场及自旋、内部对称性指标，还应分别列出允许的独立缩并。

对规范场，传播子的高动量衰减与规范对称性共同限制反项。第73–74节将建立规范场的量子理论，第85–86节再讨论自发对称性破缺后的质量与相互作用。

两点子图的计算与一般局部减除结构合起来，说明了怎样把低阶已知的反项用于高阶图。下一节将把所有两点和三点修正直接装进图的组成部分，进一步组织高阶展开。

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