“我要让整个宇宙都是你的模样！” ————纯田真奈保护协会会长如是说。
构造一个甜甜圈宇宙是一个复杂的工程。在这个部分中，我们将先从流形的基本群开始，构造甜甜圈宇宙的基本群及其生成元，并给出和乐群的构造。
甜甜圈宇宙的基本群
甜甜圈宇宙的底流形可以被写作$\mathcal{M} = \mathbb{R}\times T^2$，其中$\mathbb{R}$是时间维度，$T^2$是空间维度，也就是一个环面（甜甜圈），并且我们设定其拥有负的宇宙学常数$\Lambda = -1/l^2$。由于$\mathcal{M}$可以写作两个流形的乘积，因此我们可以认为其基本群也有类似的关系： \(\pi_1(\mathcal{M}) \cong \pi_1(\mathbb{R})\times \pi_1(T^2)\) 可是实数的基本群是平凡的，因此就有$\pi_1(\mathcal{M}) \cong \pi_1(T^2)$，现在只需要考察$T^2$的基本群。
环面的基本群是什么？环面上任何一个闭合回路都可以分为两类：一种是可以连续收缩到一点的，另一种是无法连续收缩到一点的。前者是环面上的平凡回路，也是环面基本群的单位元，后者总可以同伦并拆解为先绕小圆（环切面上）$m$圈，再绕大圆$n$圈的回路。由于要求回路闭合，$m$和$n$均被限制为整数。因此，环面上的闭合回路同伦等价类就是$\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$，即环面的基本群是$\mathbb{Z}\times \mathbb{Z}$，生成元是绕两个圆一圈的闭合回路的等价类$[\gamma_1]$和$[\gamma_2]$。由于绕圈的顺序不影响最终的路径，因此这两个生成元是对易的：
\[[\gamma_1]\cdot[\gamma_2] = [\gamma_2]\cdot[\gamma_1],\]我们也最终能够得到
\[\pi_1(\mathcal{M}) \cong \pi_1(T^2) = \mathbb{Z}\times \mathbb{Z}.\]和乐群及其生成元
现在我们有了一个具有负曲率的三维时空$\mathcal{M}$。根据经典广义相对论的结论，这个时空在局部上等价于一个模型空间，在这个例子下即是$\mathrm{AdS}_3$，也就是说$\mathcal{M}$的每一个局部都等价于$\mathrm{AdS}_3$的一个局部，这一点与流形的定义颇为相似。这样我们就可以用已知的结论来推导新流形上的信息。例如，对于$\mathrm{AdS}_3$而言，其局部李群是$SO(2,2)$（这一点从其度规上也能大致看出），那么新流形的局部李群也应当是$SO(2,2)$。
知道这一局部信息非常有意义。我们已知，对于流形上的一条闭合曲线，我们可以定义其和乐为
\[\rho(\gamma) := g_1\circ g_2 \circ\cdots\circ g_n \in G,\]其中$g_n$是曲线上相邻局部覆盖之间的转移函数，也是局部的李群元素。我们还可以证明，一条曲线的和乐只取决于其同伦类。此时一条奇妙的结论浮现在我们眼前：和乐作为一个映射，事实上是从基本群到李群的一个群同态：
\[\rho : \pi_1(\mathcal{M})\rightarrow G.\]它自然的也会将基本群的代数信息携带到$G$内，或者更详细地讲携带到$G$的像和乐群中。所以，我们就能够得到和乐群的两个生成元$\rho[\gamma_1]$和$\rho[\gamma_2]$。作为$G$的子群，和乐群的生成元也应该是$G$的元素，即$\rho[\gamma_1], \rho[\gamma_2] \in SO(2,2)$，且两个生成元对易。由于$SO(2,2)$有一个双覆盖$SL(2,\mathbb{R})\times SL(2,\mathbb{R})$，我们自然的将每一个生成元拆作$\rho^\pm[\gamma_a]$。（这一操作其实有更深层次的含义；之后还会提到。）因此我们将两个生成元取作
\[\rho^\pm[\gamma_1] = \begin{pmatrix} e^{r^\pm_1/2} & 0\\ 0 & -e^{r^\pm_1/2} \end{pmatrix} \qquad \rho^\pm[\gamma_2] = \begin{pmatrix} e^{r^\pm_2/2} & 0\\ 0 & -e^{r^\pm_2/2} \end{pmatrix}.\]其中$r_a^\pm$是四个任意的参数，这四个参数完全参数化了和乐群。
我们还可以从反方向检验一下我们想要得到的确实是四个参数。首先我们应该注意到一个环面可以由一个复数来参数化，因此是二维的，其相空间就应当是四维的。由于我们考虑的是2+1维的引力，没有像现实情况中多余的局域自由度而只有全局的自由度，引力的效应就完全体现在其整体几何和拓扑结构上。对于流形而言，全局的自由度由和乐和和乐群来描述，因此我们自然的将相空间和和乐群联系在一起，这也正是我们要找四个参数的原因。
本部分就到此为止了。下一节应该是关于从现有内容直接推出度规的部分，比较复杂，可能要打磨一段时间。（咕咕咕
